4 探索三角形相似的条件(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

图形的相似 第四章 自主导学 典例精析 例题 如图， BD ， CE 是 △ABC 的两条高， 请说明 △ADE∽△ABC． 【分析】 要说明 △ADE∽△ABC ， 已知它们有一个公共角 ∠A ， 所 以只需找到另一组对应角相等或公共角的两边对应成比例 . 而通过高的 条件能得出 ∠ADB=∠AEC=90° ， 所以先得出 △ADB∽△AEC ， 进而得 AD AE = AB AC ， 再根据 ∠A 为公共角得出 △ADE∽△ABC． 【解答】 ∵BD ， CE 是 △ABC 的两条高， ∴∠ADB=∠AEC=90°. ∵∠A=∠A ， ∴△ADB∽△AEC ， ∴ AD AE = AB AC . 又 ∵∠A=∠A ， ∴△ADE∽△ABC． 【点拨】 判定三角形相似时， 当两个三角形中已有一个角对应相等时， 要判定这两个三 角形相似， 一般先想到找另一组对应角相等或看这个角的两边是否对应成比例， 从而得到相似 . 基础巩固 达标闯关 1. 如图， DE 与 BC 不平行， 当 AB AC = 时， △ABC 与 △ADE 相似 . 2. 在 △ABC 中， ∠B=25° ， AD 是 BC 边上的高， 并且 AD 2 =BD · DC ， 则 ∠BCA 的度数为 . 3. 如图， 已知 A （ 3 ， 0 ）， B （ 0 ， 6 ）， 当点 C 的坐标为 时， △AOC∽△BOA. 4. 如图， 在四边形 ABCD 中， 已知 ∠B=∠ACD ， AB=6 ， BC=4 ， AC=5 ， CD=7.5 ， 则 AD= . 5. 如图， 要使 △ACD∽△ABC ， 需要补充的条件是 （ ） A. AC CD = AB BC B. CD AD = BC AC C. CD 2 =AD · DB D. AC 2 =AD · AB 6. 如图， 点 P 是正方形 ABCD 边 BC 上一点， 且 BP=3PC ， 点 Q 是 DC 的中点， 则 AQ ∶ QP= （ ） A. 2 ∶ 1 B. 3 ∶ 1 C. 3 ∶ 2 D. 5 ∶ 2 4 探索三角形相似的条件 （第 2课时） E A B C D 例题图 E A B C D 第 1 题图 A B C x y O 第 3 题图 A B C D P Q 第 6 题图 A B C D 第 4 题图 A B C D 第 5 题图 83 九年级上册 （北师大版）数学 7. 根据下列条件判断 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 是否相似， 其中 ∠C=∠C′=90°. （ 1 ） AC=14 cm ， BC=6 cm ， A′C′=7 cm ， B′C′=3 cm. （ 2 ） AB= 6 姨 cm ， AC= 3 姨 cm ， A′B′= 30 姨 cm ， A′C′= 15 姨 cm. 能力提升 综合拓展 8. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， 点 E 在边 BC 上移动 （点 E 不与点 B ， C 重合）， 满足 ∠DEF=∠B ， 且点 D ， F 分别在边 AB ， AC 上 ． （ 1 ） 求证： △BDE∽△CEF. （ 2 ） 当点 E 移动到 BC 的中点时， 求证： FE 平分 ∠DFC． 9. 如图， 在矩形 ABCD 中， AB=4 ， BC=3 ， AF 平分 ∠DAC ， 分别交 DC ， BC 的延长线于 点 E ， F. 连接 DF ， 过点 A 作 AH∥DF ， 分别交 BD ， BF 于点 G ， H． （ 1 ） 求 DE 的长 . （ 2 ） 请说明： ∠1=∠DFC． 第 8 题图 E F A B C D H G E F A B C D 1 第 9 题图 84 图形的相似 第四章 中考链接 真题演练 10. （ 2023 ·广州） 如图， AC 是菱形 ABCD 的对角线 ． （ 1 ） 尺规作图： 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △ADE ， 点 B 旋转后的对应点为 D （保留作图痕迹， 不写作法） . （ 2 ） 在 （ 1 ） 所作的图中， 连接 BD ， CE ， 求证： △ABD∽△ACE. 11. （ 2023 ·伊春） 如图 1 ， △ABC 和 △ADE 是等边三角形， 连接 DC ， 点 F ， G ， H 分别 是 DE ， DC 和 BC 的中点， 连接 FG ， FH． 易证： FH＝ 3 姨 FG． （ 1 ） 如图 2 ， 若 △ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形， 且 ∠BAC＝∠DAE＝90° ， 其他条 件不变， 判断 FH 和 FG 之间的数量关系， 写出你的猜想并证明 . （ 2 ） 如图 3 ， 若 △ABC 和 △ADE 都是等腰三角形， 且 ∠BAC＝∠DAE＝120° ， 其他条件不 变， 判断 FH 和 FG 之间的数量关系， 写出你的猜想并证明 . 第 11 题图 第 10 题图 A B C D 图 2图 1 图 3 A B C D E F G H A B C D E F G H A B C D E F G H 85 九年级上册 （北师大版）数学 * 11. 解： （ 1 ） ∵DB 平分 ∠ADC ， ∴∠ADB＝∠CDB. 又 ∵∠ABD＝∠BCD＝90° ， ∴△ABD∽△BCD. ∴ AD BD = BD CD . ∴BD 2 ＝AD · CD. （ 2 ） ∵BM∥CD ， ∴∠MBD＝∠BDC. ∴∠ADB＝∠MBD ， 且 ∠ABD＝90°. ∴BM＝MD ， ∠MAB＝∠MBA. ∴BM＝MD＝AM＝4. ∵BD 2 ＝AD · CD ， CD＝6 ， AD＝8 ， ∴BD 2 ＝48. ∴BC 2 ＝BD 2 -CD 2 ＝12. ∴MC 2 ＝MB 2 +BC 2 ＝28. ∴MC＝2 7 姨 . ∵∠MBD=∠BDC ， ∠BNM=∠CND ， ∴△MNB∽△CND. ∴ BM CD = MN CN = 2 3 ， 即 MN MC-MN = 2 3 . 又 ∵MC＝2 7 姨 ， ∴MN＝ 4 5 7 姨 . 12. △MCB 13. 1 2 或 1 4 14. B 15. 证明： （ 1 ） ∵AD∥BC ， ∴∠ACF＝∠DAE. ∵∠FAC＝∠ADE ， AC＝AD ， ∴△ACF≌△DAE （ ASA ） . ∴AF＝DE. （ 2 ） ∵△ACF≌△DAE ， ∴∠AFC＝∠DEA. ∴∠AFB＝∠DEC. ∵∠ABC＝∠CDE ， ∴△ABF∽△CDE. ∴ AF CE = BF DE . ∴AF · DE＝BF · CE. ∵AF＝DE ， ∴AF 2 ＝BF · CE. 16. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC ， CD∥AB ， AB=CD. ∴∠D＝∠FAD ， ∠DCE＝∠F. ∵E 是 AD 的中点， ∴DE＝AE. ∴△CDE≌△FAE （ AAS ） . ∴CD=AF. ∴AF＝AB. （ 2 ） 解 ： ∵AG＝2 ， FG＝6 ， ∴AF＝FG+AG＝6+2＝8. ∴AB＝AF＝8. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴CD＝AB＝8. ∵ ∠DCE＝∠F ， ∠FCG＝∠FCD ， ∴∠F＝∠FCG. ∴CG＝FG＝6. ∵CD∥AF ， ∴∠D＝∠HAG ， ∠DCH＝∠AGC. ∴△DCH∽ △AGH. ∴ CD AG ＝ CH GH ， 即 8 2 ＝ 6-GH GH . ∴GH＝ 6 5 . 4 探索三角形相似的条件 （第 2 课时） 1. AE AD 2. 65° 或 115° 3. 0 ， 3 2 2 * 4. 25 4 5. D 6. A 7. （ 1 ） 相似 . （ 2 ） 相似 . 8. （ 1 ） 证明： ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C. ∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB ， ∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB ， ∠DEF=∠B ， ∴∠BDE=∠CEF. ∴△BDE∽△CEF. （ 2 ） 解： ∵△BDE∽△CEF ， ∴ BE CF ＝ DE EF . ∵ 点 E 是 BC 的中点， ∴BE=CE. ∴ CE CF ＝ DE EF . ∵∠DEF=∠B=∠C ， ∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE=∠CFE. ∴FE 平分 ∠DFC． 9. 解： （ 1 ） ∵ 在矩形 ABCD 中 ， AD∥CF. ∴∠DAF=∠AFC. ∵AF 平分 ∠DAC ， ∴∠DAF=∠CAF. ∴∠FAC= ∠AFC. ∴AC=CF. ∵AB=4 ， BC=3 ， ∴AC= AB 2 +BC 2 姨 = 3 2 +4 2 姨 =5. ∴CF=5. ∵AD∥CF ， ∴∠FAD=∠AFC ， ∠ADE= ∠FCE. ∴△ADE∽△FCE. ∴ AD CF = DE CE . 设 DE=x ， 则 3 5 = x 4-x . 解得 x= 3 2 . ∴DE= 3 2 . （ 2 ） ∵AD∥FH ， AH∥ DF ， ∴ 四边形 ADFH 是平行四边形 . ∴AD=FH=3. ∴CH=2 ， BH=5. ∵AD∥BH ， ∴∠DAG=∠BHG ， ∠ADG=∠GBH. ∴△ADG∽△HBG. ∴ DG BG = AD BH . ∴ DG 5-DG = 3 5 . ∴DG= 15 8 . ∵DE= 3 2 ， ∴ DE DG = DC DB = 4 5 . 又 ∵∠EDG=∠CDB ， ∴△EDG∽ △CDB. ∴∠DGE=∠CBD. ∴EG∥BC. ∴∠1=∠AHC. 又 ∵DF∥AH ， ∴∠AHC=∠DFC ， ∠1=∠DFC． 10. （ 1 ） 解： 如图， 以点 D 为圆心， BC 长为半径作弧， 再以点 A 为圆心， AC 长为半 径作弧， 交前弧于点 E ， 连接 DE ， AE ， 则 △ADE 即为所求 . （ 2 ） 证明 ： 由旋转得 AB=AD ， AC=AE ， ∠BAC=∠DAE ， ∴ AB AC = AD AE . ∵∠BAC+ ∠CAD=∠DAE+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAE. ∴△ABD∽△ACE. 11. 解： （ 1 ） FH＝ 2 姨 FG. 证明： 如图 1 ， 连接 AH ， CE ， AF ， ∵△ABC 和 △ADE 都 是等腰直角三角形， 且 ∠BAC＝∠DAE＝90° ， F ， H 分别是 DE ， BC 的中点， ∴AH⊥BC ， AF⊥DE ， AH=CH= 1 2 BC ， AF=EF= 1 2 DE. ∴ ∠CAH＝∠EAF＝45°. ∴∠HAF＝∠EAC ， AH AC = AF AE = 2 姨 2 . ∴△AHF∽△ACE. ∴ FH CE = AH AC = 2 姨 2 . ∴CE＝ 2 姨 FH. ∵ 点 F ， G 分别是 DE ， DC 的中点， ∴CE＝2FG. ∴FH＝ 2 姨 FG. （ 2 ） FH＝FG. 证明： 如图 2 ， 连接 AH ， CE ， AF ， ∵△ABC 和 △ADE 都是等腰三角形， 且 ∠BAC＝∠DAE＝120° ， 第 10 题答图 第 11 题答图 图 1 图 2 A B C D E F G H A B C D E F G H A B C D E 228 参考答案与提示 ∴∠AED＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°. ∵ 点 F ， H 分别是 DE ， BC 的中点， ∴AH⊥BC ， AF⊥DE ， ∠CAH＝∠EAF＝ 1 2 × 120°=60°. ∴∠HAF＝∠EAC ， AH AC = AF AE = 1 2 . ∴△AHF∽△ACE. ∴ FH CE = AH AC = 1 2 . ∴CE＝2FH. ∵ 点 F ， G 分别是 DE ， DC 的中点， ∴CE＝2FG. ∴FH＝FG. 4 探索三角形相似的条件 （第 3 课时） 1. 相似 三边对应成比例的两个三角形相似 2. E 3. 8 ， 10 4. C 5. D 6. C 7. A 8. 相似 . 理由略 . 9. 两种截法是 10 cm ， 25 cm ， 30 cm 或 12 cm ， 30 cm ， 36 cm. 10. △DEF∽△ABC 提示： 利用三角形中位线可推出三条边对应成比例 . 11. 解： ∵ AB AD = BC DE = AC AE ， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC=∠DAE ， ∠E=∠C. ∴∠BAD=∠CAE. ∵∠AFE=∠BFC ， ∴∠BAD=∠CBE. 12. 解： （ 1 ） 2 5 姨 2 10 姨 （ 2 ） BC= 4 2 +2 2 姨 =2 5 姨 ． 又由 （ 1 ） 知， AC=2 5 姨 ， AB=2 10 姨 ， ∴AC 2 + BC 2 =AB 2 =40. ∴∠ACB=90°． （ 3 ） △CAB 和 △DEF 相似 ． 理由： ∵DE=DF= 1 2 +2 2 姨 = 5 姨 ， EF= 1 2 +3 2 姨 = 10 姨 ． 则 AC DE = BC DF = AB EF =2. ∴△CAB∽△DEF． * 13. 解： （ 1 ） 相似， 理由略 . （ 2 ） 答案不唯一， 下面 6 个三角形中的任意两个均可： △DP 2 P 5 ， △P 5 P 4 F ， △DP 2 P 4 ， △P 5 P 4 D ， △P 4 P 5 P 2 ， △FDP 1 . 14. 解： （ 1 ） CD C′D′ = AC A′C′ = AD A′D′ ∠A=∠A′ （2 ） △ABC∽△A′B′C′. 如图， 过点 D ， D′ 分别作 DE∥BC ， D′E′∥B′C′ ， DE 交 AC 于点 E ， D′E′ 交 A′C′ 于点 E′. ∵DE∥BC ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB = DE BC = AE AC . 同理， 得 A′D′ A′B′ = D′E′ B′C′ = A′E′ A′C′ . ∵ AD AB = A′D′ A′B′ ， ∴ DE BC = D′E′ B′C′ . ∴ DE D′E′ = BC B′C′ . 同理， 得 AE AC = A′E′ A′C′ ， ∴ AC-AE AC = A′C′-A′E′ A′C′ ， 即 EC AC = E′C′ A′C′ . ∴ EC E′C′ = AC A′C′ . ∵ CD C′D′ = AC A′C′ = BC B′C′ ， ∴ CD C′D′ = DE D′E′ = EC E′C′ . ∴△DCE∽△D′C′E′. ∴∠CED=∠C′E′D′. ∵DE∥BC ， ∴∠CED+∠ACB=180°. 同理， ∠C′E′D′+∠A′C′B′=180° ， ∴∠ACB=∠A′C′B′. ∵ AC A′C′ = CB C′B′ ， ∴△ABC∽△A′B′C′. 4 探索三角形相似的条件 （第 4 课时） 1. 黄金分割 2. 5 （ 5 姨 -1 ） cm 3. 3- 5 姨 4. 5 姨 +1 2 5. S 1 =S 2 6. A 7. D 8. 略 9. 6 5 姨 -12 10. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） 提示： 证明 △ABC∽△BDC ， 得 AD 2 =AC · DC. * 11. 解： （ 1 ） 略 （ 2 ） 是 . 提示： 先证明四边形 EBCF 是矩形 . 然后设 CD＝a ， AD＝b ， 则 b a = 5 姨 -1 2 ， ∴ CF EF = a-b b = 5 姨 -1 2 . ∴ 矩形 EBCF 是黄金矩形 . （ 3 ） 归纳： 在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后， 所得到 的另外一个四边形是矩形， 而且是黄金矩形 . 12. （ 80 5 姨 -160 ） １3. D 14. C * 5 相似三角形判定定理的证明 1. 5 2. 8 3 或 3 2 3. 3 姨 4. D 5. A 6. A 7. 相似， 原因略 . 8. 略 9. 相似， 证明略 . 10. 证明： ∵ AB AD = AC AE = BC DE ， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠EAD=∠CAB. ∴∠EAC=∠DAB. ∵ AB AD = AC AE ， ∴△AEC∽ △ADB. ∴ AB AC = BD EC . ∴AB · EC＝AC · BD. 11. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 为正方形 ， ∴AD=AB=DC=BC ， ∠A=∠D=90° . ∵AE=ED ， ∴ AE AB = 1 2 . ∵DF＝ 1 4 DC ， ∴ DF DE = 1 2 ， AE AB = DF DE . ∴△ABE∽△DEF. （ 2 ） BG=10. 第 14 题答图 DA B C E A′ B′ C′ D′ E′ 229