11.3.1 多边形-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

三 角 形 第十一章 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 多边形的概念 ◎ 由 首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形. ◎ 多边形 组成的角叫做它的内角；多边形的边与它的 的 组成 的角叫做多边形的外角. ◎ 连接多边形 的两个顶点的 ，叫做多边形的对角线. ◎ 画出多边形的任何一条边所在 ，如果整个多边形都在这条直线的 ， 那么这个多边形就是凸多边形. 1. 下列图形不是凸多边形的是 （ ） 2. 如图 11.3-1 所示， 将多边形分割成三角形， 图 1 中可分割出 2 个三角形， 图 2 中可分割出 3 个三角形， 图 3 中可分割出 4 个三角形 . 由此能猜测出， n 边形可以 分割出 个三角形 . 【知识点 2 】 正多边形定义 ◎ 都相等， 都相等的多边形叫做正多边形. 1. 下列是正多边形的是 （ ） A. 六条边都相等的六边形 B. 四个角都是直角的四边形 C. 四条边都相等的四边形 D. 三条边都相等的三角形 2. 下列说法正确的是 （ ） A. 各边都相等的多边形是正多边形 B. 各角都相等的多边形是正多边形 C. 各边相等， 各角也相等的多边形是正多边形 D. 一个 n 边形 （ n＞3 ） 有 n 条边， n 个内角， n 条对角线 11.3 多边形及其内角和 11.3.1 多 边 形 A B C D 图 1 图 2 图 3 图 11.3-1 19 八年级上册 （人教版）数学 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 11.3-2 ， 五边形 ABCDE 纸片中剪去一个三角形， 剩 余的部分是 （ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 不能确定 【点拨】 要注意根据剪切的位置不同来确定答案 . 【例 2 】 下列选项中的图形， 不是凸多边形的是 （ ） 【点拨】 根据凸多边形的概念， 如果画出多边形的任何一条边所在直线， 多边形都在这 条直线的同一侧， 该多边形即是凸多边形， 否则不是凸多边形 . 夯实四基 达标闯关 1. 在六边形内任取一点， 把这个点与六边形的各顶点分别连接可以得到 （ ） A. 4 个三角形 B. 5 个三角形 C. 6 个三角形 D. 7 个三角形 2. 下列图形一定是正多边形的是 （ ） A. 三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 八边形 3. 下列多边形中， 对角线是 5 条的多边形是 （ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 4. 平面内， 将长分别为 1 ， 2 ， 4 ， x 的线段， 首尾顺次相接组成凸四 边形 （如图）， x 可能是 （ ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 5. 若从一个多边形的一个顶点出发， 最多可以引 10 条对角线， 则它是 （ ） A. 十三边形 B. 十二边形 C. 十一边形 D. 十边形 6. 填空： （ 1 ） 从四边形的一个顶点出发可以画出 条对角线， 四边形共有 条对角线； （ 2 ） 从五边形的一个顶点出发可以画出 条对角线， 五边形共有 条对角线； （ 3 ） 从六边形的一个顶点出发可以画出 条对角线， 六边形共有 条对角线； （ 4 ） 从 n 边形的一个顶点出发可以画出 条对角线， n 边形共有 条对角线 . D E C BA 图 11.3-2 A B C D 1 x 4 2 第 4 题图 20 三 角 形 第十一章 能力提升 综合拓展 7. 若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形 . 格点多边形的面积记为 S ， 其内部的格点数记为 N ， 边界上的格点数记为 L ， 例如图中 △ABC 是格点三角形， 对应 的 S＝1 ， N＝0 ， L＝4. （ 1 ） 求出图中格点四边形 DEFG 对应的 S＝ ， N＝ ， L＝ ； （ 2 ） 已知格点多边形的面积可表示为 S＝N+aL+b ， 其中 a ， b 为常数， 若某格点多边形对 应的 N＝82 ， L＝38 ， 求 S 的值 . F E A C B D G 第 7 题图 21 参 考 答 案 数为 36°. 【 例 2 】 解 ： （ 1 ） ∵∠ACD＝∠B+∠BAC ， ∠B＝25° ， ∠BAC＝31° ， ∴∠ACD＝25°+31°＝56°. （ 2 ） ∵AD⊥BD ， ∴∠D＝90°. ∵∠ACD＝56° ， CE 平 分 ∠ACD ， ∴∠ECD＝ 1 2 ∠ACD＝28° ， ∴∠AEC＝ ∠ECD+∠D＝28°+90°＝118°. 1. A 2. B 3. 140° 4. 40° 5. 证明 ： ∵∠ADC＝∠B+∠BAD ， ∠ADC＝∠ADE+ ∠CDE ， ∴∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE. ∵∠ADE＝∠B ， ∴∠BAD＝∠CDE. 6. 解 ： （ 1 ） ∵MN⊥PQ ， ∴∠AOB＝90°. ∵∠BAO＝ 50° ， ∴∠ABO＝90°-∠BAO＝40° . ∵BD 平分 ∠ABO ， ∴ ∠ABD= 1 2 ∠ABO=20°. ∵∠BAO＝50° ， ∴∠BAM＝180°- ∠BAO＝130°. ∵AC 平分 ∠BAM ， ∴∠CAB= 1 2 ∠BAM= 65° ， ∴∠D＝∠CAB-∠ABD＝65°-20°＝45°. （ 2 ） ∠D 的 度 数 不 变 化 ， 永 远 是 45° . 理 由 是 ： ∵∠BAM ＝ ∠AOB+∠ABO ， ∠AOB＝90° ， ∴∠BAM-∠ABO＝90° ， ∴ 1 2 ∠BAM- 1 2 ∠ABO=45°. ∵AC 平分 ∠BAM ， BD 平 分 ∠ABO ， ∴∠ABD= 1 2 ∠ABO ， ∠CAB= 1 2 ∠BAM ， ∴ ∠CAB-∠ABD＝45° ， 即 ∠D＝∠CAB-∠ABD＝45°. 11.3 多边形及其内角和 11.3.1 多边形 【 知识点 1 】 一些线段 相邻两边 邻边 延 长线 不相邻 线段 直线 同一侧 1. C 2. n-1 【 知识点 2 】 各个角 各条边 1. D 2. C 【 例 1 】 D 【 例 2 】 A 1. C 2. B 3. B 4. B 5. A 6. （ 1 ） 1 2 （ 2 ） 2 5 （ 3 ） 3 9 （ 4 ） n-3 n （ n-3 ） 2 7. 解 ： （ 1 ） 观察图形 ， 可得 S＝3 ， N＝1 ， L＝6. 故 答案为 3 ， 1 ， 6. （ 2 ） 由图知 ， 图中格点三角形 ABC 的面积为 1 ， 格点四边形 DEFG 的面积为 3 ， ∵ 格点多 边形的面积 S＝N+aL+b ， ∴ 结合图中的格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 可得 4a+b=1 ， 1+6a+b=3 3 ， ∴ a= 1 2 ， b=-1 1 & & & % & & & ' ， ∴S＝ N+ 1 2 L-1. 将 N＝82 ， L＝38 代入 ， 得 S＝82+ 1 2 ×38-1＝ 100. 11.3.2 多边形的内角和 【 知识点 1 】 （ n-2 ） ×180° 1. B 2. C 【 知识点 2 】 360° 1. B 2. 45° 【 例 1 】 解 ： （ 1 ） 由题意可得 （ n-2 ）· 180°＝ 360°×4 ， 解得 n＝10. （ 2 ） 由题意可得 （ n-2 ）· 180°＝135°n ， 解得 n＝8. 【 例 2 】 解 ： ∵AB∥CD ， ∴∠B+∠C＝180°. ∵ 五边形 ABCDE 内角和为 540° ， ∴x＝540°- （ ∠A+ ∠D ） - （ ∠B+∠C ）， x＝540°- （ 140°+140° ） -180° ， x＝540°-280°-180° ， x＝80°. 答 ： x 的度数为 80°. 1. B 2. D 3. B 4. 解 ： （ 1 ） 当 n＝5 时 ， （ 5-2 ） ×180°＝540° ， ∴ 这个 多边形的内角和为 540°. （ 2 ） 由题意 ， 得 1 4 × （ n-2 ） ×180°-360°=90° ， 解得 n＝12. ∴n 的值为 12. 5. 解 ： ∵ 正八边形的一个内角 ∠DAC 的度数是 （ 8-2 ） ×180° 8 ＝ 6×180° 8 ＝135° ， 正方形的一个内角 ∠BAD 为 90° ， ∴∠BAC＝360°-∠DAC-∠BAD＝360°-135°-90° ＝135°. 6. 解 ： （ 1 ） 设少加的那个内角度数为 x ， 这个多 边形的边数为 n. 根据题意 ， 得 （ n-2 ）· 180°＝x+765° ， 则 x＝180n-1 125. 因为 0＜x＜180 ， 所以 0＜180n-1 125＜180. 解得 6.25＜n＜7.25. ∵n 为整数 ， ∴n＝7 ， ∴ 明明求的是七 边形的内角和 . （ 2 ） 当 n＝7 时 ， x＝180°×7-1 125°＝ 135°. ∴ 少加的那个内角为 135°. 7. B 8. A 第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 【 知识点 1 】 完全重合 完全重合 ≌ 全等 于 1. D 2. C 【 知识点 2 】 相等 相等 1. CE AE ∠A ∠AEC 2. 7 3. 45° 【 例 1 】 ②④ 解析 ： △ABC≌△CDA ， ∠BAC＝ ∠DCA ， ∠B＝∠D. ①AB 与 CD 是对应边 ， 故 ① 不符合题意 ； ②AC 与 CA 是对应边 ， 故 ② 符合题 意 ； ③∠BAC 与 ∠ACD 是对应角 ， 故 ③ 不符合题 意 ； ④∠CAB 与 ∠ACD 是对应角 ， 故 ④ 符合题 意 . 综上所述 ， 正确的结论是 ②④. 【 例 2 】 解 ： ∵△ABC≌△DBE ， ∠ABC＝80° ， ∴∠DBE＝∠ABC＝80° . ∵∠D＝65° ， ∴∠C＝180°- ∠DBE-∠D＝35°. 45