11.3.2 多边形的内角和-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

八年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 多边形的内角和 ◎n 边形内角和等于 . 1. 如果一个多边形的内角和是 540° ， 那么该多边形的边数是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 2022 年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、 简约、 唯美、 浪漫的中国文化盛宴， 其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹 . 如图 11.3- 3 是一个正六边形雪花状饰品， 则它的每一个内角是 （ ） A. 60° B. 105° C. 120° D. 135° 【知识点 2 】 多边形的外角和 ◎ 多边形的外角和等于 . 1. 五边形的外角和为 （ ） A. 180° B. 360° C. 720° D. 900° 2. 小李发现交通指示牌中 “停车让行标志” 可以看成是正八边形， 如 图 11.3-4 所示， 则 ∠1 的度数为 . 例题点拨 素养导向 【例 1 】 已知一个正多边形的边数为 n. （ 1 ） 若这个多边形的内角和为其外角和的 4 倍， 求 n 的值； （ 2 ） 若这个正多边形的一个内角为 135° ， 求 n 的值 . 【点拨】 （ 1 ） 先利用内外角和关系求出内角和， 再利用内角和公式求解； （ 2 ） 由内角 和公式及 n 个内角都相等列方程求解， 本题还可以求出一个外角度数， 利用外角和求解 . 11.3.2 多边形的内角和 图 11.3-3 停 1 图 11.3-4 22 三 角 形 第十一章 【例 2 】 如图 11.3-5 ， 已知五边形 ABCDE 中， AB∥CD ， 求 x 的度数 . 【点拨】 先利用 AB∥CD 得到 ∠C 和 ∠B 的和， 再利用五边形的内角和减去 ∠C 与 ∠B 的 和及其余两个已知角即可求解 . 夯实四基 达标闯关 1. 一个多边形的内角和是 1 980° ， 则这个多边形的边数是 （ ） A. 11 B. 13 C. 9 D. 10 2. 一个多边形的内角和等于外角和的两倍， 那么这个多边形是 （ ） A. 三边形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 3. 如图， 小明从 O 点出发， 前进 6 m 后向右转 20° ， 再前 进 6 m 后又向右转 20° ， …， 这样一直走下去， 他第一次回到 出发点 O 时一共走了 （ ） A. 72 m B. 108 m C. 144 m D. 120 m 4. 已知一个多边形的边数为 n. （ 1 ） 若 n＝5 ， 求这个多边形的内角和； （ 2 ） 若这个多边形的内角和的 1 4 比一个四边形的内角和多 90° ， 求 n 的值 . 5. 如图， 若正方形和正八边形的一边重合， 求 ∠BAC 的度数 . A B E D C 140° 140° x 图 11.3-5 20° 20° O 第 3 题图 第 5 题图 D A C B 23 八年级上册 （人教版）数学 能力提升 综合拓展 6. 下面是明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的一段对话： 请根据以上对话内容解答下列问题： （ 1 ） 明明求的是几边形的内角和？ （ 2 ） 明明少加的那个内角为多少度？ 中考链接 真题演练 7. （ 2023 ·永州） 下列多边形中， 内角和等于 360° 的是 （ ） 8. （ 2023 ·兰州） 如图 1 是我国古建筑墙上采用的八角 形镂空窗， 其轮廓是一个正八边形， 窗外之境如同镶嵌于 一个画框之中 . 如图 2 是八角形空窗的示意图， 它的一个外 角 ∠1＝ （ ） A. 45° B. 60° C. 110° D. 135° 这个多边形的 内角和等于 765°. 不对， 你少加 了一个内角 . A B C D 1 图 1 图 2 第 8 题图 明明 佳佳 24 参 考 答 案 数为 36°. 【 例 2 】 解 ： （ 1 ） ∵∠ACD＝∠B+∠BAC ， ∠B＝25° ， ∠BAC＝31° ， ∴∠ACD＝25°+31°＝56°. （ 2 ） ∵AD⊥BD ， ∴∠D＝90°. ∵∠ACD＝56° ， CE 平 分 ∠ACD ， ∴∠ECD＝ 1 2 ∠ACD＝28° ， ∴∠AEC＝ ∠ECD+∠D＝28°+90°＝118°. 1. A 2. B 3. 140° 4. 40° 5. 证明 ： ∵∠ADC＝∠B+∠BAD ， ∠ADC＝∠ADE+ ∠CDE ， ∴∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE. ∵∠ADE＝∠B ， ∴∠BAD＝∠CDE. 6. 解 ： （ 1 ） ∵MN⊥PQ ， ∴∠AOB＝90°. ∵∠BAO＝ 50° ， ∴∠ABO＝90°-∠BAO＝40° . ∵BD 平分 ∠ABO ， ∴ ∠ABD= 1 2 ∠ABO=20°. ∵∠BAO＝50° ， ∴∠BAM＝180°- ∠BAO＝130°. ∵AC 平分 ∠BAM ， ∴∠CAB= 1 2 ∠BAM= 65° ， ∴∠D＝∠CAB-∠ABD＝65°-20°＝45°. （ 2 ） ∠D 的 度 数 不 变 化 ， 永 远 是 45° . 理 由 是 ： ∵∠BAM ＝ ∠AOB+∠ABO ， ∠AOB＝90° ， ∴∠BAM-∠ABO＝90° ， ∴ 1 2 ∠BAM- 1 2 ∠ABO=45°. ∵AC 平分 ∠BAM ， BD 平 分 ∠ABO ， ∴∠ABD= 1 2 ∠ABO ， ∠CAB= 1 2 ∠BAM ， ∴ ∠CAB-∠ABD＝45° ， 即 ∠D＝∠CAB-∠ABD＝45°. 11.3 多边形及其内角和 11.3.1 多边形 【 知识点 1 】 一些线段 相邻两边 邻边 延 长线 不相邻 线段 直线 同一侧 1. C 2. n-1 【 知识点 2 】 各个角 各条边 1. D 2. C 【 例 1 】 D 【 例 2 】 A 1. C 2. B 3. B 4. B 5. A 6. （ 1 ） 1 2 （ 2 ） 2 5 （ 3 ） 3 9 （ 4 ） n-3 n （ n-3 ） 2 7. 解 ： （ 1 ） 观察图形 ， 可得 S＝3 ， N＝1 ， L＝6. 故 答案为 3 ， 1 ， 6. （ 2 ） 由图知 ， 图中格点三角形 ABC 的面积为 1 ， 格点四边形 DEFG 的面积为 3 ， ∵ 格点多 边形的面积 S＝N+aL+b ， ∴ 结合图中的格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 可得 4a+b=1 ， 1+6a+b=3 3 ， ∴ a= 1 2 ， b=-1 1 & & & % & & & ' ， ∴S＝ N+ 1 2 L-1. 将 N＝82 ， L＝38 代入 ， 得 S＝82+ 1 2 ×38-1＝ 100. 11.3.2 多边形的内角和 【 知识点 1 】 （ n-2 ） ×180° 1. B 2. C 【 知识点 2 】 360° 1. B 2. 45° 【 例 1 】 解 ： （ 1 ） 由题意可得 （ n-2 ）· 180°＝ 360°×4 ， 解得 n＝10. （ 2 ） 由题意可得 （ n-2 ）· 180°＝135°n ， 解得 n＝8. 【 例 2 】 解 ： ∵AB∥CD ， ∴∠B+∠C＝180°. ∵ 五边形 ABCDE 内角和为 540° ， ∴x＝540°- （ ∠A+ ∠D ） - （ ∠B+∠C ）， x＝540°- （ 140°+140° ） -180° ， x＝540°-280°-180° ， x＝80°. 答 ： x 的度数为 80°. 1. B 2. D 3. B 4. 解 ： （ 1 ） 当 n＝5 时 ， （ 5-2 ） ×180°＝540° ， ∴ 这个 多边形的内角和为 540°. （ 2 ） 由题意 ， 得 1 4 × （ n-2 ） ×180°-360°=90° ， 解得 n＝12. ∴n 的值为 12. 5. 解 ： ∵ 正八边形的一个内角 ∠DAC 的度数是 （ 8-2 ） ×180° 8 ＝ 6×180° 8 ＝135° ， 正方形的一个内角 ∠BAD 为 90° ， ∴∠BAC＝360°-∠DAC-∠BAD＝360°-135°-90° ＝135°. 6. 解 ： （ 1 ） 设少加的那个内角度数为 x ， 这个多 边形的边数为 n. 根据题意 ， 得 （ n-2 ）· 180°＝x+765° ， 则 x＝180n-1 125. 因为 0＜x＜180 ， 所以 0＜180n-1 125＜180. 解得 6.25＜n＜7.25. ∵n 为整数 ， ∴n＝7 ， ∴ 明明求的是七 边形的内角和 . （ 2 ） 当 n＝7 时 ， x＝180°×7-1 125°＝ 135°. ∴ 少加的那个内角为 135°. 7. B 8. A 第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 【 知识点 1 】 完全重合 完全重合 ≌ 全等 于 1. D 2. C 【 知识点 2 】 相等 相等 1. CE AE ∠A ∠AEC 2. 7 3. 45° 【 例 1 】 ②④ 解析 ： △ABC≌△CDA ， ∠BAC＝ ∠DCA ， ∠B＝∠D. ①AB 与 CD 是对应边 ， 故 ① 不符合题意 ； ②AC 与 CA 是对应边 ， 故 ② 符合题 意 ； ③∠BAC 与 ∠ACD 是对应角 ， 故 ③ 不符合题 意 ； ④∠CAB 与 ∠ACD 是对应角 ， 故 ④ 符合题 意 . 综上所述 ， 正确的结论是 ②④. 【 例 2 】 解 ： ∵△ABC≌△DBE ， ∠ABC＝80° ， ∴∠DBE＝∠ABC＝80° . ∵∠D＝65° ， ∴∠C＝180°- ∠DBE-∠D＝35°. 45