21.3 实际问题与一元二次方程-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 21. 3　 实际问题与一元二次方程　 　 　 　 传播问题 1. (9 分)我们知道,传销能扰乱一个地方正常的 经济秩序,是国家法律明令禁止的. 某非法传 销组织现有一名头目计划每人发展若干数目 的下线,每个下线再发展同样数目的下线成 员. 经过两轮发展后,非法传销组织成员共有 57 人,问计划每个人发展下线多少人? 2. 生活情境·电脑病毒 (9 分) (广东中山中考) 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被 感染,经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感 染,请你用学过的知识分析,每轮感染中平均 每一台电脑会感染几台电脑? 若病毒得不到 有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会 超过 700 台? 3. 跨学科试题·生物 (10 分) (广西贺州中考) 某生物实验室需培育一群有益菌,现有 60 个 活体样本,经过两轮培育后,总和达 24 000 个,其中每个有益菌每一次可分裂出相同数 目的有益菌. (1)每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个 有益菌? (2)按照这样的分裂速度,经过三轮培育后共 有多少个有益菌? 变化率问题 GDP(国内生产总值),是一个国家(或地 区)所有常住单位在一定时期内生产活动的最 终成果. GDP 是国民经济核算的核心指标,也是 衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重 要指标. 请完成 4~ 6 题: 4. (3 分)(广西南宁中考)某种植基地前年蔬菜 产量为 80 吨,今年蔬菜产量达到 100 吨,求蔬 菜产量的年平均增长率. 设蔬菜产量的年平 均增长率为 x,则可列方程为(　 　 ) A. 80(1+x) 2 = 100 B. 100(1-x) 2 = 80 C. 80(1+2x)= 100 D. 80(1+x2)= 100 21 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　5. (3 分) (山东日照中考)去年某县 GDP 总量 为 1 000 亿元,计划到明年全县 GDP 总量实 现 1 210 亿元的目标. 如果每年的平均增长率 相同,那么该县这两年 GDP 总量的平均增长 率为(　 　 ) A. 1. 21% B. 8% C. 10% D. 12. 1% 6. 生活情境·新能源汽车 (3 分)近年来,由于新 能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不 同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活 动. 某款燃油汽车今年 3 月份售价为 23 万元, 5 月份售价为 16 万元. 设该款汽车这两月售 价的月均下降率是 x, 则所列方程正确的 是(　 　 ) A. 16(1+x) 2 = 23 B. 23(1-x) 2 = 16 C. 23-23(1-x) 2 = 16 D. 23(1-2x)= 16 几何图形、销售问题 7. (3 分)超市经销一种水果,每千克盈利 10 元, 每天销售 500 千克,经市场调查,若每千克涨 价 1 元,日销售量减少 20 千克,现超市要保证 每天盈利 6 000 元,每千克应涨价(　 　 ) A. 15 元或 20 元 B. 10 元或 15 元 C. 10 元 D. 5 元或 10 元 8. (3 分)如图是由三个边长分别为 6,9 和 x 的 正方形所组成的图形,若直线 AB 将它分成面 积相等的两部分,则 x 的值是(　 　 ) A. 1 或 9 B. 3 或 5 C. 4 或 6 D. 3 或 6 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. (3 分)如图,在宽为 20 m,长为 30 m 的矩形 地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作 为耕地. 若耕地面积需要 551 m2,则修建的路 宽应为　 　 　 　 m. 10. (3 分)目前以 5G 等为代表的战略性新兴产 业蓬勃发展,某市前年底有 5G 用户 2 万户, 计划到今年底,全市 5G 用户数累计达到 8. 72 万户,设全市 5G 用户数年平均增长率 为 x,则下列选项正确的是(　 　 ) A. 2+2(1+x) +2(1+x) 2 = 8. 72 B. 2(1+x) +2(1+x) 2 = 8. 72 C. 2(1+x) 2 = 8. 72 D. 2(1+x) 3 = 8. 72 11. 生产劳动情境·销售衣服 (3 分)香云纱作为 广东省佛山市特产,中国国家地理标志产 品,是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色 的丝绸面料,被纺织界誉为“软黄金”,在某 网网店,某种香云纱连衣裙平均每天销售 40 件,每件盈利 20 元,若每降价 1 元,则每天可 多售 10 件. 在每件盈利不低于 10 元的情况 下,若每天要盈利 1 080 元, 则每件应降 价(　 　 ) A. 2 元或 14 元 B. 14 元 C. 2 元 D. 8 元 小区改造倾注着党和政府提升居民生活质 量的决心,也寄托着广大居民对美好生活的向 往. 老旧小区改造不仅是重大民生工程,也是重 要发展工程,对有效扩大内需,做好“六稳” 工 作,落实“六保”任务具有重要意义. 请完成 12 ~ 13 题: 12. (3 分)(河南禹州期末)如图,某小区有一块 长为 18 米,宽为 6 米的矩形空地,计划在其中 修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和 为 60 平方米,两块绿地之间及周边留有宽度 31 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 相等的人行通道,若设人行通道的宽度为 x 米,则列出的关于 x 的方程是(　 　 ) A. 2x2 -9x+8 = 0 B. x2 -9x+8 = 0 C. x2 +9x-8 = 0 D. x2 -9x-8 = 0 13. (10 分)(河南周口月考)为了提升居民生活 品质,改善小区环境,某社区准备在小区建 造车棚. 如图,准备利用小区的围墙(可利用 的墙长为 72 米),另外三边利用总长为 140 米的铁栏围成(接口忽略不计),当围成的矩 形车棚的面积为 2 400 平方米时,求矩形车 棚 BC 的长. 　 14. 社会发展情境·直播平台授课 ( 10 分) 近年 来,电商平台直播带货成了一个火热的新兴 职业,某大学的教授也在直播平台上讲解课 程并且凭借风趣幽默的风格,点燃了不同年 龄读者的读书热情. 某学校图书馆周六面向 社会开放. 据统计,某校图书馆第一个月接 待 256 人,第三个月接待 576 人,假设接待 人数的月平均增长率相同. (1)求接待人数的月平均增长率; (2)因学校图书馆较小,每月接待不超过 1 000 人时,能正常接待读者,在月平均增长 率不变的条件下,图书馆第四个月能否正常 接待读者? 请说明理由. 15. 生产劳动情境·汽车销售 (10 分) (河南信阳 二模)某汽车销售公司 5 月份销售某种型号 汽车,当月该型号汽车的进价为 30 万元 /辆, 若当月销售量超过 5 辆时,每多售出 1 辆,所 有售出的汽车进价均降低 0. 1 万元 /辆. 根据 市场调查,月销售量不会突破 30 台. (1)设当月该型号汽车的销售量为 x 辆(x≤ 30,且 x 为正整数),实际进价为 y 万元 /辆, 求 y 与 x 的函数关系式; (2) 已知该型号汽车的销售价为 32 万元 / 辆,公司计划当月获得销售利润 25 万元,那 么当月需售出多少辆汽车? (注:销售利润= 销售价-进价) 41 21. 3　 实际问题与一元二次方程 1. 解:设计划每个人发展下线 x 人,依题意得 1 +x+x2 = 57,整理得 x2 + x- 56 = 0,解得 x1 = 7,x2 = - 8 ( 不合题 意,舍去) . 即计划每个人发展下线 7 人 . 2. 解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑, 依题意得 1+x+(1+x) x = 81. 整理得(1+x) 2 = 81,则 x+ 1 = 9 或 x+1 = -9. 解得 x1 = 8,x2 = -10(舍去) . 81 + 81 × 8 = 729>700. 即每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑,3 轮感染后,被感染的电脑会超过 700 台 . 3. 解:(1)设每轮分裂中每个有益菌可分裂出 x 个有益 菌 . 则 60( 1 + x) 2 = 24 000,解得 x1 = 19, x2 = - 21 ( 舍 去) ,即 每 轮 分 裂 中 每 个 有 益 菌 可 分 裂 出 19 个 有 益菌 . (2)60×(1+19) 3 = 480 000(个) ,即经过三轮培育后共 有 480 000 个有益菌 . 4. A 5. C　 【解析】设这两年 GDP 总量的平均增长率为 x. 则 依题意得 1 000(1+x) 2 = 1 210,得(1+x) 2 = 1. 21,则 1+ x = 1. 1,x = 0. 1,或 1 +x = - 1. 1(舍去) . 故这两年 GDP 总量的平均增长率为 10% . 故选 C. 6. B　 7. D　 8. D　 【解析】依题意得 1 2 (6+9+x) ×9-x(9-x)= 1 2 (62 + 92 +x2),9x-x2 = 18,x2 -9x+18 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 6. 故 选 D. 9. 1　 【解析】设修建的路宽为 xm,则依题意得 ( 20 -x) (30-x)= 551,x2 -50x+600 = 551,( x-1) ( x-49)= 0,x1 = 1,x2 = 49(舍去) . 故修建的路宽应为 1m. 10. C 11. C　 【解析】设每件应降价 x 元 . 由题可知(20-x) (40 +10x)= 1 080. 整理得 x2 -16x+28 = 0,( x-2) ( x- 14) = 0,x1 = 2,x2 = 14. ∵ 每件盈利不低于 10 元,即 20 -x ≥10,∴ x≤10,∴ x2 = 14 不合题意,应舍去,∴ x = 2. 故选 C. 12. B　 【解析】(18-3x)(6- 2x) = 60,化简得 x2 - 9x+ 8 = 0. 故选 B. 13. 解:设 BC = x 米,则 AB = CD = 140-x 2 米 . 依题意得 x· 140-x 2 = 2 400,整理得 x2 - 140x+ 4 800 = 0,解得 x1 = 60,x2 = 80. 又∵ 可利用的墙长为 72 米,∴ x = 60. 即 矩形车棚 BC 的长为 60 米 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【易错提醒】本题中墙的长度有限制,还需要根据墙的 长度,对求得的根加以取舍;当墙的长度没有限制时, 则不需要取舍 . 14. 解:(1)设接待人数的月平均增长率是 x, 依题意,得 256(1+x) 2 = 576. 解得 x1 = 0. 5 = 50%,x2 = -2. 5(不合题意,舍去) . 故接待人数的月平均增长 率是 50%; (2)能,理由:576 ×( 1 + 50%) = 864( 人) ,864 < 1 000, ∴ 能够正常接待 . 15. 解:(1)由题意可得当 0 <x≤5 时,y = 30;当 5 <x≤30 时,y = 30 - 0. 1 ( x - 5 ) , 即 y = 30. 5 - 0. 1x. ∴ y = 30(0<x≤5,且为整数) -0. 1x+30. 5(5<x≤30,且为整数){ ; (2)当 x = 5 时,(32-30) × 5 = 10 < 25,不符合题意,当 5<x≤30 时,由题意得[ 32 -( 30. 5 - 0. 1x) ] x = 25,化 简 x2 +15x-250 = 0,( x+25) ( x-10) = 0,∴ x1 = -25,x2 = 10. ∵ 5<x≤30,且 x 为正整数,∴ x = 10,当月需售 出 10 辆汽车 . 专题 　 一元二次方程及运用 1. 解:∵ m+2≠0 且 | m | = 2,∴ m≠ -2 且 m = ±2. ∴ m = 2. 代入方程得 4x2 +6x+1 = 0, x = -b± b2 -4ac 2a = -6± 62 -4×4×1 2×4 = -6±2 5 8 = -3± 5 4 ,故 x1 = -3+ 5 4 ,x2 = -3- 5 4 . 2. 解:将 x = 0 代入原方程得 a2 -2a- 3 = 0,( a- 3) ( a+ 1) = 0,a1 = 3,a2 = - 1. ∵ a+ 1≠0,∴ a≠ - 1,∴ a = 3. ∴ 原 方程为 4x2 +x = 0,解得 x1 = 0,x2 = - 1 4 ,∴ a 的值为 3, 方程的另一个根为- 1 4 . 3. 解:(1)移项、因式分解,得(3x+2) ( x-2) = 0, 于是得 3x+2 = 0,或 x-2 = 0,x1 = - 2 3 ,x2 = 2; (2)移项,得(2x-1) 2 = 5,直接开平方,得 2x-1 = ± 5 , x1 = 1+ 5 2 ,x2 = 1- 5 2 ; (3)整理,得( x-2) 2 = 25,直接开平方得 x-2 = ±5,x1 = 7,x2 = -3; (4)整理,得 x( 2x- 5) = 2( 2x- 5) ,移项、因式分解,得 (2x-5) ( x-2) = 0,x1 = 5 2 ,x2 = 2. 4. C　 5. B 6. 解:(1) ∵ b2 -4ac = ( -1) 2 -4( k-1) ≥0,∴ k≤ 5 4 . ∵ k- 1≠0,∴ k≠1,∴ k≤ 5 4 且 k≠1; (2) ∵ x1 +x2 = 1 k-1 ,x1 x2 = 1 k-1 ,( x1 +1) ( x2 +1) = x1 x2 +x1 +x2 +1 = k-1,∴ 1 k-1 + 1 k-1 + 1 = k- 1,化简,得 k2 - 3k = 0, 解得 k1 = 0,k2 = 3. ∵ k≤ 5 4 且 k≠1,∴ k = 0. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】一元二次方程根与系数的关系是建立在 方程有根,即 Δ≥0 的基础上的,所以在利用一元二次 方程根与系数的关系求字母参数的取值时,必须将求 得的字母的值代回根的判别式进行检验 . 7. 解:(1) ( x1 -x2 ) 2 = ( x1 +x2 ) 2 - 4x1 x2 = ( 3 2 ) 2 - 4 ×( - 1 2 ) = 9 4 +2 = 17 4 ; —4—