21.2.1 配方法-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

21. 2　 解一元二次方程 21. 2. 1　 配方法 第 1 课时　 直接降次法 　 　 　 　 解形如 x2 = p(p≥0)的方程 1. (3 分)用直接开平方法解下列一元二次方程, 其中无解的方程为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. x2 -5 = 5 B. -3x2 = 0 C. x2 +4 = 0 D. (x+1) 2 = 0 2. 学习情境·课堂讨论 (3 分) (河北沧州月考) 老师出示问题:“解方程 x2 -4 = 0. ”四位同学 给出了以下答案:甲:x= 2;乙:x1 = x2 = 2;丙:x1 = x2 = -2;丁:x1 = 2,x2 = -2. 下列判断正确的 是(　 　 ) A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确 3. (3 分)(湖南娄底模拟)若代数式 3x2 -6 的值 为 21,则 x 的值一定为　 　 　 　 . 4. 一题多解 (3 分)(湖南娄底模拟)若方程 x2 +a =0 的一个根是 x=-1,则另一个根是　 　 　 　 . 解形如(mx+n) 2 = p(m≠0,p≥0)的方 程 5. (3 分)若方程( x-2) 2 = k 可以用直接降次法 解,则 k 的取值范围是(　 　 ) A. k≤0 B. k≥0 C. k<0 D. k≠0 6. (3 分) (河南许昌期末) 一元二次方程( x+ 6) 2 = 16 可化为两个一元一次方程,其中一个 一元一次方程是 x+6 = 4,则另一个一元一次 方程是(　 　 ) A. x-6 = 4 B. x-6 = -4 C. x+6 = 4 D. x+6 = -4 7. 学科素养·阅读理解 (6 分)(湖南永州期中改 编)在解一元二次方程时,发现有这样一种解法: 如:解方程 x(x+8)= 4 解:原方程变形,得[(x+4) -4] [(x+4) +4] = 4. (x+4) 2 -42 = 4,(x+4) 2 = 20 直接开平方,得 x1 = -4+2 5 ,x2 = -4-2 5 . 我们称这种解法为“平均数法” . 请用“平均数法”解方程:(x-2)(x+6)= 4. 8. (3 分)已知一元二次方程(x-3) 2 = 1 的两个 解恰好分别是等腰三角形 ABC 的底边长和腰 长,则△ABC 的周长为(　 　 ) A. 10 B. 10 或 8 C. 9 D. 8 9. (8 分)(河南洛阳期中)已知关于 x 的方程(x -1) 2 = 4m-1 有两个实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)若方程有一个根为 2,求方程的另外一个 根. 3 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 第 2 课时　 配方法　 　 　 　 　 　 　 　 配方 1. (3 分)若代数式 x2 -8x+k 是一个完全平方式, 则 k 的值是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. [教材练习 1 题变式](6 分)填空: (1)x2 -4x+　 　 　 　 = (x-　 　 　 　 ) 2; (2)x2 　 　 　 　 x+25 = (x　 　 　 　 ) 2; (3)m2 　 　 　 　 m+ 9 4 = (m　 　 　 　 ) 2 . 用配方法解二次项系数为 1 的方程 3. (3 分)一元二次方程 y2 -y- 3 4 = 0 配方后可化 为(　 　 ) A. (y+ 1 2 ) 2 = 1 B. (y- 1 2 ) 2 = 1 C. (y+ 1 2 ) 2 = 3 4 D. (y- 1 2 ) 2 = 3 4 4. (3 分)(河南安阳期末)如果一元二次方程 x2 -4x+ k = 0 经配方后,得( x- 2) 2 = 1,那么 k = 　 　 　 　 . 5. 学习情境·过程性纠错 ( 8 分) (辽宁沈阳模 拟)小明在用配方法解方程 x2 -x- 1 2 = 0 时出 现了错误,解答过程如下: x2 -x= 1 2 (第一步) x2 -x+ 1 4 = 1 2 + 1 2 (第二步) (x- 1 2 ) 2 = 1(第三步) ∴ x1 = - 1 2 ,x2 = 3 2 (第四步) (1)小明的解答过程是从第　 　 　 　 步开始 出错的; (2)用配方法写出此题正确的解答过程. 用配方法解二次项系数不为 1 的方程 6. (3 分)用配方法解一元二次方程 2x2 +4x-5 = 0 时,将它化为(x+a) 2 = b 的形式,则 a+b 的值 为(　 　 ) A. 8 B. 9 2 C. 7 2 D. 5 2 7. (6 分)解下列方程: (1)2x2 -3x-6 = 0; (2) 2 3 x2 + 1 3 x-2 = 0. 配方法的应用 8. (3 分)已知 P = m2 -m,Q = m-2,其中 m 为任 意实数,则 P 与 Q 的大小关系为(　 　 ) A. P>Q B. P=Q C. P<Q D. 无法确定 4 9. (8 分)我们已经学习了利用配方法解一元二 次方程,其实配方法还有其他重要应用. 例:已知 x 可取任何实数,试求二次三项式 2x2 -12x+14 的值的范围. 解:2x2 -12x+14 = 2(x2 -6x) +14 = 2(x2 -6x+32 -32) +14 = 2[(x-3) 2 -9] +14 = 2(x-3) 2 -18 +14 = 2(x-3) 2 -4. ∵ 无论 x 取何实数,总有(x-3) 2≥0, ∴ 2(x-3) 2 -4≥-4. 即无论 x 取何实数,2x2 -12x+14 的值总是不小于-4 的实数. 问题:已知 x 可取任何实数,求二次三项式 -3x2 +12x-11 的最大(或小)值情况. 一元二次方程没有转化成(x+n) 2 = p 的 形式就开始解方程 10. (3 分)小刚用配方法解 2x2 -bx+a = 0,得 x- 3 2 = ± 15 2 ,则 b 等于(　 　 ) A. -6　 　 　 B. -3　 　 　 C. 6　 　 　 D. 3 11. (3 分)(河南开封期末)已知方程 x2 -6x+q = 0 配方后是(x-p) 2 = 7,那么方程 x2 +6x+q= 0 配方后是(　 　 ) A. (x-p) 2 = 5 B. (x+p) 2 = 5 C. (x-p) 2 = 9 D. (x+p) 2 = 7 12. (3 分)已知 1 4 m2 + 1 4 n2 =n-m-2,则 1 m + 1 n 的值 等于(　 　 ) A. 1 B. 0 C. -1 D. - 1 4 13. 学科内融合 (3 分)(河南漯河月考)已知等 腰三角形的一边长为 9,另一边长为方程 x2 - 8x+15 = 0 的根,则该等腰三角形的周长为 　 　 　 　 　 　 　 　 . (写出所有可能的解) 14. 文化情境·几何学解一元二次方程 (10 分) (山西模拟)阅读材料,回答下列问题: 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀤛 􀦛 􀦛 􀦛􀦛 几何学解一元二次方程 　 　 公 元 9 世 纪, 阿 尔·花拉子米在研究一 元二次方程解法的过程 中,他利用正方形图形 巧妙解出了一元二次方 程 x2 +2x-35 = 0 的一个解,将边长为 x 的 正方形和边长为 1 的正方形,外加两个 长方形,长为 x,宽为 1,拼合在一起面积 就是 x2 +2×x×1+1×1,即 x2 +2x+1,而由 原方程 x2 +2x-35 = 0 变形得 x2 +2x+1 = 35+ 1,即边长为 x+ 1 的正方形面积为 36,所以(x+1) 2 = 36,则 x= 5. 任务一:用配方法解方程 x2 +2x-35 = 0. 任务二:比较上述两种解一元二次方程的方 法,请反思利用几何学解一元二次方程的不 足之处. (写出一条即可) 5 　 　 答案详解详析·易错剖析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 第二十一章 　 一元二次方程 21. 1　 一元二次方程 1. D 2. B　 【解析】m-2≠0,则 m≠2. 故选 B. 【变式】D　 【解析】由题意,得 | 2m-4 | = 2,m-3≠0,解 得 m = 1. 故选 D. 3. D　 【解析】(m-3) x2 +m2 x = 9x+5,(m-3) x2 +(m2 -9) x -5 = 0. 由题意得 m- 3 ≠ 0,m2 - 9 = 0,解得 m = - 3. 故 选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【易错提醒】一元二次方程化为一般形式 ax2 +bx+c = 0 (a≠0)后,若没有出现一次项 bx,则 b = 0;若没有出现 常数项 c,则 c = 0. 注意二次项系数不为 0. 4. 解:(1)去括号,得 6x2 - 3x+ 4x- 2 = x2 + 2,移项,合并同 类项,得一元二次方程的一般形式 5x2 +x- 4 = 0,其中 二次项系数为 5,一次项系数为 1,常数项为-4; (2)去括号,得 8-x2 = 9 + 6x+x2 ,移项,合并同类项,得 一元二次方程的一般形式 2x2 + 6x+ 1 = 0,其中二次项 系数为 2,一次项系数为 6,常数项为 1. 5. B 6. B　 【解析】 x = 1 代 入 得 12 + k × 1 - 3 = 0,则 k = 2. 故 选 B. 【变式 1】B 【变式 2】1　 【解析】 x = 1 代入 x2 +ax+b = 0,得 12 +a+b = 0,则 a+b = -1,a2 +2ab+b2 = (a+b) 2 = ( -1) 2 = 1. 7. 解:x = -2 代入方程得 ( - 2) 2 - ( - 2) m - 2 = 0,则 m = -1. 原 式 = (m-1) 2 - (3-m) 2 = ( -1-1) 2 - [3-( -1) ] 2 = -2. 8. D　 9. D　 10. A 11. 1　 【解析】∵ 关于 x 的方程(m+ 1) x | m | + 1 +x- 3 = 0 是 一元二次方程,∴ m+1≠0 | m | +1 = 2{ ,解得 m = 1. 12. C　 【解析】将 x = -2 代入方程得 2×( -2) 2 +( -2)m+ n = 0,则 n = 2m- 8,将 x = 1 代入方程得 2 × 12 +m+n = 0,则 n = -2-m,则 n = -4,m = 2,∴ nm = ( -4) 2 = 16. 故 选 C. 13. B　 【解析】由表格可知,当 x = 1. 2 时,x2 +px+q<0,当 x = 1. 3 时,x2 +px+q>0,∴ x2 +px+q = 0 时,1. 2<x<1. 3, ∴ 解的整数部分是 1,十分位是 2. 故选 B. 14. 2 026　 【解析】对于一元二次方程 a( x-1) 2 +bx-3 = b 即 a( x-1) 2 +b( x-1) -3 = 0,设 t = x-1,所以 at2 +bt-3 = 0. 而关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx- 3 = 0( a≠0) 有一根 为 2 025, 所 以 at2 + bt - 3 = 0 有 一 个 根 为 2 025,则 x-1 = 2 025,解得 x = 2 026,所以一元二次 方程 a( x-1) 2 +bx-3 = b 必有一根为 2 026. 15. 解:(1) y2 -y-2 = 0 ( 2)设所求方程的根为 y,则 y = 1 x ,所以 x = 1 y . 把 x = 1 y 代入已知方程,得 2 ( 1 y ) 2 - 7 · 1 y + 3 = 0. 化简得 3y2 -7y+2 = 0,即所求方程为 3y2 -7y+2 = 0. 21. 2　 解一元二次方程 21. 2. 1 配方法 第 1 课时 　 直接降次法 1. C　 【解析】C. 由原方程得到 x2 = -4<0,所以该方程无 解 . 故选 C. 2. D　 【解析】∵ x2 -4 = 0,∴ x2 = 4,则 x1 = 2,x2 = -2,∴ 丁 正确 . 故选 D. 3. ±3　 【解析】根据题意得 3x2 - 6 = 21,3x2 = 27,x2 = 9,x = ±3. 4. 1　 【解析】解法一:将 x = -1 代入 x2 +a = 0,得 1+a = 0, 解得 a = -1,则方程为 x2 -1 = 0,解得 x1 = 1,x2 = - 1,∴ 另一个根是 x = 1. 解法二:由 x2 +a = 0,得 x2 = -a,∴ x = ± -a ,即该方程 的两个根互为相反数 . ∵ x = - 1 是方程 x2 +a = 0 的一 个根,∴ 另一个根是 x = 1. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】形如 ax2 +b = 0 的一元二次方程,若有实数 根,则两实数根之和为 0,即互为相反数 . 5. B　 6. D　 7. 解:原方程可变形,得[ ( x+2) -4] [ ( x+2) +4] = 4. ( x+ 2) 2 -42 = 4,( x+ 2) 2 = 4 + 42 . ∴ x = - 2 ± 2 5 ,∴ x1 = - 2 + 2 5 ,x2 = -2-2 5 . 8. A　 【解析】∵ ( x- 3) 2 = 1,∴ x1 = 4,x2 = 2. ∵ 三角形两 边和大于第三条边,∴ 腰长只能为 4,∴ 周长为 4+4+2 = 10. 故选 A. 9. 解:(1)根据题意得 4m-1≥0,解得 m≥ 1 4 ; (2)把 x = 2 代入方程( x-1) 2 = 4m-1 得( 2 - 1) 2 = 4m- 1,解得 m = 1 2 . ∴ 方程化为( x- 1) 2 = 1,∴ x- 1 = ± 1,解 得 x1 = 2,x2 = 0,∴ 方程的另一个根为 0. 第 2 课时 　 配方法 1. C 2. (1)4　 2　 (2) ±10　 ±5　 (3) ±3　 ± 3 2 3. B　 【解析】∵ y2 -y = 3 4 ,∴ y2 -y+( 1 2 ) 2 = 3 4 +( 1 2 ) 2,∴ ( y- 1 2 ) 2 = 1. 故选 B. 4. 3 5. 解:(1)二 (2)移项,得 x2 -x = 1 2 . 配方,得 x2 -x+ 1 4 = 1 2 + 1 4 ,( x- 1 2 ) 2 = 3 4 . 由 此 可 得 x - 1 2 = ± 3 2 , x1 = 1+ 3 2 , x2 = 1 - 3 2 . 6. B —1— 7. 解:(1)移项,得 2x2 -3x = 6. 二次项系数化为 1,得 x2 - 3 2 x = 3. 配方,得 x2 - 3 2 x+( 3 4 ) 2 = 3+( 3 4 ) 2 , ( x- 3 4 ) 2 = 57 16 . 由此可得 x- 3 4 = ± 57 4 , ∴ x1 = 3+ 57 4 ,x2 = 3- 57 4 ; (2)移项,得 2 3 x2 + 1 3 x = 2. 二次项系数化为 1,得 x2 + 1 2 x = 3. 配方,得 x2 + 1 2 x+( 1 4 ) 2 = 3+( 1 4 ) 2 , ( x+ 1 4 ) 2 = 49 16 . 由此可得 x+ 1 4 = ± 7 4 , ∴ x1 = 3 2 ,x2 = -2. 8. A　 【解析】由题意,得 P-Q = m2 -m-(m-2)= m2 -2m+ 2 = (m-1) 2 +1>0,∴ P>Q. 故选 A. 9. 解:原式 = -3( x2 -4x) -11 = -3( x2 -4x+4) -11+12 = -3 ( x-2) 2 +1,∵ - 3 ( x- 2) 2 ≤ 0,∴ - 3 ( x- 2) 2 + 1 ≤ 1,∴ -3x2 +12x-11≤1,∴ 二次三项式-3x2 +12x-11 的最大 值是 1. 10. C　 【解析】∵ 配方可得 x2 - b 2 x+( b 4 ) 2 = ( b 4 ) 2 - a 2 , ( x- b 4 ) 2 = ( b 4 ) 2 - a 2 ,∴ b 4 = 3 2 ,∴ b = 6. 故选 C. 11. D　 12. B　 【解析】∵ 1 4 m2 + 1 4 n2 = n-m-2,∴ m2 +n2 = 4n-4m -8,∴ (m2 +4m+4) +(n2 -4n+4)= 0,即(m+ 2) 2 +( n- 2) 2 = 0. ∴ m+2 = 0,n-2 = 0,解得 m = - 2,n = 2. ∴ 1 m + 1 n = - 1 2 + 1 2 = 0. 故选 B. 13. 19 或 21 或 23　 【解析】∵ x2 -8x+15 = 0,∴ x1 = 3,x2 = 5,三边为 9,9,3 时,周长 9 × 2 + 3 = 21;三边为 9,9,5 时,周长 9×2+5 = 23;三边为 5,5,9 时,周长 5×2+9 = 19;三边为 3,3,9 时,3 + 3 < 9,无法构成三角形 . 故该 等腰三角形的周长为 19 或 21 或 23. 14. 解:任务一:移项,得 x2 +2x = 35. 配方,得 x2 +2x+1 = 35+1,即( x+1) 2 = 36. 直接开平方,得 x+1 = ±6. ∴ x = -1±6, 即 x1 = 5,x2 = -7. 任务二:利用几何学解一元二次方程的不足之处是漏 解. (答案不唯一) 21. 2. 2　 公式法 1. A　 2. C 3. C　 【解析】∵ 方程有两个相等的实数根,∴ 32 - 4 × 2m = 0,解得 m = 9 8 . 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【归纳总结】一元二次方程根的情况与判别式 Δ 的关 系:①Δ>0,方程有两个不相等的实数根;②Δ = 0,方程 有两个相等的实数根;③Δ<0,方程没有实数根 . 4. A　 【解析】由数轴得 m>0,n< 0,m+n< 0,mn< 0,∴ Δ = ( -mn) 2 -4(m+n) >0,∴ 方程有两个不相等的实数根 . 故选 A. 5. D　 【解析】∵ 直线 y = - 2x+a 不经过第一象限,∴ a≤ 0,∵ ax2 +x+2 = 0,当 a = 0,方程 ax2 +x+ 2 = 0 为一元一 次方程,即 x+2 = 0,解得 x = -2,方程有一个实数根;当 a<0 时,方程 ax2 +x+ 2 = 0 为一元二次方程,∵ Δ = 1 - 8a>0,∴ 方程有 2 个实数根 . 故选 D. 6. (1)证明:∵ 关于 x 的方程 x2 -( k+ 3) x+ 3k = 0,∴ Δ = [ -( k+3) ] 2 - 12k = k2 + 6k+ 9 - 12k = k2 - 6k+ 9 = ( k- 3) 2 ≥0,则无论 k 取何实数值,方程总有实数根; (2)解:当 b = c 时,k = 3,方程为 x2 -6x+9 = 0,解得 x1 = x2 = 3,此时三边长为 1,3,3,周长为 1+3+3 = 7;当 a = b = 1 或 a = c = 1 时,把 x = 1 代入方程得:1-( k+3) +3k = 0,解得:k = 1,此时方程为:x2 -4x+3 = 0,解得:x1 = 3,x2 = 1,此时三边长为 1,1,3,不能组成三角形,综上所 述,三角形的周长为 7. 7. D　 8. C 9. 解:(1)a = 3 2 ,b = 4,c = -1. Δ = b2 -4ac = 22>0, 方程有两个不相等的实数根, x = -4± 22 2× 3 2 = -4± 22 3 , 即 x1 = -4+ 22 3 ,x2 = -4- 22 3 ; (2)方程化为 6x2 -3x-4 = 0,a = 6,b = -3,c = -4. b2 -4ac = 105>0,方程有两个不相等的实数根, x = 3± 105 2×6 = 3± 105 12 , 即 x1 = 3+ 105 12 ,x2 = 3- 105 12 . 10. D　 【解析】当 k- 1≠0,即 k≠1 时,此方程为一元二 次方程 . ∵ 关于 x 的方程( k- 1) 2 x2 +(2k+ 1) x+ 1 = 0 有实数根,∴ Δ = (2k+1) 2 -4×( k-1) 2 ×1 = 12k-3≥0, 解得 k≥ 1 4 ;当 k-1 = 0,即 k = 1 时,方程为 3x+ 1 = 0, 显然有解 . 综上,k 的取值范围是 k≥ 1 4 . 故选 D. 11. C 12. C　 【解析】根据题意得 1※x = 2x2 -x-1 = -2,整理,得 2x2 -x+1 = 0. ∵ Δ = ( - 1) 2 - 4 × 1 × 2 = - 7 < 0,∴ 方程无 实数根 . 故选 C. 13. 解:(1)根据题意,得 m-1≠0,∴ m≠1. ∵ b2 - 4ac = ( - 2m ) 2 - 4(m-1) (m+1) = 4m2 - 4(m2 -1) = 4, ∴ x = -( -2m) ± 4 2(m-1) = m±1 m-1 . ∴ x1 = m+1 m-1 (m≠1) ,x2 = m-1 m-1 = 1; (2)由(1)知,x1 = m+1 m-1 = m -1+2 m-1 = 1+ 2 m-1 . —2—