7 相似三角形的性质(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 6 利用相似三角形测高 1. 4.8 2. 4.4 3. 15 4. 14 5. C 6. C 7. 100 m. 8. 解： ∵ AE∥BD ， ∴ ∠AEC=∠BDC． 又 ∵∠C=∠C ， ∴ △AEC∽△BDC． ∴ 1.8+BC 8.7 = BC 8.7-2.7 ． ∴ BC=4 m． 9. 解 ： ∵BC∥DE ， ∴∠ABC= ∠ADE, ∠BAC= ∠DAE ， ∴△ABC∽△ADE. ∴ BC DE = AB AD . ∴BC · AD=DE · AB ， 即 AB+8.5=1.5×AB. ∴AB=17. 答： 河宽 AB 的长为 17 m． * 10. 解： （ 1 ） 皮尺、 标杆 （ 2 ） 如图所示 . （ 3 ） 如图， 测得标杆 DE=a ， 树和标杆的 影长分别为 AC=b ， EF=c. ∵△DEF∽△BAC ， ∴ DE BA = FE CA ， a x = c b . ∴x＝ ab c . 11. 18.2 12. A 13. 解： ∵AD∥EG ， ∴∠ADO=∠EGF. ∵AO⊥OD ， EF⊥FG ， ∴∠AOD=∠EFG=90°. ∴△AOD∽△EFG. ∴ AO EF = OD FG ， 即 AO 1.8 = 20 2.4 . ∴AO=15. ∵AD∥BC ， ∴∠ADO=∠BCO. ∵∠AOD=∠BOC=90° ， ∴△BOC∽△AOD. ∴ BO AO = OC OD ， 即 BO 15 = 16 20 . ∴BO=12. ∴AB=AO－BO=15-12=3 （ m ） . ∴ 旗杆的高 AB 为 3 m. 7 相似三角形的性质 （第 1 课时） 1. 2 ∶ 1 2. 6 3. 6 5 cm 4. 5 7 5. 3 或 4 3 6. D 7. B 8. D 9. 解： （ 1 ） 在 Rt△ABC 中， AB＝ AC 2 +CB 2 姨 = 9 2 +12 2 姨 =15. ∵CM 是斜边 AB 的中线， ∴CM＝ 1 2 AB=7.5 cm. ∵Rt△ABC∽Rt△DFE ， ∴ DE AC = DF AB . ∴ 3 9 = 1 3 = DF 15 . ∴DF＝5 cm. ∵EN 为斜边 DF 上的中线， ∴EN＝ 1 2 DF=2.5 cm. （ 2 ） ∵ CM EN = 7.5 2.5 = 3 1 ， 相似比为 AC DE = 9 3 = 3 1 ， ∴ CM EN 的值与相似比相等 . 结论： 相似三角形对应中线的比等于相似比 . 10. 解： （ 1 ） △ASR 与 △ABC 相似 . 理由： ∵ 四边形 SRQP 是正方形， ∴SR∥BC. ∴△ASR∽△ABC. （ 2 ） ∵SR ∥BC ， AD⊥BC ， ∴AE⊥SR. ∵△ASR∽△ABC ， ∴ SR BC = AE AD . 设正方形 PQRS 的边长为 x cm ， 则 x 120 = 80-x 80 . 解得 x=48. １1. 解： 如图， 延长 BF 交 CD 于点 H ， 连接 EH. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥CD ， ∠D＝∠DAB＝90° ， AD＝CD＝AB＝1. ∴AC＝ AD 2 +CD 2 姨 ＝ 1 2 +1 2 姨 ＝ 2 姨 . 由轴对称性质， 得 AE＝ EF ， ∠EAB＝∠EFB＝90° ， ∠AEB＝∠FEB. ∵ 点 E 是 AD 的中点， ∴AE＝DE＝EF. ∵∠D＝∠EFH＝ 90° ， EH=EH ， ∴Rt△EHD≌Rt△EHF （ HL ） . ∴∠DEH＝∠FEH. ∵∠DEF+∠AEF＝180° ， ∴2∠DEH+2∠AEB＝180° . ∴∠DEH+∠AEB＝90° . ∴∠HEB＝90° . ∵∠AEB+∠ABE＝90° ， ∴∠DEH＝∠ABE. ∵∠D＝∠DAB＝90° ， ∴△EDH∽△BAE. ∴ ED AB ＝ DH EA ＝ 1 2 . ∴DH＝ 1 4 ， CH＝ 3 4 . ∵CH∥AB ， ∴∠HCG＝∠BAG ， ∠CHG＝∠ABG. ∴△CHG∽△ABG. ∴ CG GA ＝ CH AB ＝ 3 4 . ∴CG＝ 3 7 AC＝ 3 2 姨 7 . 12. 4 5 13. C 14. （ 1 ） 解： ∵△ABC ， △CDE 是两个等腰直角三角形， ∴EC=DC ， ∴∠ACB=∠ABC= 45° ， ∠CED=∠CDE=45° ， ∠ECD＝90° . ∴∠CFE＝180°-∠ACB-∠CED＝90° . ∴∠FCD＝ ∠ECD-∠ACB＝45°. ∴EF=DF. ∴BC 是 DE 的垂直平分线 . ∴BE=BD. ∵BH＝DH ， EH⊥BD ， ∴ EH 是 BD 的垂直平分线 . ∴BE＝DE. ∴BE=BD＝DE. ∴∠BED＝60°. （ 2 ） 证明： 由 （ 1 ） 知， ∠ACB＝∠CED＝45° ， ∴∠EFG＝∠BFD＝∠CFE＝90°. ∵∠DBF+ ∠BDF＝90° ， ∠BDF+∠DEG＝90° ， ∴∠DBF＝∠FEG. ∴△EFG∽△BFD. （ 3 ） 证明 ： 如图 ， 作 BQ∥AC ， 交 EH 的延长线于点 Q ， ∴∠Q＝∠CEG. ∵∠QGB＝ ∠CGE ， ∴△BQG∽△CEG. ∴ QG GE = BG GC . ∴ QE GE = BC GC . 由 （ 1 ） 知， BC 是 DE 的垂直平分线， ∴BE＝BD ， ∠EBF＝∠DBF. ∴∠AEB＝∠ACB+∠EBF ， ∠CEQ＝∠CED+∠FEG. 由 （ 1 ） ∠ACB=∠CED=45° ， ∠DBF＝ ∠FEG. ∴∠AEB＝∠CEQ. ∵BQ∥BC ， ∴∠AEB＝∠QBE ， ∠CEQ＝∠Q. ∴∠Q＝∠QBE. ∴BE＝EQ. ∴ BC GC = BE GE . 第 11 题答图 G E F A B CD H 第 14 题答图 A B C D E F G H Q E F B A C D 第 10 题答图 230 九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 这是一个照相机成像的示意图 ． （ 1 ） 如果像高 MN 是 35 mm ， 焦距是 50 mm ， 拍摄的景 物高度 AB 是 4.9 m ， 拍摄点离景物有多远？ （ 2 ） 如果要完整地拍摄高度是 2 m 的景物， 拍摄点离景 物有 4 m ， 像高不变， 则相机的焦距应调整为多少毫米？ 【分析】 （ 1 ） 利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比即可列出比例式求解 . （ 2 ） 和上问一样， 利用相似得 像高 物高 = 焦距 物距 ， 求相机的焦距 ． 【解答 】 （ 1 ） 由题意知 MN∥AB ， CL⊥MN ， LD⊥AB ， ∴∠M=∠B, ∠N=∠A ， ∴ △LMN∽△LBA ， ∴ MN AB = LC LD . ∵MN=0.035 ， LC=0.05 ， AB=4.9 ， ∴ 0.035 4.9 = 0.05 LD ， ∴LD＝7 （ m ） . 答： 拍摄点距离景物 7 m. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 △LMN∽△LBA ， ∴ MN AB = LC LD . ∵MN=0.035 ， AB=2 ， LD＝4 ， ∴ 0.035 2 = LC 4 ， ∴LC＝0.07 （ m ） . 答： 相机的焦距应调整为 70 mm. 【点拨】 本题考查了相似三角形的应用， 解题的关键是根据题意得到相似三角形， 并利 用相似三角形对应边上的高的比等于相似比这一重要性质 ． 基础巩固 达标闯关 1. 如果两个相似三角形的对应角平分线的比为 2 ∶ 1 ， 则这两个相似三角形的相似比为 . 2. 已知 △ABC∽△DEF ， 且相似比为 4 ∶ 3 ， 若 △ABC 中 BC 边上的中线 AM=8 ， 则 △DEF 中 EF 边上的中线 DN= . 3. 如图， 电灯 P 在横杆 AB 的正上方， AB 在灯光下的影 子长为 CD ， AB∥CD ， AB=2 cm ， CD=5 cm ， 点 P 到 CD 的距 离为 3 cm ， 则点 P 到 AB 的距离为 . 4. 如图 ， 在 △ABC 中 ， 点 D ， E 分别是 AB ， AC 上的 点， DE∥BC ， AF 平分 ∠BAC 交 DE 于点 G ， 若 AD=5 ， DB= 2 ， 则 AG ∶ AF= . 7 相似三角形的性质 （第 1课时） 例题图 35 mm 50 mm 4.9 m M A B C D N L P A B C D G E F A B C D 第 3 题图 第 4 题图 100 图形的相似 第四章 5. 如图， 在 △ABC 中， AC=6 ， AB=4 ， 点 D 与点 A 在直线 BC 的同侧， 且 ∠ACD=∠ABC ， CD=2 ， 点 E 是线段 BC 延长线上的动点， 当 △DCE 和 △ABC 相似时， 线段 CE 的长为 . 6. 下列不一定是相似三角形的性质的是 （ ） A. 对应角相等 B. 对应边成比例 C. 对应高的比等于相似比 D. 对应边相等 7. 在 △ABC 中， BC=15 cm ， CA=45 cm ， AB=63 cm ， 另一个和它相似的三角形的最短边 是 5 cm ， 则这个三角形的最长边是 （ ） A. 18 cm B. 21 cm C. 24 cm D. 19.5 cm 8. 如图， 铁道口的栏杆短臂长 1 m ， 长臂长 16 m. 当短臂端点下降 0.5 m 时， 长臂端点升高 （杆的宽度忽略不计） （ ） A. 5 m B. 6 m C. 7 m D. 8 m 9. 如图所示， Rt△ABC∽Rt△DFE ， CM ， EN 分别是斜边 AB ， DF 上的中线， 已知 AC＝ 9 cm ， CB＝12 cm ， DE＝3 cm． （ 1 ） 求 CM 和 EN 的长 . （ 2 ） 你发现 CM EN 的值与相似比有什么关系？ 得到什么结论？ 能力提升 综合拓展 10. 如图 ， △ABC 是一块余料 ， 边 BC=120 cm ， 高 AD=80 cm ， 要把它加工成正方 形， 使一边在 BC 边上， 其余两个顶点分别在 AB ， AC 边上 . （ 1 ） △ASR 与哪个三角形相似？ 请你找出来， 并说明理由 . （ 2 ） 求正方形 PQRS 的边长 . 16 m 0.5 m ？ 第 8 题图 第 10 题图 E S A B C D R P Q M N E F A B C D 第 9 题图 第 5 题图 E A B C D 101 九年级上册 （北师大版）数学 11. 如图， 边长为 1 的正方形 ABCD 中， 点 E 为 AD 的中点 . 连接 BE ， 将 △ABE 沿 BE 折叠得到 △FBE ， BF 交 AC 于点 G ， 求 CG 的长 . 中考链接 真题演练 12. （ 2023 ·常德） 如图 1 ， 在 Rt△ABC 中， ∠ABC＝90° ， AB＝8 ， BC＝6 ， D 是 AB 上一点， 且 AD＝2 ， 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E ， 将 △ADE 绕 A 点顺时针旋转到图 2 的位置， 则 图 2 中 BD CE 的值为 ． 13. （ 2023 ·雅安） 如图， 在 荀ABCD 中， F 是 AD 上一点， CF 交 BD 于点 E ， CF 的延长 线交 BA 的延长线于点 G ， EF=1 ， EC=3 ， 则 GF 的长为 （ ） A． 4 B． 6 C． 8 D． 10 14. （ 2023 ·泰安） 如图， △ABC 和 △CDE 均是等腰直角三角形， ∠BAC＝∠DCE＝90° ， 点 E 在线段 AC 上， BC ， DE 相交于点 F ， 连接 BE ， BD ， 作 EH⊥BD 于点 H ， 交 BC 于点 G． （ 1 ） 若点 H 是 BD 的中点， 求 ∠BED 的度数 . （ 2 ） 求证： △EFG∽△BFD. （ 3 ） 求证： BC GC = BE GE ． G E F A B CD 第 11 题图 图 1 第 12 题图 图 2 第 13 题图 A B C D E A B C D E A B C D E F G 第 14 题图 A B C D E F G H 102