2.1.1 有理数的加法(第二课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步练习（人教版2024）

有理数的运算 第二章 知识梳理 形成联系 【知识点】 有理数加法运算律 ◎ 有理数加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和 .即 a + b = b + a . ◎ 有理数加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和 .即（ a + b ）+ c = a +（ b + c ）. 1. 计算： （ 1 ）（ -23 ） + （ +58 ） + （ -17 ） = ［（ ） + （ ）］ + （ ） = （ ） + （ ） = ； （ 2 ） 1 6 + - 2 7 7 # + - 5 6 7 6 + + 5 7 7 6 = ［（ ） + （ ）］ + ［（ ） + （ ）］ = （ ） + （ ） = . 2. 某城市一天早晨的气温是 -5 ℃ ， 中午上升了 11 ℃ ， 夜间又下降了 13 ℃ ， 那么这天 夜间的气温是 . 例题点拨 素养导向 【例 1 】 10 筐苹果， 以每筐 30 kg 为准， 超过的千克数记作正数， 不足的千克数记作负 数， 记录如下： 2 ， -4 ， 2.5 ， 3 ， -0.5 ， 1.5 ， 3 ， -1 ， 0 ， -2.5. （ 1 ） 10 筐苹果共超过 （不足） 多少千克？ （ 2 ） 10 筐苹果共重多少千克？ 【点拨】 将 10 筐苹果质量分别与标准质量的差做和的运算， 若和为正数， 即 10 筐苹果 共超过标准总质量； 若和为负数， 即 10 筐苹果共不足标准总质量 . 在计算和的过程中， 采用 加法交换律和结合律， 达到简便运算的目的 . 10 筐苹果的总质量可以用 10 筐苹果的标准总 质量 30×10=300 kg 与 10 筐苹果共超过标准总质量 4 kg 的和， 和为 304 kg. 【例 2 】 某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻， 他从岗亭出发， 巡逻了一段时 间停留在 A 处， 规定以岗亭为原点， 向北为正， 这段时间行驶记录如下 （单位： km ）： +10 ， -9 ， +7 ， -15 ， +6 ， -14 ， +4 ， -2. （ 1 ） A 处在岗亭哪个方向？ 距离岗亭多远？ （ 2 ） 若摩托车行驶 1 km 耗油 0.12 L ， 油箱中有 10 L 油， 摩托车最后能否返回岗亭？ 【点拨】 （ 1 ） A 处在岗亭哪个方向取决于和的运算结果的正负， 和为正表示最终位置处 2.1.1 有理数的加法 （第二课时） 21 七年级上册 （人教版）数学 于北面； 和为负表示最终位置处于南面 . 在进行和的运算过程中， 用加法的交换律和结合律 达到简便运算的目的 . （ 2 ） 要想判断摩托车最终能否返回岗亭， 需要算出全程的耗油量， 如 果全程的耗油量小于油箱中的 10 L 油， 那么摩托车能够返回岗亭； 如果全程的耗油量大于 油箱中 10 L 油， 那么摩托车不能返回岗亭 . 全程的耗油量等于 “总路程 × 每千米的耗油量”， 其中总路程与行驶方向无关， 只考虑行驶距离， 因此用每段行驶记录的绝对值的总和表示总 路程 . 夯实四基 达标闯关 1. 存折中有存款 240 元， 取出 125 元， 又存入 100 元， 存折中还有 元 . 2. 绝对值小于 5 的所有负整数的和为 . 3. 已知 a 是最小的正整数， b 是 a 的相反数， c 的绝对值为 3 ， 则 a+b+c= . 4. x 是最大的负整数， y 是最小的正整数， z 是最小的自然数， 则代数式 x-y+z= . 5. 若 a<0 ， 则 ｜a｜+a= . 6. 计算： （ 1 ） 3+ （ -1 ） + （ -3 ） +1+ （ -4 ）； （ 2 ） （ -9 ） +4+ （ -5 ） +8 ； （ 3 ） （ -36.35 ） + （ -7.25 ） +26.35+ +7 1 4 4 " ； （ 4 ） 5 9 +1 5 6 + 4 9 + （ -2 ）； （ 5 ） - 3 2 4 " + - 5 12 4 " + 5 2 + - 7 12 4 " . 7. 有 5 袋大米， 其质量分别为 54 kg ， 47 kg ， 55 kg ， 51 kg ， 53 kg. （ 1 ） 以每袋 50 kg 为标准， 用正负数记下每袋的质量； （ 2 ） 用简便方法求出 5 袋大米的总质量 . 22 有理数的运算 第二章 能力提升 综合拓展 8. 如图， 小虫从点 O 出发， 在一直线上来回爬行， 假定向右爬行的路程记为正数， 向 左爬行的路程记为负数， 爬行的各段路程依次为 （单位： cm ）： ＋10 ， -10 ， ＋5 ， -8. （ 1 ） 小虫共爬行多少厘米？ （ 2 ） 最后小虫在点 O 的哪边？ 距离点 O 多远？ 9. 一辆新能源电动出租车一天上午以商场 A 为出发地， 在一条东西走向的道路上载客 行驶， 规定向东为正， 向西为负， 出租车载客的行驶里程如下 （单位： km ）： ＋8 ， -7 ， -3 ， -8 ， ＋6 ， ＋8. （ 1 ） 将最后一名乘客送到目的地时， 求出租车距离商场 A 多远； （ 2 ） 已知这辆新能源电动出租车每千米耗电成本为 0.2 元， 求它这天上午载客行驶里程 的总成本 . 中考链接 真题演练 10. （ 2022 ·湛江） 为体现社会对老师的尊重， 教师节这天上午， 出租车司机小王在东西 向的公路上免费接送老师 . 如果规定向东为正， 向西为负， 出租车的行程记录如下 （单位： km ）： ＋5 ， -4 ， ＋3 ， -10 ， ＋3 ， -9. （ 1 ） 最后一名老师送到目的地时， 小王距出租车出发点的距离是多少？ （ 2 ） 若汽车耗油量为 0.4 L/km ， 则这天上午小王的汽车共耗油多少升？ O 第 8 题图 23 七年级上册 （ 人教版 ）数学 例 （ 1 ） 读法 ： +10 的相反数 ， 即 - （ +10 ） =-10. （ 2 ） 读法 ： -0.15 的本身 ， 即 + （ -0.15 ） =-0.15. （ 3 ） 读法 ： +3 的本身 ， 即 + （ +3 ） =3. （ 4 ） 读法 ： -12 的相反数 ， 即 - （ -12 ） =12. （ 5 ） 读法 ： -1.1 的相反数的本身 ， 即 + ［ - （ -1.1 ）］ =1.1. （ 6 ） 读法 ： -7 的本身的相反数 ， 即 - ［ + （ -7 ）］ =7. 1. B 2. B 3. B 4. （ 1 ） -5 （ 2 ） 8 （ 3 ） 1 2 （ 4 ） -100 5. （ 1 ） 1 （ 2 ） -2 （ 3 ） -3 （ 4 ） -4 6. （ 1 ） -a （ 2 ） -10 （ 3 ） 5 或 15 7. B 8. B 1.2.4 绝 对 值 知识点 1 ： 绝对值 ｜a｜ 1. 5 2.31 仔 2. ±4 0 知识点 2 ： 1. （ 1 ） × （ 2 ） √ （ 3 ） √ （ 4 ） × （ 5 ） √ （ 6 ） × （ 7 ） × （ 8 ） √ 2. a-3 a-3 例 1 解 ： ｜-12 ｜=12 ， 3 5 = 3 5 ， ｜7.5 ｜=7.5 ， ｜0｜=0 ， ｜-4.2｜=4.2. 例 2 （ 1 ） 0 （ 2 ） 5.25 （ 3 ） -5.25 （ 4 ） ±2 例 3 解 ： 绝对值具有非负性 ， 即 ｜x-4｜≥0 ， ｜y-3 ｜≥0 ， 又 ∵ |x-4|+|y-3|=0 ， ∴x-4=0 ， y-3=0 ， x=4 ， y=3 ， ∴x+y=4+3=7. 1. A 2. D 3. C 4. A 5. B 6. C 7. D 8. A 9. （ 1 ） 1 4.8 （ 2 ） 2 1 3 2.4 （ 3 ） 2.5 5 （ 4 ） ±1 （ 5 ） 0 （ 6 ） 2 （ 7 ） 7 10. ①③④ 11. 解 ： （ 60+80+40+100 ） ÷10=28 （ 块 ） . 答 ： 这只 宠物乌龟一共得到 28 块肉 . 12. 解 ： （ 10+5+15＋30+20 ） ×0.1=8 （ L ） . 答 ： 该车 这天共耗油 8 L. 13. 解 ： ∵｜m-3｜ 是非负数 ， 最小值是 0 ， 即 ｜m-3｜≥ 0 ， ∴｜m-3｜+6≥6. 当 m=3 时 ， ｜m-3｜+6 有最小值 ， 最小 值是 6. 14. D 15. D 16. 2 023 1.2.5 有理数的大小比较 知识点 ： 0 负数 1. （ 1 ） < （ 2 ） > 2. > 例 解 ： 如图所示 . -b＞a＞-a＞b. 1. D 2. C 3. B 4. B 5. C 6. D 7. B 8. 5 -2 ９. 解 ： 根据题意 ， 得 a=- 3 2 ， b=1 ， c= 5 2 . ∴|a|+|c-3|+|b|= - 3 2 + 5 2 -3 +｜1｜= 3 2 + 1 2 +1=3. 1０. （ 1 ） （ 2 ） -5<-3<-1<2<4. 1１. A 第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 2.1.1 有理数的加法 （ 第一课时 ） 知识点 ： 和 绝对值 差 0 这个数 1. （ 1 ） -52 （ 2 ） -15 （ 3 ） 1 6 （ 4 ） - 91 30 （ 5 ） 3 2 （ 6 ） -13 2. B 例 解 ： （ 1 ） -24+15.6=-8.4 （ 万元 ）， 故该 公司亏损了 ， 亏损了 8.4 万元 . （ 2 ） -24+15.6+42=33.6 （ 万元 ）， 三年共盈利 33.6 万元 . 1. D 2. B 3. A 4. B 5. 4 6. -7 7 7. 12 -11 -5 -18 -5 0 -3 -14 9 -13 8. < 9. （ 1 ） > （ 2 ） < （ 3 ） > （ 4 ） < 10. （ 1 ） - 3 2 （ 2 ） - 25 6 （ 3 ） - 23 2 （ 4 ） 247 15 11. 解 ： -150+27=-123 （ ℃ ） . 12. 解 ： -15+8-20=-27 （ m ）， 即水下 27 m. 13. A 2.1.1 有理数的加法 （ 第二课时 ） 知识点 ： 不变 不变 1. （ 1 ） -23 -17 +58 -40 +58 18 （ 2 ） 1 ６ - ５ ６ - ２ 7 + ５ 7 - ２ ３ ３ 7 - ５ ２１ 2. -7 ℃ 例 1 解 ： （ 1 ） 2+ （ -4 ） +2.5+3+ （ -0.5 ） +1.5+ 3+ （ -1 ） +0+ （ -2.5 ） =4 （ kg ）， 即超过 4 kg. （ 2 ） 30×10+4=304 （ kg ）， 即共重 304 kg. 例 2 解 ： （ 1 ） 10+ （ -9 ） +7+ （ -15 ） +6+ （ -14 ） +4+ （ -2 ） =-13 （ km ）， 即 A 处在岗亭南方且距离 岗亭 13 km. （ 2 ） ｜10｜+｜-9｜+｜7｜+｜-15｜+｜6｜+｜-14｜+｜4｜+｜-2｜+｜-13｜= 80 （ km ） . 80×0.12=9.6 （ L ）， 9.6<10 ， 即摩托车 最后能返回岗亭 . 1. 215 2. -10 3. ±3 4. -2 5. 0 6. （ 1 ） -4 （ 2 ） -2 （ 3 ） -10 （ 4 ） ５ ６ （ 5 ） 0 7. 解 ： （ 1 ） +4 ， -3 ， +5 ， +1 ， +3. （ 2 ） 50×5+ （ 4-3+5+1+3 ） =250+10=260 （ kg ） . 8. 解 ： （ 1 ） ｜１0｜+｜-10｜+｜+5｜+｜-8｜=33 （ cm ） . （ 2 ） 10+ （ -10 ） +5+ （ -8 ） =-3 （ cm ）， 即最后小虫在 点 O 的左边 3 cm 处 . 9. 解 ： （ 1 ） 8+ （ -7 ） + （ -3 ） + （ -8 ） +6+8=4 （ km ）， 即 出租车距离商场 A 有 4 km. （ 2 ） （ ｜8｜+｜-7｜+｜-3｜+｜-8｜+｜+6｜+｜+8｜ ） ×0.2=40×0.2=8 （ 元 ） . 1０. 解 ： （ 1 ） +5+ （ -4 ） + （ +3 ） + （ -10 ） + （ +3 ） + （ -9 ） = b a 0 -a -b 例题答图 -5 -4 -3 -2 -1 阜阳 淮北 合肥 0 1 2 3 4 5 安庆 芜湖 第 10 题答图 第 6 题答图 0 a -a 40 参 考 答 案 -12 ， ∵｜-12｜=12 ， 即小王距出发点的距离是 12 km. （ 2 ） （ ｜+5 ｜+｜-4 ｜+｜+3 ｜+｜-10 ｜+｜+3 ｜+｜-9 ｜ ） ×0.4=34×0.4= 13.6 （ L ） . 2.1.2 有理数的减法 （ 第一课时 ） 知识点 ： 相反数 1. 22 -7 22 -6 -20 - 3 4 2. 310 3. B 例 1 解 ： （ 1 ） 5 3 4 - （ -13.75 ） =19.5. （ 2 ） -1- - 5 12 + - 7 8 ! " # $ = 7 24 . 例 2 解 ： （ 1 ） 10-4=6. （ 2 ） 2 - （ -4 ） =6. （ 3 ） -1 - （ -6 ） =5. 1. D 2. B 3. B 4. （ 1 ） 7 -7 （ 2 ） 7 （ 3 ） 3.24 （ 4 ） a-b>a> a+b （ 5 ） a （ 6 ） -1 或 -7 5. -3 6. 0.07 7. （ 1 ） 3 （ 2 ） -15.8 （ 3 ） 7.5 （ 4 ） - 5 6 （ 5 ） 0 （ 6 ） -24 （ 7 ） 43 12 （ 8 ） 5 2 8. 解 ： （ 1 ） 50 - （ -40 ） =90 （ 万元 ） . （ 2 ） 20+ 30-40-20+50+10=110-60=50 （ 万元 ）， 即盈利 50 万元 . 9. （ 1 ） 2 （ 2 ） 1 （ 3 ） 7 （ 4 ） n-m 10. D 11. A 12. C 13. D 2.1.2 有理数的减法 （ 第二课时 ） 知识点 1 ： （ 1 ） -1 （ 2 ） -6 知识点 2 ： -20+3+5-7 1. D 2. B 3. 解 ： （ 1 ） -28-12+3-6. （ 2 ） -25-7+15+ 6-11+2. 例 1 D 例 2 解 ： （ 1 ） 14-9+8-7+13-6+10-5=18 （ km ）， 即 B 在 A 的东面 18 km 处 . （ 2 ） （ ｜14｜+｜-9｜+｜+8｜+｜-7｜+｜13｜+｜-6｜+｜+10｜+｜-5｜ ） × 0.5=36 （ L ）， 36-29=7 （ L ）， 即途中还需补充 7 L 油 . 1. C 2. B 3. A 4. （ 1 ） -17 （ 2 ） -5.1 （ 3 ） 77 （ 4 ） -7 5. 解 ： （ 1 ） -4+7-9+8+6-5-2=1 （ km ）， 距 A 地 1 km 远 . （ 2 ） （ ｜-4｜+｜+7｜+｜-9｜+｜+8｜+｜+6｜+｜-5｜+｜-2｜ ） ×0.1=4.1 （ L ） . （ 3 ） 第一次行驶后距 A 地 4 km ， 第二次行驶后 距 A 地 ｜-4+7｜=3 （ km ）， 第三次行驶后距 A 地 ｜-4+7-9｜= 6 （ km ）， 第四次行驶后距 A 地 ｜-4+7-9+8 ｜=2 （ km ）， 第五次行驶后距 A 地 ｜-4+7-9+8+6｜=8 （ km ）， 第六次行 驶后距 A 地 ｜-4+7-9+8+6-5｜=3 （ km ）， 第七次行驶后距 A 地 ｜-4+7-9+8+6-5-2｜=1 （ km ）， ∵1<2<3<4<6<8 ， 即 第五次行驶后距 A 地最远 . 6. 解 ： （ 1 ） 1.1- （ -0.7 ） =1.8 （ kg ）， 即最重的一袋 大米与最轻的一袋大米相差 1.8 kg. （ 2 ） 50+ 1 10 × （ 0.5+0.3+0-0.2-0.3+1.1-0.7-0.2+0.6+0.7 7 & ） =50.18 kg. 7. 解 ： （ 1 ） 213 辆 ， 24 辆 . （ 2 ） 200+ 1 7 × （ 5-2-4+13-10+14-9 7 & ） =201 （ 辆 ） . 8. 解 ： （ 1 ） 15- （ -9 ） =24 （ 次 ） . （ 2 ） 200×8+ （ 8+ 0-5+12-9+1+8+15 ） =1 600+30=1 630 （ 次 ） . （ 3 ） 8× 2+12×2+1×2+8×2+15×2-5×1-9×1=74 ， 即参赛代表队得 74 分 ， 74>70 ， 故该班参赛代表队能够得到学校奖励 . 2.2 有理数的乘法与除法 2.2.1 有理数的乘法 （ 第一课时 ） 知识点 1 ： 正 负 积 0 符号 绝对值 1. （ 1 ） 3 （ 2 ） -3 （ 3 ） 0 2. ①× ②× ③× ④√ 3. B 知识点 2 ： 1 1 5 3 2 - 1 4 - 5 13 1 a 知识点 3 ： 0 偶数 负数 0 （ 1 ） 24 （ 2 ） - 1 10 （ 3 ） - 7 4 （ 4 ） 420 例 1 A 例 2 解 ： 90+ 1 100 × ［ 10× （ -1 ） +10×3+5× （ -2 ） +14×1+12×10+18×2+10×0+4× （ -7 ） +9×7+6× （ -9 ） + 2× （ -12 ）］ =91.37 （ 分 ） . 1. D 2. C 3. D 4. A 5. C 6. D 7. （ 1 ） 28 （ 2 ） -48 （ 3 ） 1 3 （ 4 ） -400 （ 5 ） -2 （ 6 ） -6 8. ±13 9. 解 ： 20-2×6=8 （ ℃ ） . 10. D 11. A 12. A 2.2.1 有理数的乘法 （ 第二课时 ） 知识点 1 ： 不变 （ 1 ） 2 3 （ 2 ） -8 500 知识点 2 ： 不变 - 28 3 知识点 3 ： 相乘 相加 （ 1 ） -27 （ 2 ） 0 例 1 A 例 2 计算有错误 . 第一步乘法分配律中的第 二 、 三 、 四项的符号有错误 ， 应将 （ -24 ） 分配 给括号里的每一项 . 原式 =21. 1. A 2. D 3. D 4. C 5. （ 1 ） -900 （ 2 ） - 1 5 （ 3 ） 13 （ 4 ） -6 6. 解 ： （ 1 ） 3⊙ （ -4 ） =4×3× （ -4 ） =-48. （ 2 ） （ -2 ） ⊙ （ -6⊙3 ） = （ -2 ） ⊙ ［ 4× （ -6 ） ×3 ］ = （ -2 ） ⊙ （ -72 ） =4× （ -2 ） × （ -72 ） =576. 7. 解 ： （ 1 ） 1-2=-1 ， 1×2+1=3 ， -1≠3 ， ∴ （ 1 ， 2 ） 不是 “ 共生有理数对 ” . （ 2 ） ∵ （ a ， 3 ） 是 “ 共生有理数对 ”， ∴a-3=3a+1 ， 解得 a=-2. （ 3 ） ∵ （ m ， n ） 是 “ 共生有理数对 ”， ∴m-n=mn+ 1 ， 而 （ -n ） - （ -m ） =m-n ， （ -n ）（ -m ） +1=mn+1 ， ∵m-n= mn+1 ， ∴ （ -n ） - （ -m ） = （ -n ）（ -m ） +1 ， 即 （ -n ， -m ） 是 “ 共生有理数对 ” . （ 4 ） ∵ （ m ， n ） 是 “ 共生有理数对 ”， ∴m-n=mn+ 1 ， 即 m= 1+n 1-n . 8. D 9. 26 41