3 相似多边形-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 8. 解： ∵DE∥BC ， EF∥AB ， ∴ 四边形 DBFE 是平行四边形， ∴EF=BD ， DE=BF ， AE EC = AD BD = BF FC . ∴ AE AC = AD AB = BF BC . ∵AE=2CE ， ∴ AE AC = 2 3 = AD 6 = BF 9 . ∴BF=6 ， AD=4. ∴BD=AB－AD=2. ∴ 四边形 BDEF 的周长 =2 （ BD+DE ） =2× （ 2+ 6 ） =16． 9. 解： ∵DN∥AM ， ∴ AD AB = MN BM ， AE AC = MN MC . ∵MB=MC ， ∴ AD AB = AE AC . * 10. 1 3 提示： 过点 D 作 DG∥EC 交 AB 于 G. 11. 3 2 １2. A １3. D 3 相似多边形 1. 一定 2. 6 cm 3. 68° 4. 18 cm 5. C 6. A 7. D 8. C 9. 都不相似 . 理由略 . 10. 分两种情况： 7.5 cm 或 30 cm. 11. AE= 16 3 . 12. （ 1 ） AD=4 2 姨 . （ 2 ） 矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比为 DM AB = 2 姨 2 . * １３. 解： （ 1 ） 不相似 . ∵AB=30 ， A′B′=28 ， BC=20 ， B′C′=18 ， ∴ 28 30 ≠ 18 20 ． ∴ 矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′ 不相 似 ． （ 2 ） 若矩形 ABCD 与 A′B′C′D′ 相似， 则 ① 当 A′B′ AB = B′C′ BC 时， 即 30-2x 30 = 20-2 20 ． 解得 x=1.5 ； ② 当 A′B′ BC = B′C′ AB 时， 即 30-2x 20 = 20-2 30 ， 解得 x=9． ∴ 当 x=1.5 或 x=9 时， 矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′ 相似 ． * １４. 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AD⊥DC. ∴AC＝ AD 2 +CD 2 姨 ＝ 2 2 +1 2 姨 ＝ 5 姨 . ∵ 按逆时针方向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB 1 C 1 C ， ∴ 矩形 ABCD∽ 矩形 AB 1 C 1 C∽ 矩形 AB 2 C 2 C 1 ∽ … ∽ 矩形 AB n C n C n-1 . ∴ AC AD = AC 1 AC = AC 2 AC 1 = … = AC n AC n-1 = 5 姨 2 ， CC 1 CD = C 1 C 2 CC 1 = C 2 C 3 C 1 C 2 = … = C n-1 C n C n-2 C n-1 = 5 姨 2 . ∵AD=2 ， CD=1 ， ∴AC= 5 姨 ， AC 1 = 5 姨 2 · 5 姨 ， AC 2 = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） 2 2 ， …， AC n-1 = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-2 ， CC 1 = 5 姨 2 ， C 1 C 2 = 5 姨 2 · 5 姨 2 ， C 2 C 3 = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） 2 2 2 ， …， C n-1 C n = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-1 . ∴ 矩形 AB 1 C 1 C 的周长 =2 （ AC+CC 1 ） =3 5 姨 ， 矩形 AB 1 C 1 C 的面积 =AC · CC 1 = 5 2 . 依此类推， 矩形 AB 2 C 2 C 1 的周长 =2 （ AC 1 +C 1 C 2 ） = 3 2 （ 5 姨 ） 2 ， 矩形 AB 2 C 2 C 1 的面积 ＝ （ 5 姨 ） 4 2 3 . ∴ 矩形 AB n C n C n-1 的周长 =2 （ AC n-1 +C n-1 C n ） =3× （ 5 姨 ） n 2 n-1 ， 矩形 AB n C n C n-1 的面积 =AC n-1 · C n-1 C n = 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-2 · 5 姨 2 · （ 5 姨 ） n-1 2 n-1 = （ 5 姨 ） 2n 2 2n-1 = 5 n 2 2n-1 . 4 探索三角形相似的条件 （第 1 课时） 1. 24 cm 2. 30° 3. 3 4. 2 ∶ 1 5. 4 6. C 7. A 8. A 9. 25 2 . 10. 证明： （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是正方形， △EDF 是等腰直角三角形， ∴AD=CD ， DE= DF ， ∠ADC=∠EDF=90° ， ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF. ∴∠ADE=∠CDF ， ∴△ADE≌ △CDF （ SAS ） . （ 2 ） 方法 1 ： 如图， 延长 BA 到点 M ， 交 ED 于点 M ， ∵△ADE≌△CDF ， ∴∠EAD=∠FCD. ∴∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF. ∵∠MAD=∠BCD=90° ， ∴∠EAM=∠BCF. ∵∠EAM=∠BAG ， ∴∠BAG=∠BCF. 又 ∵∠AGB=∠CGF ， ∴△ABG∽△CFG． 方法 2 ： 由 （ 1 ） 知 ∠E=∠DFC=45° ， 又 ∵∠EFD=45° ， ∴∠EFC=90° . ∵∠B=90° ， ∴∠B=∠EFC. ∵∠AGB= ∠CGF ， ∴△ABG∽△CFG． A C 1 B 1 D C C 2 B 2 B 3 C 3 … B 第 14 题答图 第 10 题答图 G E F A B C D M 227 图形的相似 第四章 自主导学 典例精析 例题 如图， 依次连接正方形 ABCD 各边的中点 E ， F ， G ， H 所得的 四边形与正方形 ABCD 相似吗？ 若相似， 求出相似比 . 【分析】 先证明四边形 EFGH 是正方形， 再根据相似多边形的定义判定 四边形 EFGH 与正方形 ABCD 相似， 进而求出相似比 . 【解答】 ∵E ， F ， G ， H 是正方形 ABCD 各边的中点， ∴AE=EB=BF=FC=CG=GD=DH=HA, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∴△AEH≌△BEF≌△CFG≌△DGH ， ∠AEH=∠BEF=45°. ∴EH=HG=GF=FE, ∠HEF=90°. ∴ 四边形 EFGH 是正方形 . ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90° ， AB EF = BC FG = CD GH = DA HE . ∴ 正方 形 EFGH∽ 正方形 ABCD. 设 AE=x ， 则 AB=2x ， EH= 2 姨 x ， ∴ 正方形 EFGH 与正方形 ABCD 的相似比为 2 姨 2 . 【点拨】 证明两个多边形相似， 既要证明所有对应角相等， 又要证明所有对应边成比例， 两者缺一不可 . 基础巩固 达标闯关 1. 在矩形 ABCD 和矩形 EFGH 中， AB=4 ， BC=2 ， EF=2 ， FG=1 ， 则矩形 ABCD 与矩形 EFGH （填 “一定” 或 “不一定”） 相似 . 2. 已知正五边形 ABCDE∽ 正五边形 A′B′C′D′E′ ， 且相似比为 4 ∶ 3 ， AB=8 cm ， 则 A′B′= . 3. 如果多边形 ABCDEF∽ 多边形 A′B′C′D′E′F′ ， 且 ∠A＝68° ， 则 ∠A′ 等于 . 4. 两个相似多边形的最长边分别是 10 cm 和 30 cm ， 如果较小的多边形的最短边为 6 cm ， 则另一个多边形的最短边为 . 5. 下列图形相似的有 （ ） ① 放大镜下的图片与原来的图片 ② 幻灯的底片与投影在屏幕上的图像 ③ 天空中两朵 白云的照片 ④ 卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片 A. 4 组 B. 3 组 C. 2 组 D. 1 组 6. 下列各种图形相似的是 （ ） E F A B C D G H 例题图 3 相似多边形 77 九年级上册 （北师大版）数学 A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 7. 下列说法不一定正确的是 （ ） A. 所有的等边三角形都相似 B. 有一个角是 100° 的等腰三角形相似 C. 所有的正方形都相似 D. 所有的矩形都相似 8. 若如图所示的两个四边形相似， 则 ∠α 的度数是 （ ） A. 60° B. 75° C. 87° D. 120° 9. 如图， 图 1 是一个正六边形 ABCDEF ， 使线段 BC ， FE 的长增加相等的数， 得图 2 ； 若将图 1 中的点 A ， D 分别向两边拉长相等的量， 得图 3. 那么图 1 与图 2 相似吗？ 图 1 与图 3 相似吗？ 图 2 与图 3 呢？ 为什么？ 能力提升 综合拓展 10. 已知一个矩形长为 20 cm ， 宽为 10 cm ， 另一个与它相似的矩形的一条边长为 15 cm ， 求另一条边长 . 11. 如图 ， 在 荀ABCD 中 ， AB=12 ， AD=8 ， 点 E ， F 在 AB ， DC 上 ， 且 EF∥AD. 若 荀ABCD∽荀AEFD ， 求 AE 的长 . ① ② ③ ④ 第 6 题图 第 8 题图 75° 60° α 138° 60° E F A B C D 图 1 图 2 图 3 第 9 题图 E F A B CD 第 11 题图 78 图形的相似 第四章 12. 如图， 把矩形 ABCD 对折， 折痕为 MN ， 矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似， 已知 AB=4. （ 1 ） 求 AD 的长 . （ 2 ） 求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比 . * 13. 如图， 矩形 ABCD 的长 AB=30 ， 宽 BC=20． （ 1 ） 如图 1 ， 若沿矩形 ABCD 四周有宽为 1 的环形区域， 图中所形成的两个矩形 ABCD 与 A′B′C′D′ 相似吗？ 请说明理由 . （ 2 ） 如图 2 ， x 为多少时， 图中的两个矩形 ABCD 与 A′B′C′D′ 相似？ * 14. 如图， 在矩形 ABCD 中， AD=2 ， CD=1 ， 连接 AC ， 以对角线 AC 为边， 按逆时针方 向作矩形 ABCD 的相似矩形 AB 1 C 1 C ， 再连接 AC 1 ， 以对角线 AC 1 为边作矩形 AB 1 C 1 C 的相似 矩形 AB 2 C 2 C 1 ， …， 按此规律继续下去， 求矩形 AB n C n C n-1 的周长和面积 . M A B C D N 第 12 题图 A C 1 B 1 D C C 2 B 2 B 3 C 3 … B 第 14 题图 第 13 题图 A B CD A′ B′ C′ D′ 1 1 1 1 A B CD A′ B′ C′ D′ 1 1 xx 图 1 图 2 79