25.2 用列举法求概率&25.3 用频率估计概率-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 25. 2　 用列举法求概率 第 1 课时　 用列表法求概率 用直接列举法(枚举法)求概率 1. 生活情境·玩游戏 (3 分)小明和小华玩“石 头、剪刀、布”的游戏,若随机出手一次,则小 华获胜的概率是(　 　 ) A. 2 3 　 　 　 B. 1 2 　 　 　 C. 1 3 　 　 　 D. 2 9 2. 跨学科试题·生物 (3 分) (濮阳一模)生物学 家研究发现,人体许多特征都是由基因决定 的. 如人的卷舌性状由常染色体上的一对基 因决定,决定能卷舌的基因 R 是显性的,不能 卷舌的基因 r 是隐性的,因此决定能否卷舌的 一对基因有 RR,Rr,rr 三种,其中基因为 RR 和 Rr 的人能卷舌,基因为 rr 的人不能卷舌, 父母分别将他们一对基因中的一个基因等可 能地遗传给子女. 若父母的基因都是 Rr,则他 们的子女可以卷舌的概率为(　 　 ) A. 1 4 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 3. 生活情境·选举升旗手 ( 3 分) (河南漯河期 末)从九年级一班 3 名优秀干部和九年级二班 2 名优秀干部中随机抽取两名学生担任升旗手,则 抽取的两名学生刚好一个班的概率为(　 　 ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 用列表法求概率 4. (3 分) (河南中考)现有 4 张卡片,其中 3 张 卡片正面上的图案是“􀳁”,1 张卡片正面上的 图案是“♣”,它们除此之外完全相同,把这 4 张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取 2 张,则 这 2 张 卡 片 正 面 上 的 图 案 相 同 的 概 率 是(　 　 ) A. 9 16 B. 3 4 C. 3 8 D. 1 2 5. 生活情境·抽纸牌 (3 分)有 3 张纸牌,分别是 红桃 2,红桃 3,黑桃 A,把纸牌洗匀后甲先抽 取一张,记下花色和数字后将牌放回,洗匀后 乙再抽取一张,则两人抽的纸牌均为红桃的 概率是(　 　 ) A. 4 9 B. 5 9 C. 1 3 D. 2 3 6. 生活情境·转转盘 (10 分) (上海模拟)如图 是甲、乙两个可以自由转动且质地均匀的转 盘,甲转盘被分成三个大小相同的扇形,分别 标有 1,2,3;乙转盘被分成四个大小相同的扇 形,分别标有 1,2,3,4,指针的位置固定,转动 转盘直至它自动停止(若指针正好指向扇形 的边界,则重新旋转转盘,直至指针指向扇形 内部). (1)转动甲转盘,指针指向 3 的概率是　 　 　 ; (2)利用列表的方法求转动两个转盘指针指 向的两个数字和是 5 的概率. 68 7. (10 分)在一个不透明的布袋中装有 3 个标号 为 1,3,5 的小球,它们的材质、形状、大小完全 相同,佳佳同学从布袋里随机取出一个小球, 记下数字为 a,再从剩下的两个小球中随机取 出一个小球,记下数字为 b,得到一组数( a, b) . (1)请你运用列表法,写出所有可能的结果; (2)若 a,b,4 代表三条线段的长,求首尾顺次 相接能构成三角形的概率. 忽略放回与不放回的解法不同出错 8. (3 分)一个不透明的袋子中装有四个小球,小 球上分别标有数字-3,1, 2 ,2,它们除了所标 数字外完全相同,摇匀后从中随机摸出两个 小球,则两球所标数字之积是正数的概率 为(　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 3 4 9. (3 分) (北京模拟)定义一种“十位上的数字 比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫作 “V 数”. 如“947”就是一个“ V 数”. 若十位上 的数字为 2,则从 1,3,4,5 中任选两数,能与 2 组成“V 数”的概率是(　 　 ) A. 1 4 B. 3 10 C. 1 2 D. 3 4 10. 生活情境·钥匙开门 (3 分)初三(1)班周沫同 学拿了 A,B,C,D 四把钥匙去开教室前、后门的 锁,其中 A 钥匙只能开前门,B 钥匙只能开后 门,任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的 概率是(　 　 ) A. 1 2 B. 3 4 C. 1 D. 1 4 11. 文化情境·诗词 (3 分)(周口二模)在唐代, 有很多河南诗人,如杜甫,白居易,韩愈,李 商隐等. 现有四本唐代诗人诗集《杜甫诗集》 《白居易诗集》 《李白诗集》 和《王维诗集》, 若从中随机选两本,恰好选到的两本都是河 南籍诗人诗集的概率为(　 　 ) A. 1 3 B. 1 2 C. 1 6 D. 1 4 12. 生活情境·陀螺 (3 分)如图所示,小明和小 龙玩转陀螺游戏,他们分别同时转动一个陀 螺,当两个陀螺都停下来时,与桌面相接触 的边上的数字都是奇数的概率是　 　 　 　 . 13. (10 分)(河南开封期末)一枚质地均匀的正 方体骰子,六个面上分别标有数字-3,-1,0, 1,2,4,若将第一次掷出的骰子正面朝上的数 记为 m,第二次掷出的骰子正面朝上的数记 为 n,则点 P 记作(m,n) . 请用列表法求点 P (m,n)恰好落在第二象限的概率. 78 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 第 2 课时　 用画树状图法求概率　 　 用画树状图法求概率 1. (3 分)某校高一年级今年计划招四个班的新 生,并采取随机摇号的方法分班,小明和小红 既是该校的高一新生,又是好朋友,那么小明 和小红分在同一个班的机会是(　 　 ) A. 1 4 　 　 　 B. 1 3 　 　 　 C. 1 2 　 　 　 D. 3 4 2. 热点情境·人工智能 (3 分)人工智能是数字 经济高质量发展的引擎,也是新一轮科技革 命和产业变革的重要驱动. 我国人工智能市 场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语 音及语义人工智能、视觉人工智能四大类型, 将四个类型的图标分别制成四张卡片(卡片 背面完全相同),并把四张卡片背面朝上洗 匀,从中随机抽取一张,记录卡片的内容后放 回洗匀,再随机抽取一张,则抽到的两张卡片 内容一致的概率为(　 　 ) A. 1 3 B. 1 4 C. 1 6 D. 2 3 3. 学习情境·联欢晚会 (3 分)在一次联欢晚会 上,某班进行以下游戏,准备两个不透明的袋 子和 7 个小球(大小、形状完全一样),一个袋 子里放置 3 个小球,球面上分别写着 “ 好” “运”“来”,另一个袋子里放置 4 个小球,球面 上分别写着“新”“年”“好”“运”. 现从两个袋 子里各随机抽取一个球,球面上的字可以组 成“好运”字样的获得一等奖,则获得一等奖 的概率为(　 　 ) A. 1 12 B. 1 8 C. 1 6 D. 1 4 4. (3 分)(河南周口模拟)从 1、2、3、4 四个数中 随机选取两个不同的数,分别记为 a,c,则关 于 x 的一元二次方程 ax2 +4x+c = 0 无实数解 的概率是　 　 　 　 . 5. (6 分)一个家庭有 3 个孩子. (1)求这个家庭有 3 个男孩的概率; (2)求这个家庭有 2 个男孩和 1 个女孩的概率; (3)求这个家庭至少有 1 个男孩的概率. 6. (8 分) (湖北武汉模拟)有甲、乙两个不透明 的口袋,甲口袋中装有 3 个分别标有数字 1, 2,3 的小球,乙口袋中装有 2 个分别标有数字 4,5 的小球,它们的形状、大小完全相同. 现随 机从甲口袋中摸出一个小球记下数字,再从 乙口袋中摸出一个小球记下数字. (1)请用画树状图的方法,表示出两次所得数 字可能出现的所有结果; (2)求出两个数字之和能被 3 整除的概率. 7. (8 分)体育课上小强、小东、小智三人练习踢 足球,足球从一人传到另一人就记为踢一次. (1)如果从小强开始踢,踢两次后,踢到小智 处的概率是多少? (请画树状图求解) (2)请用画树状图法说明,踢了三次后,要使 88 踢到小强处的概率最小,应该从谁开始踢? 8. 生活情境·游戏 (3 分)如图,小球从 A 入口往 下落,在每个交叉口都有向左或向右两种可 能,且可能性相等,则小球从 F 出口落出的概 率是(　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 9. (3 分) (河南安阳模拟)在排球训练中,甲、 乙、丙三人相互传球,由甲开始发球(记作第 一次传球),则经过三次传球后,球仍回到甲 手中的概率是(　 　 ) A. 1 2 B. 1 4 C. 3 8 D. 5 8 10. 文化情境·传统文化 (3 分)中国古代将天空 分成东、北、西、南、中区域,称东方为苍龙 象,北方为玄武(龟蛇)象,西方为白虎象,南 方为朱雀象,是为“四象”. 现有四张正面分 别印有“苍龙象” “玄武象” “白虎象” “朱雀 象”的不透明卡片(除正面图案外,其余完全 相同),将其背面朝上洗匀,并从中随机抽取 一张,记下卡片正面上的图案后放回,洗匀 后再从中随机抽取一张,则抽到的两张卡片 恰好 是 “ 苍 龙 象 ” 和 “ 朱 雀 象 ” 的 概 率为(　 　 ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 11. (3 分)如图是一个沿 3 × 3 正方形方格纸的 对角线 AB 剪下的图形,已知点 P 由 A 点出 发,沿格点线每次向右或向上运动 1 个单位 长度,则点 P 由 A 点运动到 B 点的不同路径 共有(　 　 ) A. 4 条 B. 5 条 C. 6 条 D. 7 条 12. 生活情境·选志愿者 (9 分)(北京期末)神舟 十七号载人飞船成功发射,中国载人航天空 间站建设迎来全新的发展. 某学校举办航天 知识讲座,需要两名引导员,学校决定从 A, B,C,D 四名志愿者中通过抽签的方式确定 两人. 抽签规则:将四名志愿者的名字分别写 在四张完全相同且不透明卡片的正面,把四 张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,先从中 随机抽取一张卡片,记下名字,再从剩余的三 张卡片中随机抽取第二张,记下名字. (1)“A 志愿者被选中”是　 　 　 　 事件(填 “随机”、“不可能”或“必然”); (2)用画树状图的方法求出 A,B 两名志愿者 同时被选中的概率. 98 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 25. 3　 用频率估计概率　 　 用频率估计概率 1. (3 分) (河南周口月考)大量重复试验中,关 于随机事件发生的频率与概率,下列说法正 确的是(　 　 ) A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 概率是随机的,与频率无关 D. 随着试验次数的增加,频率一般会越来越 接近概率 2. 生活情境·树苗成活 (3 分) (河南新乡期末) 用频率估计概率,可以发现,某种幼树在一定 条件下移植成活的概率为 0. 9,下列说法正确 的是(　 　 ) A. 移植 10 棵幼树,结果一定是“有 9 棵幼树 成活” B. 移植 100 棵幼树,结果一定是“90 棵幼树成 活”和“10 棵幼树不成活” C. 移植的 10n 棵幼树,恰好有“n 棵幼树不成活” D. 移植 n 棵幼树,当 n 越来越大时,移植成活 幼树的频率会越来越稳定于 0. 9 3. 生活情境·扔硬币 (3 分)在抛掷一枚硬币的 试验中,第一小组做了 500 次试验,出现正面 向上的频率是 49. 6%,则出现正面向上的频 数为(　 　 ) A. 248 次　 　 　 　 　 B. 250 次 C. 258 次 D. 无法确定 4. 生活情境·种子发芽 (10 分)某种玉米种子在 相同条件下的发芽试验结果如下表: 试验的种子粒数 n 100 150 200 500 800 1 000 发芽的粒数 m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 m n 0. 65 0. 74 0. 68 0. 69 (1)计算并完成表格(结果精确到 0. 01); (2)请估计当 n 很大时,频率将接近　 　 　 　 ; (3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是多 少? 请简要说明理由. 5. (3 分)一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外 其他完全相同的小球,其中有 9 个黄球,每次 摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个 球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸 球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在 30%, 那么估计盒子中小球的个数 n 为(　 　 ) A. 20　 　 　 B. 24　 　 　 C. 28　 　 　 D. 30 6. (3 分)某学习小组做“用频率估计概率”的试 验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如 下折线统计图,则符合这一结果的试验最有 可能的是(　 　 ) A. 袋中装有大小和质地都相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中随机取一个,取到红球 B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子,向上的 面的点数是偶数 C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币,两次都 出现反面 D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰 子,两次向上的面的点数之和是 7 或超过 9 09 25. 2　 用列举法求概率 第 1 课时 　 用列表法求概率 1. C　 2. D　 3. B　 4. D　 5. A 6. 解:(1) 1 3 (2) 1 2 3 1 (1,1) (2,1) (3,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) 共有 12 种等可能的结果,转动两个转盘指针指向 的两个数字和是 5 的结果有 3 种,∴ 转动两个转 盘指针指向的两个数字和是 5 的概率为 3 12 = 1 4 . 7. 解:(1)列表如下: 1 3 5 1 (3,1) (5,1) 3 (1,3) (5,3) 5 (1,5) (3,5) (2)由表知,共有 6 种等可能结果,其中与 4 能构成三 角形三边长度的有(3,5) 、( 5,3) 这 2 种结果,所以顺 次首尾相接能构成三角形的概率为 2 6 = 1 3 . 8. A　 【解析】由表可知,共有 12 种等可能的结果,积是 正数的结果有 6 种,∴ 概率为 P = 6 12 = 1 2 . 故选 A. -3 1 2 2 -3 -3 -3 2 -6 1 -3 2 2 2 -3 2 2 2 2 2 -6 2 2 2 9. C　 10. D　 11. C　 12. 1 4 13. 解: 　 　 第一次 m 第二次 n　 　 -3 -1 0 1 2 4 -3 ( -3,-3) ( -1,-3) ( 0,-3) ( 1,-3) ( 2,-3) ( 4,-3) -1 ( -3,-1) ( -1,-1) ( 0,-1) ( 1,-1) ( 2,-1) ( 4,-1) 0 ( -3,0) ( -1,0) ( 0,0) ( 1,0) ( 2,0) ( 4,0) 1 ( -3,1) ( -1,1) ( 0,1) ( 1,1) ( 2,1) ( 4,1) 2 ( -3,2) ( -1,2) ( 0,2) ( 1,2) ( 2,2) ( 4,2) 4 ( -3,4) ( -1,4) ( 0,4) ( 1,4) ( 2,4) ( 4,4) 共有 36 种等可能的结果,其中点 P(m,n) 恰好落在 第二象限的有 6 种,所以点 P(m,n)恰好落在第二象 限的概率为 6 36 = 1 6 . 第 2 课时 　 用画树状图法求概率 1. A　 2. B　 3. C　 4. 1 2 　 5. 解: (1)可能出现的结果数为 1,所以 P( 3 个男孩) = 1 8 ; (2)可能出现的结果数为 3,所以 P( 2 个男孩 1 个女 孩) = 3 8 ; (3)可能出现的结果数为 7,所以 P( 至少 1 个男孩) = 7 8 . 6. 解:(1)树状图如下: 可能出现的结果共 6 种,分别为 ( 1,4) , ( 1,5) , ( 2, 4) ,(2,5) ,(3,4) ,(3,5) ; (2) ∵ 共有 6 种情况,两个数字之和能被 3 整除的情 况有 2 种, ∴ 两个数字之和能被 3 整除的概率为 2 6 = 1 3 . 7. 解:(1)画图如下: 共有 4 种等可能的情况,其中踢两次后,踢到小智处 的有 1 种,则踢两次后,踢到小智处的概率是 1 4 ; (2)应从小强处开始踢 . 从小强开始踢,P( 踢到小强处) = 2 8 = 1 4 ,同理,若从 小东开始踢,P(踢到小强处) = 3 8 ,若从小智开始踢, P(踢到小强处) = 3 8 . 故应从小强处开始踢 . 8. C　 9. B　 10. D　 11. B 12. 解:(1)随机 —72— (2)画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中 A,B 两名志愿者同时 被选中的结果有 2 种,∴ A,B 两名志愿者同时被选 中的概率为 2 12 = 1 6 . 25. 3　 用频率估计概率 1. D　 2. D　 3. A 4. 解:(1)0. 70　 0. 70　 (2)0. 70 (3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是 0. 70. 理由:在相同条件下,多次试验,某一事件发生的 频率近似等于概率 . 5. D　 6. D　 追梦第二十五章章末复习 　 概率初步 1. D 2. 解:(1)必然事件 　 (2)随机事件 　 (3)必然事件 (4)随机事件 　 (5)不可能事件 3. D　 4. D　 5. A　 6. A 7. 解:(1)画树状图如下: 　 　 　 则共有 12 种等可能的结果; (2) ∵ 共有 12 种等可能的结果,抽到的两张卡片上的 数都是勾股数的结果为 6 种,∴ 概率为 6 12 = 1 2 . 8. 0. 8　 9. 1 3 10. 解:(1) 摸球次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现红球 的次数 14 23 38 52 67 86 97 111 120 133 出现红球 的频率 0. 35 0. 29 0. 32 0. 33 0. 34 0. 36 0. 35 0. 35 0. 33 0. 33 (2) (3)0. 33　 (4)0. 33 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚《情境测试卷》答案 第二十一章情境测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C C B B C D D B 1. D 2. B　 【解析】 x2 -4x-1 = 0,移项得 x2 - 4x = 1,配方得 x2 - 4x+4 = 1+4,即( x-2) 2 = 5,所以 m = 5. 故选 B. 3. C 4. C　 【解析】原方程可化为 x2 -2x+4 = 0,∵ Δ = ( -2) 2 -4 ×1×4 = -12 < 0,∴ 原方程无实数根,故嘉嘉和淇淇的 说法都不对,因为 b2 -4ac<0,该方程无解 . 故选 C. 5. B 6. B　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +mx+ 3 = 0 有 两个实数根 x1 = 1,x2 = n,∴ 1+n = -m,解得 m+n = - 1, 故(m+n) 2 026 = 1. 故选 B. 7. C　 【解析】解方程,得 x = 1 或 x = -3,∵ a<b,∴ a = -3, b = 1,代入一次函数解析式得:y = - 3x+ 1,则一次函数 图象不经过第三象限 . 故选 C. 8. D　 9. D 10. B　 【解析】当 b = a+c 时,Δ = ( a+c) 2 -4ac = ( a-c) 2 ≥ 0,则方程 ax2 +bx+c = 0 一定有实数根,所以①正确; 若 a、c 异号,则 Δ = b2 -4ac>0,则方程 ax2 +bx+c = 0 一 定有实数根,所以 ② 正确;当 a、 c 异号,方程有两个 不相等的实数根;当 a、c 同号,若 b2 -5ac>0,则 Δ = b2 -4ac>ac>0,所以方程 ax2 +bx+c = 0 一定有两个不相 等的实数根,所以③正确;方程 ax2 +bx+c = 0 有两个 不相等的实数根,若 c = 0,则方程 cx2 +bx+a = 0 没有 两个不相等实数根,所以④错误 . 故选 B. 11. -1 12. 3 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】本题考查了一元二次方程 ax2 +bx+c = 0( a ≠0)的根的判别式 Δ = b2 - 4ac:当 Δ> 0,方程有两个不 相等的实数根;当 Δ = 0,方程有两个相等的实数根;当 Δ<0,方程没有实数根 . 13. 1　 【解析】根据题意得 x1 +x2 = 3,x1 x2 = a. ∵ x 2 1 -3x1 x2 +x22 = 4,∴ ( x1 +x2) 2 -5x1 x2 = 4,∴ 9-5a = 4,∴ a = 1. 14. 36　 【解析】设这位风流人物去世的年龄十位数字为 x,则个位数字为( x+ 3) . 则根据题意:10x+( x+ 3) = ( x+3) 2,整理得:x2 -5x+6 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 3,由题 意,而立之年督东吴,则 x = 2 舍去,∴ 这位风流人物 去世的年龄为 36 岁 . 15. 2 16. 解:(1)移项,得 x2 -x-12 = 0,因式分解,得( x-4) ( x+ 3) = 0,则 x-4 = 0 或 x+3 = 0,∴ x1 = 4,x2 = -3; (2)移项,得 2( x+3) 2 -x( x+ 3) = 0,因式分解,得( x+ 3) (2x+6-x) = 0,整理,得( x+ 3) ( x+ 6) = 0,则 x+ 3 = 0 或 x+6 = 0,∴ x1 = -3,x2 = -6. 17. 证明:∵ m2 + 2m+ 2 = (m+ 1) 2 + 1,∴ m2 + 2m+ 2≥1,即 m2 +2m+2≠0. 故关于 x 的方程(m2 +2m+2) x2 -( 4m- 1) x-7 = 0 总为一元二次方程 . 18. 解:(1) ∵ x☆4 = 20,∴ 4x2 +4 = 20,即 x2 = 4,解得 x1 = 2,x2 = -2; (2) ∵ 2☆a 的值小于 0,∴ 22 ×a+a = 5a<0,解得 a<0. 在方程 2x2 -bx+a = 0 中,Δ = ( -b) 2 - 8a = b2 - 8a> 0,∴ 方程 2x2 -bx+a = 0 有两个不相等的实数根 . 19. 解:(1)由题意得 Δ = ( 2k- 1) 2 - 4k( k- 2) > 0,解得 k> - 1 4 ; (2)由(1)得 k = 2,代入原方程整理后为 x2 + 3x = 0, 解得 x1 = 0,x2 = -3. —82—