11.2.2 三角形的外角-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（人教版）

八年级上册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 三角形的外角概念及与其不相邻内角的关系 ◎ ①三角形的一边与 组成的角，叫做三角形的外角. ②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 . 1. 如图中 ∠1 是三角形一个外角的是 （ ） 2. 如图 11.2-9 ， 若 ∠B＝35° ， ∠ACD＝120° ， 则 ∠A＝ （ ） A. 35° B. 75° C. 85° D. 95° 3. 如果将一副三角板按如图 11.2-10 的方式叠放， 则 ∠1 的度 数为 （ ） A. 105° B. 120° C. 75° D. 45° 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 11.2-11 ， 在 △ABC 中， ∠1＝∠2＝36° ， ∠3＝∠4 ， 求 ∠DAC 的度数 . 【点拨】 观察图形中 ∠1 ， ∠2 和 ∠3 的位置可知， 先利用内外角关 系求 ∠3 ， ∠4 ， 再利用三角形内角和求解 . 11.2.2 三角形的外角 A B C D D C B A 45° 1 60° 图 11.2-10 A B D C 2 4 3 1 图 11.2-9 图 11.2-11 1 1 1 1 16 三 角 形 第十一章 【例 2 】 如图 11.2-12 ， 在 △ABC 中， ∠B＝25° ， ∠BAC＝31° ， 过点 A 作 BC 边上的高， 交 BC 的延长线于点 D ， CE 平分 ∠ACD ， 交 AD 于 点 E. 求： （ 1 ） ∠ACD 的度数； （ 2 ） ∠AEC 的度数 . 【点拨】 （ 1 ） 显然可以直接利用三角形内外角关系求解； （ 2 ） 观察所求 ∠AEC 为 △ECD 的外角， 而 ∠D 为 90° ， 只需求出 ∠ECD 即可， 而由第 （ 1 ） 问结果和角平分线条件 不难解决 . 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 在 △ABC 中， ∠A＝30° ， ∠B＝50° ， CD 平分 ∠ACB ， 则 ∠BDC 的度数是 （ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 2. 如图， CE 是 △ABC 的外角 ∠ACD 的平分线， 若 ∠B＝35° ， ∠ACE＝60° ， 则 ∠A＝ （ ） A. 95° B. 85° C. 75° D. 65° 3. 一个零件的形状如图所示， 按规定 ∠A 等于 90° ， ∠B ， ∠D 应分别是 20° 和 30° ， 聪 明的李叔叔通过量得 ∠BCD 的度数就断定这个零件是否合格， 那么 ∠BCD＝ 时这个 零件合格 . 4. 如图， 一艘轮船按箭头所示方向行驶， C 处有一灯塔， 当轮船从 A 点行驶到 B 点时， ∠ACB＝ . A E D C B 图 11.2-12 D B A C B A E D C 第 1 题图 第 2 题图 D B C A 70° 30° A B C 第 3 题图 第 4 题图 17 八年级上册 （人教版）数学 5. 如图， 在 △ABC 中， D ， E 分别在 BC ， AC 边上， 且 ∠ADE＝∠B ， 求证： ∠BAD＝ ∠CDE. 能力提升 综合拓展 6. 如图 1 ， 直线 MN⊥ 直线 PQ ， 垂足为点 O ， 点 A ， B 分别在射线 OM ， OP 上 （不与点 O 重合）， AC 是 ∠MAB 的平分线， AC 的反向延长线与 ∠ABQ 的平分线交于点 D ， BD 与 MN 交于点 E. （ 1 ） 当 ∠BAO＝50° 时， 求 ∠ABD ， ∠D 的度数 . （ 2 ） 如图 2 ， 当点 A ， B 在射线 OM ， OP 上任意移动时 （不与点 O 重合）， ∠D 的大小是 否变化？ 若不变化， 请求出 ∠D 的度数； 若变化， 请说明理由 . A E C D B 第 5 题图 M A D Q E O N B P C M A D Q E O N B P C 图 1 图 2 第 6 题图 18 八年级上册 （ 人教版 ）数学 5. （ 1 ） 三角形的稳定性 （ 2 ） 一 （ 3 ） 不能 （ 4 ） 方法一 （ 5 ） （ n-3 ） 6. 7. 三角形具有稳定性 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 （ 第一课时 ） 【 知识点 】 180° 1. A 2. A 【 例 1 】 （ 1 ） 证明 ： ∵CD 平分 ∠ACB ， ∴ ∠DCB＝∠1. ∵∠1＝∠D ， ∴∠DCB＝∠D ， ∴DF∥ BC. （ 2 ） 解 ： ∵DF∥BC ， ∠DFE＝34° ， ∴∠B＝ ∠DFE＝34°. 在 △ABC 中 ， ∠A＝36° ， ∠B＝34° ， ∴ ∠ACB ＝180° -36° -34° ＝110° . ∵CD 平 分 ∠ACB ， ∠1= 1 2 ∠ACB=55° ， ∴∠2＝180°-36°-55°＝89°. 【 例 2 】 解 ： ∵∠A＝80° ， ∴∠ACB+∠ABC＝ 100° . ∵∠ACF ＝30° ， ∠ABE ＝20° ， ∴∠OCB + ∠OBC＝∠ACB+∠ABC- （ ∠ACF+∠ABE ） ＝50° ， ∴ ∠BOC＝180°- （ ∠OCB+∠OBC ） ＝130°. 1. B 2. A 3. B 4. 60° 5. 解 ： ∵∠ABC +∠BAC =180° -∠C =180° -40° = 140° ， ∴ ∠AFB =180° - （ ∠FAB + ∠FBA ） =180° - ［（ ∠ABC +∠BAC ） - （ ∠CAE +∠DBC ）］ =180° - ［ 140° - （ 20°+30° ）］ =90°. 6. 解 ： （ 1 ） 在 △ABC 中 ， ∠BAC＝60° ， ∴∠B+ ∠ACB＝180° -∠BAC＝180° -60° ＝120° ， 又 ∵∠ACB ＝ 2∠B ， ∴∠B ＝ 120° 3 ＝40° . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， ∠ACB＝2∠B＝2×40°＝80°. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠CAD＝ 1 2 ∠BAC＝ 1 2 ×60°＝30° . ∵CE⊥AD ， ∴∠AFC＝90° ， ∴ ∠ACF＝90°-∠CAD＝90°-30°＝60° ， ∴∠ECD＝∠ACB- ∠ACF ＝80° -60° ＝20° . （ 3 ） ∵CE 平 分 ∠ACB ， ∴ ∠ACF＝ 1 2 ∠ACB＝ 1 2 ×80°＝40°. 在 △ACF 中 ， ∠CAF＝ 30° ， ∠ACF＝40° ， ∴∠AFC＝180°-∠CAF-∠ACF＝180°- 30°-40°＝110°. 7. B 8. 100° 9. 55° 11.2.1 三角形的内角 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 互余 1. C 2. C 【 知识点 2 】 直角 1. B 2. A 【 例 1 】 解 ： ∵∠B＝40° ， ∠C＝68° ， ∴∠BAC＝ 180°-∠B-∠C＝72°. ∵AE 是角平分线 ， ∴∠EAC＝ 1 2 ∠BAC＝36°. ∵AD 是高 ， ∠C＝68° ， ∴∠DAC＝ 90°-∠C＝22° ， ∴∠EAD＝∠EAC-∠DAC＝36°-22° ＝14° ， ∠AEC＝90°-14°＝76°. 【 例 2 】 证明 ： （ 1 ） ∵∠ACB＝90° ， CD⊥AB 于 D ， ∴∠ACD+∠BCD＝90° ， ∠B+∠BCD＝90° ， ∴∠ACD＝∠B. （ 2 ） 在 Rt△AFC 中 ， ∠CFA＝ 90°-∠CAF ， 同理在 Rt△AED 中 ， ∠AED＝90°- ∠DAE. 又 ∵AF 平分 ∠CAB ， ∴∠CAF＝∠DAE ， ∴∠AED＝∠CFE ， 又 ∵∠CEF＝∠AED ， ∴∠CEF＝ ∠CFE. 1. A 2. C 3. B 4. 35° 5. 解 ： ∵CD 是 △ABC 的 AB 边上的高 ， ∴∠1+ ∠A＝90°. ∵∠1＝∠B ， ∴∠A+∠B＝90° ， ∴∠ACB＝90° ， 即 △ABC 是直角三角形 . 6. 解 ： ∵CE⊥AF ， ∴∠DEF=90° ， ∴∠EDF=90°- ∠F=90°-40°=50° . 由三角形的内角和定理得 ， ∠C+ ∠DBC=∠F+∠DEF ， ∴30°+∠DBC=40°+90° ， ∴∠DBC= 100°. 7. 解 ： （ 1 ） ∵BE⊥AC ， ∠ACB=70° ， ∴∠EBC= 90°-70°=20° . ∵CD⊥AB ， ∠ABC=40° ， ∴∠DCB=90°- 40°=50° ， ∴∠BHC=180°-20°-50°=110°. （ 2 ） ∵BE 平 分 ∠ABC ， ∠ABC =40° ， ∴ ∠EBC =20° . ∵DC 平 分 ∠ACB ， ∠ACB=70° ， ∴∠DCB=35° ， ∴∠BHC=180°- 20°-35°=125°. 11.2.2 三角形的外角 【 知识点 】 ① 另一边的延长线 ② 和 1. D 2. C 3. A 【 例 1 】 解 ： ∵∠1＝∠2＝36° ， ∴∠3＝∠4＝∠1+ ∠2＝72°. 在 △ACD 中 ， ∠DAC＝180°- （ ∠3+∠4 ） ＝ 180°-2×72°＝36°. ∴∠DAC＝36°. 答 ： ∠DAC 的度 方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 第 6 题答图 A E C H D B 第 7 题答图 44 参 考 答 案 数为 36°. 【 例 2 】 解 ： （ 1 ） ∵∠ACD＝∠B+∠BAC ， ∠B＝25° ， ∠BAC＝31° ， ∴∠ACD＝25°+31°＝56°. （ 2 ） ∵AD⊥BD ， ∴∠D＝90°. ∵∠ACD＝56° ， CE 平 分 ∠ACD ， ∴∠ECD＝ 1 2 ∠ACD＝28° ， ∴∠AEC＝ ∠ECD+∠D＝28°+90°＝118°. 1. A 2. B 3. 140° 4. 40° 5. 证明 ： ∵∠ADC＝∠B+∠BAD ， ∠ADC＝∠ADE+ ∠CDE ， ∴∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE. ∵∠ADE＝∠B ， ∴∠BAD＝∠CDE. 6. 解 ： （ 1 ） ∵MN⊥PQ ， ∴∠AOB＝90°. ∵∠BAO＝ 50° ， ∴∠ABO＝90°-∠BAO＝40° . ∵BD 平分 ∠ABO ， ∴ ∠ABD= 1 2 ∠ABO=20°. ∵∠BAO＝50° ， ∴∠BAM＝180°- ∠BAO＝130°. ∵AC 平分 ∠BAM ， ∴∠CAB= 1 2 ∠BAM= 65° ， ∴∠D＝∠CAB-∠ABD＝65°-20°＝45°. （ 2 ） ∠D 的 度 数 不 变 化 ， 永 远 是 45° . 理 由 是 ： ∵∠BAM ＝ ∠AOB+∠ABO ， ∠AOB＝90° ， ∴∠BAM-∠ABO＝90° ， ∴ 1 2 ∠BAM- 1 2 ∠ABO=45°. ∵AC 平分 ∠BAM ， BD 平 分 ∠ABO ， ∴∠ABD= 1 2 ∠ABO ， ∠CAB= 1 2 ∠BAM ， ∴ ∠CAB-∠ABD＝45° ， 即 ∠D＝∠CAB-∠ABD＝45°. 11.3 多边形及其内角和 11.3.1 多边形 【 知识点 1 】 一些线段 相邻两边 邻边 延 长线 不相邻 线段 直线 同一侧 1. C 2. n-1 【 知识点 2 】 各个角 各条边 1. D 2. C 【 例 1 】 D 【 例 2 】 A 1. C 2. B 3. B 4. B 5. A 6. （ 1 ） 1 2 （ 2 ） 2 5 （ 3 ） 3 9 （ 4 ） n-3 n （ n-3 ） 2 7. 解 ： （ 1 ） 观察图形 ， 可得 S＝3 ， N＝1 ， L＝6. 故 答案为 3 ， 1 ， 6. （ 2 ） 由图知 ， 图中格点三角形 ABC 的面积为 1 ， 格点四边形 DEFG 的面积为 3 ， ∵ 格点多 边形的面积 S＝N+aL+b ， ∴ 结合图中的格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 可得 4a+b=1 ， 1+6a+b=3 3 ， ∴ a= 1 2 ， b=-1 1 & & & % & & & ' ， ∴S＝ N+ 1 2 L-1. 将 N＝82 ， L＝38 代入 ， 得 S＝82+ 1 2 ×38-1＝ 100. 11.3.2 多边形的内角和 【 知识点 1 】 （ n-2 ） ×180° 1. B 2. C 【 知识点 2 】 360° 1. B 2. 45° 【 例 1 】 解 ： （ 1 ） 由题意可得 （ n-2 ）· 180°＝ 360°×4 ， 解得 n＝10. （ 2 ） 由题意可得 （ n-2 ）· 180°＝135°n ， 解得 n＝8. 【 例 2 】 解 ： ∵AB∥CD ， ∴∠B+∠C＝180°. ∵ 五边形 ABCDE 内角和为 540° ， ∴x＝540°- （ ∠A+ ∠D ） - （ ∠B+∠C ）， x＝540°- （ 140°+140° ） -180° ， x＝540°-280°-180° ， x＝80°. 答 ： x 的度数为 80°. 1. B 2. D 3. B 4. 解 ： （ 1 ） 当 n＝5 时 ， （ 5-2 ） ×180°＝540° ， ∴ 这个 多边形的内角和为 540°. （ 2 ） 由题意 ， 得 1 4 × （ n-2 ） ×180°-360°=90° ， 解得 n＝12. ∴n 的值为 12. 5. 解 ： ∵ 正八边形的一个内角 ∠DAC 的度数是 （ 8-2 ） ×180° 8 ＝ 6×180° 8 ＝135° ， 正方形的一个内角 ∠BAD 为 90° ， ∴∠BAC＝360°-∠DAC-∠BAD＝360°-135°-90° ＝135°. 6. 解 ： （ 1 ） 设少加的那个内角度数为 x ， 这个多 边形的边数为 n. 根据题意 ， 得 （ n-2 ）· 180°＝x+765° ， 则 x＝180n-1 125. 因为 0＜x＜180 ， 所以 0＜180n-1 125＜180. 解得 6.25＜n＜7.25. ∵n 为整数 ， ∴n＝7 ， ∴ 明明求的是七 边形的内角和 . （ 2 ） 当 n＝7 时 ， x＝180°×7-1 125°＝ 135°. ∴ 少加的那个内角为 135°. 7. B 8. A 第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 【 知识点 1 】 完全重合 完全重合 ≌ 全等 于 1. D 2. C 【 知识点 2 】 相等 相等 1. CE AE ∠A ∠AEC 2. 7 3. 45° 【 例 1 】 ②④ 解析 ： △ABC≌△CDA ， ∠BAC＝ ∠DCA ， ∠B＝∠D. ①AB 与 CD 是对应边 ， 故 ① 不符合题意 ； ②AC 与 CA 是对应边 ， 故 ② 符合题 意 ； ③∠BAC 与 ∠ACD 是对应角 ， 故 ③ 不符合题 意 ； ④∠CAB 与 ∠ACD 是对应角 ， 故 ④ 符合题 意 . 综上所述 ， 正确的结论是 ②④. 【 例 2 】 解 ： ∵△ABC≌△DBE ， ∠ABC＝80° ， ∴∠DBE＝∠ABC＝80° . ∵∠D＝65° ， ∴∠C＝180°- ∠DBE-∠D＝35°. 45