12.3 角的平分线的性质-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

12. 3　 角的平分线的性质 角的平分线的性质 1. (3 分)(湖南中考改编)如图,∠1 = ∠2,PC⊥ OA,PD⊥OB,垂足分别为 C,D. 则下列结论中 错误的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. PC=PD B. OC=OD C. ∠CPO= ∠DPO D. OC=PD 第 1 题图 　 第 2 题图 2. (3 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,以顶 点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交边 AC,AB 于点 M,N,再分别以 M,N 为圆心,大 于 1 2 MN 长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP 交边 BC 于点 D,若 CD = 4,AB = 15,则 △ABD 的面积为(　 　 ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3. (3 分)如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE 是△ACD 的高线. 若 AB = 5,S△ABD = 4,则 DE 的长为　 　 　 　 . 4. ( 3 分) 在 △ABC 中, AB = 4, AC = 3, AD 是 △ABC 的角平分线,则△ABD 与△ACD 的面 积之比是 . 5. (10 分)(商丘期末)如图所示,OM 平分∠POQ, MA⊥OP,MB⊥OQ,点 A,B 为垂足,AB 交 OM 于 点 N. 求证:∠OAB= ∠OBA. 角的平分线的判定 6. (3 分)到三角形三条边距离相等的点是(　 　 ) A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 不能确定 7. (3 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠A = 90°,连 接 BD,∠ABD = 35°,BD⊥CD,过点 D 作 DP⊥ BC 于点 P,若 AD=DP,则∠C 的度数为(　 　 ) A. 55° B. 35° C. 60° D. 80° 72 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 人教版·八年级数学上册 错误使用角平分线的性质和判定 8. (3 分) (怀化中考改编)如图,在△ABC 中, ∠C= 90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E,给 出下列结论: ①DC=DE; ②DA 平分∠CDE; ③DE 平分∠ADB; ④BE+AC=AB; ⑤∠BAC= ∠BDE. 其中正确的是　 　 　 　 　 　 (写序号) . 9. (3 分)如图,AD 是△ABC 的 角平分线,DE⊥AB 于点 E, S△ABC = 9,DE = 2,AB = 5,则 AC 的长是　 　 　 　 . 10. (3 分)如图,△ABC 的三边 AB,BC,CA 的长 分别为 40,50,60,其三条角平分线交于点 O,则 S△ABO ∶S△BCO ∶S△CAO = 　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. (3 分)如图,点 O 是△ABC 的两外角平分线 的交点,下列结论:①OB =OC;②点 O 到 AB、 AC 的距离相等;③点 O 到△ABC 的三边的距 离相等;④点 O 在∠A 的平分线上;⑤∠O = 90°- 1 2 ∠A,其中结论正确的序号是　 　 　 　 . 12. (10 分)(濮阳期中)如图,点 C 在线段 AB 上, AC=BE,AD=BC,∠ADE=∠BED. (1)尺规作图:过点 C 作射线 CF 平分∠DCE 交 DE 于点 F;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在第(1)问已作出射线 CF 的条件下,试 探索 CF 与 DE 的位置关系, 并说明 理由. 13. (10 分)(淄博一模)如图,△ABC 中,点 O 是 ∠ABC、∠ACB 的平分线的交点,AB+BC+AC= 12,过 O 作 OD⊥BC 于点 D,且 OD = 2,求 △ABC 的面积. 82 ∴ ∠ACF+∠FAC= 1 2 (∠BCA+∠BAC)= 60°. ∴ ∠AFC= 120°,∠CFD= ∠AFE= 60°, ∵ △CFD≌△CFG,∴ ∠CFD= ∠CFG= 60°, ∴ ∠AFG = ∠AFE = 60°, ∵ AF = AF, ∠FAG = ∠FAE,∴ △AFG≌△AFE(ASA),∴ FG=FE. (3)(1)中结论成立. (2)中结论不成立. 【解析】①同法可证△CFD≌△CFG( SAS),∴ FD = FG. ②∵ ∠B≠60°,∴ 无法证明∠AFG = ∠AFE,∴ 不 能判断△AFG≌△AFE,∴ (2)中结论不成立. 12. 3　 角的平分线的性质 1. D　 2. B 3. 1. 6　 【解析】过 D 作 DF⊥AB 于 F,∵ DF⊥AB,DE 是 △ACD 的高线,AD 是△ABC 的角平分线,∴ DE = DF,∵ S△ABD = 1 2 ×AB×DF = 4,AB = 5,解得 DF = 1. 6,∴ DE = 1. 6. 4. 4 ∶3　 【解析】∵ AD 是△ABC 的角平分线,∴ 设△ABD 的 边 AB 上的高与△ACD 的边 AC 上的高分别为 h1,h2,则 h1 =h2,∴ △ABD 与△ACD 的面积之比=AB ∶AC= 4 ∶3. 5. 证明:∵ OM 平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ, ∴ AM=BM,在 Rt△AOM 和 Rt△BOM 中, OM=OM AM=BM{ ,∴ Rt△AOM≌Rt△BOM(HL), ∴ OA=OB,∴ ∠OAB= ∠OBA. 6. B　 7. A 8. ①②④⑤　 【解析】∵ ∠C = 90°,AD 平分∠BAC,DE⊥ AB,∴ DC = DE,故①正确;在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中, AD=AD,DC=DE,∴ Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴ ∠ADC = ∠ADE,AC=AE,∴ DA 平分∠CDE,故②正确;BE+AC = BE+AE=AB,故④正确;∵ ∠BAC+∠B = 90°,∠BDE+∠B = 90°,∴ ∠BAC = ∠BDE,故⑤正确;∵ ∠ADE+∠BAD = 90°,而 ∠BAD ≠ ∠B, ∴ ∠BDE ≠ ∠ADE, ∴ DE 平 分 ∠ADB 错误,故③错误. 综上所述,正确的有①②④⑤. 9. 4　 10. 4 ∶5 ∶6 11. ②③④⑤　 【解析】过点 O 作 OE⊥AB 于 E,作 OF⊥BC 于 F,作 OG⊥AC 于 G,∵ 点 O 是△ABC 的两外角平分 线的交点,∴ OE=OF,OF =OG,∴ OE =OF =OG,∴ 点 O 在∠A 的平分线上. 故②③④正确;不能判断出 BO = CO,故①错误;∵ ∠EBC = ∠A+ ∠ACB,∠GCB = ∠A+ ∠ABC,∴ ∠EBC+∠GCB = 2∠A+∠ABC+∠ACB = 180° +∠A. ∵ 点 O 是 △ABC 的两外角平分线的交点,∴ ∠CBO= 1 2 ∠EBC,∠BCO= 1 2 ∠BCG,∴ ∠BOC= 180°- ∠CBO-∠BCO = 180° - 1 2 (∠EBC+ ∠GCB) = 90° - 1 2 ∠A. 故⑤正确. 12. 解:(1)如图,CF 即为所求; (2)CF⊥DE,理由如下: ∵ ∠ADE = ∠BED,∴ AD∥BE,∴ ∠A = ∠B. 在 △ADC 和 △BCE 中, AC=BE ∠A= ∠B AD=BC { , ∴ △ADC ≌ △BCE(SAS) . ∴ CD = CE. ∵ CF 是∠DCE 的平 分线,∴ ∠DCF= ∠ECF. 在△DCF 和△ECF 中, DC=EC ∠DCF= ∠ECF CF=CF { ,∴ △DCF≌△ECF(SAS), ∴ ∠DFC= ∠EFC= 90°,∴ CF⊥DE. 13. 解:作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F,连 接 OA, ∵ 点 O 是 ∠ABC, ∠ACB 的平分线的交点,∴ OE = OD,OF = OD, 即 OE = OF = OD = 2. ∴ S△ABC =S△ABO+S△BCO+S△ACO = 1 2 AB·OE+ 1 2 BC·OD+ 1 2 AC·OF = 1 2 ×2×(AB+ BC+AC)= 12. 追梦第十二章章末复习　 全等三角形 1. D 2. B　 【解析】由题可知∠B = 50°,∠CAE = 10°,∵ △ABE≌ △ACD,∴ ∠BAE = ∠CAD,∠B = ∠C = 50°,∴ ∠BAC = 80°. ∵ ∠BAE= ∠BAD+∠DAE,∠CAD = ∠CAE+∠DAE, ∴ ∠BAD= ∠CAE= 10°,∴ ∠CAD= ∠BAC-∠BAD = 80°- 10° = 70°. 故选 B. 3. A　 【解析】∵ △ABC≌△DEF,DF = 30cm,AB = 35cm,∴ DE=AB= 35cm,AC = DF = 30cm,BC = EF,∵ △ABC 的周 长为 100cm,∴ EF=BC= 100-35-30 = 35(cm) . 故选 A. 4. 解:(1)2tcm　 (8-at)cm (2)△BPQ 与△CDQ 能全等. 理由如下: ∵ ∠B= ∠C,∴ △BPQ 与△CDQ 全等存在两种 情况:①当△PBQ≌△QCD 时,PB=CQ,BQ=CD, ∴ 2t= 6,8-at= 8-2t,∴ a= 2,t= 3; ②当△PBQ≌△DCQ 时,PB=DC,BQ=CQ, ∴ 8-at= 6,2t= 8-2t,∴ a= 1,t= 2. 综上,△BPQ 与△CDQ 能全等,此时 a= 2,t= 3 或 a= 1,t= 2. 5. D 6. 84° 　 【解析】 ∵ AC 平分∠DCB,∴ ∠BCA = ∠DCA. 在 △ABC 和△ADC 中, CB=CD ∠BCA= ∠DCA AC=AC { ,∴ △ABC≌△ADC (SAS),∴ ∠B = ∠D,∴ ∠B + ∠ACB = ∠D + ∠ACD. ∵ ∠CAE = ∠D + ∠ACD = 48°, ∴ ∠B + ∠ACB = 48°, ∴ ∠BAE= 180° - ∠B - ∠ACB - ∠CAE = 180° - 48° - 48° = 84°. 7. 1<AD<5　 【解析】延长 AD 到 E,使 DE =AD,连接 BE. 在 △EBD 与△ACD 中, BD=CD ∠BDE= ∠ADC DE=AD { ,∴ △EBD≌△ACD (SAS),∴ BE=AC. ∵ AB= 6,AC= 4,∴ 2<AE<10,∴ 1<AD <5. 8. m+n-k　 【解析】∵ AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴ ∠AFB = ∠CED = 90°,∠A+∠D = 90°,∠C+∠D = 90°,∴ ∠A = ∠C. 在 △ABF 与 △CDE 中, ∠AFB= ∠CED= 90° ∠A= ∠C AB=CD { , ∴ △ABF≌△CDE(AAS),∴ AF=CE =m,BF =DE = n. ∵ EF = k,∴ AD=AF+DF=m+(n-k)= m+n-k. 9. (1)证明:∵ AC 平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD, ∴ CE = CF. ∵ ∠ABC + ∠D = 180°, ∠ABC + ∠EBC = 180°, ∴ ∠EBC = ∠D. 在 △CBE 与 —8—