22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第二课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

九年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 求二次函数 y=ax 2 +bx+c 的解析式 ◎ 已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是： ①设函数表达式为 y = ax 2+ bx + c ； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到 a ， b ， c 的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 中， 函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表： （ 1 ） 求该二次函数的表达式； （ 2 ） 若点 A （ -1 ， y 1 ）， B （ 4 ， y 2 ） 在这个函数的图象上， 则 y 1 （填 “ > ”、 “ < ” 或 “ = ”） y 2 . 例题点拨 素养导向 【例】 如图， 点 A （ -1 ， 0 ）， B （ 2 ， -3 ） 都在二次函数 y=ax 2 +bx-3 的 图象上 . （ 1 ） 求 a ， b 的值； （ 2 ） 若二次函数的图象经过点 （ -2 ， y 1 ）， （ 0 ， y 2 ）， 5 2 ， y 33 # ， 比 较 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小， 并简述理由 . 【点拨】 利用待定系数法和数形结合法是解答本题的关键 . 先利用待定系数法求得抛物线 的解析式， 进而得到对称轴， 再利用二次函数图象的性质和抛物线上点的坐标的特征解答， 即可得出结论 . 22.1.4 二次函数 y=ax 2 +bx+c的图象和性质 （第二课时） x … 0 1 … y … 5 2 … 2 1 3 2 y x O A B 图 22.1-4 48 二 次 函 数 第二十二章 夯实四基 达标闯关 1. 已知二次函数图象的顶点坐标是 （ 3 ， -1 ）， 与 y 轴的交点是 （ 0 ， -4 ）， 这个二次函数 的解析式是 （ ） A. y= 1 3 x 2 -2x+4 B. y=- 1 3 x 2 +2x-4 C. y=- 1 3 （ x+3 ） 2 -1 D. y=-x 2 +6x-12 2. 已知抛物线 y=ax 2 +bx 经过点 A （ -3 ， -3 ）， 且该抛物线的对称轴经过点 A ， 则该抛物线 的解析式为 （ ） A. y= 1 3 x 2 +2x B. y=- 1 3 x 2 +2x C. y= 1 3 x 2 -2x D. y=- 1 3 x 2 -2x 3. 如图 1 ， 某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形 （曲线 ACB ） 的薄壳屋顶 . 已知它 的拱宽 AB 为 4 m ， 拱高 CO 为 0.8 m. 为了画 出符合要求的模板， 通常要先建立适当的平面 直角坐标系求解析式 . 图 2 是以 AB 所在的直 线为 x 轴， OC 所在的直线为 y 轴建立的平面 直角坐标系， 则图 2 中的抛物线的解析式为 （ ） A. y=-0.2x 2 +0.8 B. y=-0.2x 2 -0.8 C. y=0.2x 2 +0.8 D. y=-0.2x+0.4 4. 抛物线的对称轴为直线 x=2 ， 最小值为 -1 ， 且与 y 轴的交点坐标为 （ 0 ， 3 ） 的抛物线 的解析式为 . 5. 小王在画一个二次函数的图象时， 列出了下面几组 y 与 x 的对应值： 该二次函数的解析式是 . 6. 如图， 抛物线 y=-x 2 +bx+c 经过点 A （ -1 ， 0 ）， B （ 3 ， 0 ） 与 y 轴交于点 C. （ 1 ） 求抛物线的表达式及 C 点坐标； （ 2 ） 点 D （ m ， 3 ） 是抛物线上一点， 且当 x≥m 时， y 的最大值为 3 ， 求 △BCD 的面积 . y C O A B x 图 1 图 2 第 3 题图 x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 -3 -4 -3 0 … y x BA O C 第 6 题图 49 九年级上册 （人教版）数学 能力提升 综合拓展 7. 雁门关位于忻州市雁门山中， 是长城上的 重要关隘 ， 以 “险 ” 著称 ， 被誉为 “中华第一 关” . 由于其地理环境特殊， 行车高速路上的隧道 较多， 如图 1 是雁门关隧道， 其截面为抛物线形， 如图 2 为截面示意图， 线段 OA 表示水平的路面， 以 O 为坐标原点， OA 所在直线为 x 轴， 以过点 O 且垂直于 x 轴的直线为 y 轴， 建立平面直角坐标系 . 经测量 OA=10 m ， 抛物线的顶点 P 到 OA 的距离为 9 m ， 则抛物线的函数表达式为 （ ） A. y=- 1 9 （ x+5 ） 2 B. y=- 1 25 （ x-5 ） 2 C. y=- 1 25 （ x+5 ） 2 +9 D. y=- 9 25 （ x-5 ） 2 +9 8. 如图， 已知二次函数 y=-x 2 +bx+c 的图象经过点 A （ 3 ， 1 ）、 点 B （ 0 ， 4 ） . （ 1 ） 求该二次函数的表达式及顶点坐标； （ 2 ） 点 C （ m ， n ） 在该二次函数图象上 . ① 当 m=-1 时， 求 n 的值； ② 当 m≤x≤3 时， n 最大值为 5 ， 最小值为 1 ， 请根据图象直接写出 m 的取值范围 . 中考链接 真题演练 9. （ 2023 ·阜新） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线： y=ax 2 -2ax+4 （ a>0 ） . （ 1 ） 抛物线的对称轴为 x= ， 抛物线与 y 轴的交点坐标为 ； （ 2 ） 若抛物线的顶点恰好在 x 轴上， 写出抛物线的顶点坐标， 并求它的解析式； （ 3 ） 若 A （ m-1 ， y 1 ）， B （ m ， y 2 ）， C （ m+2 ， y 3 ） 为抛物线上三点， 且总有 y 1 >y 3 >y 2 ， 结合图 象， 求 m 的取值范围 . 第 7 题图 图 1 图 2 B y x A O P y/m x/m O A 第 8 题图 50 九年级上册 （ 人教版 ）数学 =x 2 +4x+4+2x+4=x 2 +6x+8= （ x+3 ） 2 -1 ， ∴ 顶点坐标 为 （ -3 ， -1 ） . 1. B 2. A 3. C 4. 解 ： （ 1 ） y=x 2 -6x-1=x 2 -6x+9-9-1= （ x-3 ） 2 -10 ， ∴ 顶点 （ 3 ， -10 ） . （ 2 ） y=-2x 2 -4x-6=-2 （ x 2 +2x+1-1 ） -6=-2 （ x+1 ） 2 -4 ， 顶点 （ -1 ， -4 ） . （ 3 ） y= 1 2 x 2 +3x+10= 1 2 （ x 2 +6x+9-9 ） +10= 1 2 （ x+3 ） 2 + 11 2 ， 顶点 -3 ， 11 2 2 " . 5. 解 ： （ 1 ） 补全表格 ， 如表所示 ： 故答案为 0 ， 3. （ 2 ） y＝x 2 -4x+3＝ （ x-2 ） 2 -1 ， ∴ 将二次函数 y＝x 2 -4x+ 3 的图象向左平移 4 个单位长度 ， 再向上平移 2 个单 位长度 ， 得到新的抛物线解析式为 y＝ （ x-2+4 ） 2 -1+2 ， 即 y＝ （ x+2 ） 2 +1 ， ∴ 这条抛物线的对称轴为直线 x＝-2. 用描点法画出该二次函数的图象如图所示 . 6. C 7. 解 ： （ 1 ） ∵y=2x 2 -4x+3=2 （ x-1 ） 2 +1 ， ∴ 抛物线 C 1 的顶点坐标为 （ 1 ， 1 ） . ∵y=3x 2 -6x+4=3 （ x-1 ） 2 +1 ， ∴ 抛物线 y=3x 2 -6x+4 的顶点坐标为 （ 1 ， 1 ） . ∵y=-2x 2 - 4x+3=-2 （ x+1 ） 2 +5 ， ∴ 顶点坐标为 （ -1 ， 5 ）， y=2x 2 的顶点 坐标为 （ 0 ， 0 ）， ∴ 与 C 1 是同位抛物线的是 A ， 故选 A. （ 2 ） ∵ 抛物线 C 2 ： y=x 2 -2x+c= （ x-1 ） 2 +c-1 的顶点 坐标为 （ 1 ， c-1 ）， ∵ 抛物线 C 2 与 C 1 是同位抛物线 ， ∴c-1=1 ， ∴c=2. 8. 解 ： （ 1 ） ∵ 二次函数 y=-x 2 +4x-3=- （ x-2 ） 2 +1 ， ∴ 该函数图象的开口向下 ， 顶点坐标为 （ 2 ， 1 ）， 对称 轴为直线 x=2. （ 2 ） ∵y=-x 2 +4x-3=- （ x-2 ） 2 +1 ， ∴D （ 2 ， 1 ）， 当 y=0 时 ， 即 -x 2 +4x-3=0 ， 解得 x 1 =1 ， x 2 =3. ∵ 该函数的图象 与 x 轴交于点 A ， B ， 点 A 在点 B 左侧 ， ∴A （ 1 ， 0 ）， B （ 3 ， 0 ）， ∴AB=2 ， 当 x=0 时 ， y=-3 ， ∴ 点 C 的坐标为 （ 0 ， -3 ） . 如图所示 ， S 四边形 ACBD =S △ABD +S △ABC = 1 2 ×2×1+ 1 2 ×2×3=4 ， ∴ 四边形 ACBD 的面积为 4. 9. C 22.1.4 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和性质 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 解 ： （ 1 ） 由题知 ， 将点 （ 0 ， 5 ）， （ 1 ， 2 ） ， （ 2 ， 1 ） 分别代入函数表达式得 ， c=5 ， a+b+c=2 ， 4a+2b+c=1 1 & & & & % & & & & ' ， 解得 a=1 ， b=-4 ， c=5 1 & & & & % & & & & ' ， ∴ 该二次函数表达式 为 y=x 2 -4x+5. （ 2 ） 当 x=-1 时 ， y 1 = （ -1 ） 2 -4× （ -1 ） +5=10 ； 当 x=4 时 ， y 2 =4 2 -4×4+5=5. ∴y 1 >y 2 . 故答案为 >. 【 例 】 解 ： （ 1 ） ∴ 点 A （ -1 ， 0 ）， B （ 2 ， -3 ） 都在二次函数 y=ax 2 +bx-3 的图象上 . ∴ a-b-3=0 ， 4a+2b-3=-3 3 ， 解得 a=1 ， b=-2 3 ， ∴a=1 ， b=-2. （ 2 ） ∵a=1 ， b=-2 ， ∴y=x 2 -2x-3= （ x-1 ） 2 -4 ， ∴ 对称轴为直线 x=1. ∵a=1>0 ， 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大 ， 又 ∵ （ -2 ， y 1 ） 关于对称轴 的对称点为 （ 4 ， y 1 ）， （ 0 ， y 2 ） 关于对称轴的对 称点为 （ 2 ， y 2 ）， ∵2< 5 2 <4 ， ∴y 2 <y 3 <y 1 . 1. B 2. A 3. A 4. y= （ x-2 ） 2 -1 5. y= （ x-3 ） 2 -4 6. 解 ： （ 1 ） 将 A ， B 两点坐标代入函数解析式得 ， x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … x y O （ 0 ， 3 ） （4 ， 3 ） （ 1 ， 0 ） （ 3 ， 0 ） （ 2 ， -1 ） 第 5 题答图 x y O A D B C 第 8 题答图 60 参 考 答 案 -1-b+c=0 ， -9+3b+c=0 0 ， 解得 b=2 ， c=3 0 . ∴ 抛物线的表达式为 y=-x 2 + 2x+3. 令 x=0 得 ， y=3 ， ∴ 点 C 的坐标为 （ 0 ， 3 ） . （ 2 ） 将 y=3 代入函数解析式得 ， -x 2 +2x+3=3 ， 解 得 x 1 =0 ， x 2 =2 ， 即 m=0 或 2. 又 ∵ 当 x≥m 时 ， y 的最 大值为 3 ， 且抛物线的顶点坐标为 （ 1 ， 4 ）， ∴m=2 ， 故 点 D 的坐标为 （ 2 ， 3 ） . 则 S △BCD = 1 2 ×2×3=3. 7. D 8. 解 ： （ 1 ） ∵ 二次函数 y=-x 2 +bx+c 的图象经过 点 A （ 3 ， 1 ）、 点 B （ 0 ， 4 ） . ∴ -9+3b+c=1 ， c=4 0 ， 解得 b=2 ， c=4 0 ， ∴ 该二次函数为 y=-x ２ +２x+４. ∵y=- （ x-1 ） 2 +5 ， ∴ 顶点为 （ 1 ， 5 ） . （ 2 ） ∵ 点 C （ m ， n ） 在该二次函数图象上 ， ① 当 m=-1 时 ， 则 C （ -1 ， n ）， 把 C （ -1 ， n ） 代入 y=-x 2 +2x+ 4 得 ， n=1 ； ② 当 m≤x≤3 时 ， n 的最大值为 5 ， 最小 值为 1. ∵ 抛物线的顶点为 （ 1 ， 5 ）， 把 y=1 代入 y=- x 2 +2x+4 得 ， 1=-x 2 +2x+4 ， 解得 x 1 =3 ， x 2 =-1 ， ∴m 的取 值范围是 -1≤m≤1. 9. 解 ： （ 1 ） ∵x=- -2a 2a =1 ， 当 x=0 时 ， y=ax 2 -2ax+ 4=4 ， ∴ 抛物线的对称轴是直线 x=1 ， 抛物线与 y 轴的 交点坐标是 （ 0 ， 4 ）， 故答案为 1 ， （ 0 ， 4 ） . （ 2 ） ∵ 抛物线的顶点恰好在 x 轴上 ， ∴ 抛物线的 顶点坐标为 （ 1 ， 0 ） . 把 （ 1 ， 0 ） 代入 y=ax 2 -2ax+4 得 ， 0=a×1 2 -2a×1+4 ， 解得 a=4 ， ∴ 抛物线的解析式为 y= 4x 2 -8x+4. （ 3 ） ∵A （ m-1 ， y 1 ）， B （ m ， y 2 ）， C （ m+2 ， y 3 ） 为抛 物线上三点 ， 且总有 y 1 >y 3 >y 2 ， 又 ∵m-1<m<m+2 ， 抛物 线的对称轴是直线 x=1 ， ∴A ， B 两点位于对称轴左侧 ， 点 C 位于对称轴右侧 ， 且点 A 到对称轴的距离大于点 B 到对称轴的距离 ， 点 C 到对称轴的距离大于点 B 到 对称轴的距离 ， ∴1- （ m-1 ） >m+2-1>1-m ， 解得 0< m< 1 2 . 22.2 二次函数与一元二次方程 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 C 【 知识点 2 】 B 【 例 】 A 1. B 2. D 3. 1 4. 2 024 5. （ -3 ， 0 ） 6. x 1 ＝-1 ， x 2 ＝3 7. B 8. D 9. B 10. k< 9 4 且 k≠0 11. -1 或 0 12. （ 1 ） 解 ： 根据题意知 ， 图象数为 ［ 1 ， -1 ， 0 ］ 的二次函数表达式为 y＝x 2 -x. 故答案为 y＝x 2 -x. （ 2 ） 证明 ： 由题意得 ， 二次函数的解析式为 y＝ x 2 + （ m+3 ） x+m ， ∵Δ＝ （ m+3 ） 2 -4m＝ （ m+1 ） 2 +8＞0 ， ∴ “ 图象 数 ” 为 ［ 1 ， m+3 ， m ］ 的二次函数的图象与 x 轴恒有 两个交点 . 13. A 22.2 二次函数与一元二次方程 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 D 【 知识点 2 】 解 ： （ 1 ） ∵y＝-x 2 -2x+8＝- （ x 2 + 2x ） +8＝- （ x+1 ） 2 +9 ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x＝ -1 ， 顶点坐标为 （ -1 ， 9 ） . （ 2 ） 在 y＝-x 2 -2x+8 中 ， 令 y＝0 ， 得 -x 2 -2x+8＝ 0 ， 解得 x 1 ＝-4 ， x 2 ＝2 ， ∵a＝-1＜0 ， ∴ 抛物线开口 向下 ， ∴ 当 y＞0 时 ， 自变量 x 的取值范围是 -4＜ x＜2. （ 3 ） ∵y＝-x 2 -2x+8＝- （ x 2 +2x ） +8＝- （ x+1 ） 2 +9 ， 抛物线开口向下 ， 对称轴为直线 x＝-1 ， ∴ 当 x＝-1 时 ， 抛物线有最大值 ， 最大值为 9 ， 当 x＝-3 时 ， y＝- （ -3 ） 2 -2× （ -3 ） +8＝5 ， 当 x＝0 时 ， y＝8 ， ∴ 当 -3＜x＜0 时 ， 函数值 y 的取值范围是 5＜y≤9. 【 例 】 解 ： 由图可知 ， y≤4 ， 即 ax 2 +bx≤4 ， ∵ax 2 +bx+c＝0 ， ∴ax 2 +bx＝-c ， ∴-c≤4 ， ∴c≥-4. ∴c 的最小值为 -4. 故答案为 -4. 1. C 2. C 3. B 4. 解 ： （ 1 ） ∵ 二次函数的对称轴为直线 x＝-1 ， 与 x 轴的一个交点坐标为 （ 1 ， 0 ）， ∴ 二次函数图象与 x 轴的另一交点为 （ -3 ， 0 ） . （ 2 ） 设二次函数的表达式为 y＝a （ x+1 ） 2 -4 ， 把 （ 1 ， 0 ） 代入解析式得 ， 4a-4＝0 ， 解得 a＝1 ， ∴ 二次函 数的表达式为 y＝ （ x+1 ） 2 -4. （ 3 ） ∵ 抛物线开口向上 ， 顶点坐标为 （ -1 ， -4 ）， ∴ 抛物线的最小值为 -4. ∵-1- （ -4 ） ＝3＞0- （ -1 ） ＝1 ， ∴ 当 61