2 矩形的性质与判定(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

九年级上册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， O 是矩形 ABCD 的对角线的交点， E ， F ， G ， H 分别是 OA ， OB ， OC ， OD 上的点， 且 AE=BF=CG=DH． （ 1 ） 求证： 四边形 EFGH 是矩形 . （ 2 ） 若 E ， F ， G ， H 分别是 OA ， OB ， OC ， OD 的中点， 且 DG⊥AC ， OF=2 cm ， 求矩形 ABCD 的面积 ． 【分析】 （ 1 ） 首先证明四边形 EFGH 是平行四边形， 然后再证明 HF=EG. （ 2 ） 根据已知 证得 DG 是 OC 的垂直平分线， 再求出矩形的边长 CD 和 BC ， 最后根据矩形面积公式求得 ． 【解答】 （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴OA=OB=OC=OD. ∵AE=BF=CG=DH ， ∴ AO-AE= OB-BF=CO-CG=DO-DH ， 即 OE=OF=OG=OH. ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . （ 2 ） ∵G 是 OC 的中点， ∴GO=GC. ∵DG⊥AC ， ∴DG 是 OC 的垂直平分线 . ∴CD=OD. ∵F 是 BO 的中点， OF=2 cm. ∴BO=4 cm. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴DO=BO=4 cm. ∴CD=4 cm ， DB=8 cm. ∴CB= DB 2 -CD 2 姨 =4 3 姨 cm. ∴ 矩形 ABCD 的面积 =4×4 3 姨 =16 3 姨 （ cm 2 ） ． 【点拨】 本题考查矩形的判定， 解题关键是灵活运用矩形的判定定理 ． 此外， 矩形的一条 对角线将其分为两个直角三角形， 两条对角线将其分为四个等腰三角形， 因此， 在思考和解 决问题时要注意它们之间的内在联系 . 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在 △ABC 中， BC=8 ， AC=6 ， AB=10 ， 它们的中点分别是点 D ， E ， F ， 则 DE 的长为 ． 2. 如图， 在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， BC=5 ， AB=3. 若 P 为边 BC 上 一动点 （且点 P 不与点 B ， C 重合）， PE⊥AB 于点 E ， PF⊥AC 于点 F ， M 为 EF 的中点， 则 AM 的最小值为 ． 3. 已知下列命题： ① 矩形是轴对称图形， 且有两条对称轴； ② 两条 对角线相等的四边形是矩形； ③ 有两个角相等的四边形是矩形； ④ 两条 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ． 其中正确的命题有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 E F A B C D 第 1 题图 第 2 题图 E F M A B C P E F O A B C D G H 例题图 2 矩形的性质与判定 （第 3课时） 16 特殊平行四边形 第一章 4. 如图， 在 △ABC 中， AC 的垂直平分线分别交 AC ， AB 于点 D ， F ， BE⊥DF 交 DF 的延长线于点 E ， 已知 ∠A=30° ， DF=2 ， AF=BF ， 则四边形 BCDE 的周长为 （ ） A. 4 3 姨 B. 8 C. 4+4 3 姨 D. 8+4 3 姨 5. 如图， 已知四边形 ABCD 和四边形 AEFC 都是矩形， 点 B 在 EF 边 上， 若矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别是 S 1 ， S 2 ， 那么 S 1 与 S 2 的大小 关系是 （ ） A. S 1 ＞S 2 B. S 1 =S 2 C. S 1 ＜S 2 D. 3S 1 =2S 2 6. 如图， 在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， D ， E ， F 分别是 BC ， AC ， AB 边上的点， 且 DF∥ AC ， DE∥AB. （ 1 ） 猜测并说明四边形 AEDF 是哪一种特殊的四边形 . （ 2 ） 判断线段 AD 与 EF 的数量关系， 并说明理由 . 能力提升 综合拓展 7. 如图， 在矩形 ABCD 中， AB= 2 姨 ， BC=2 ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 过点 O 作 OE⊥AC 交 AD 于点 E. 求 AE 和 OE 的长 . 8. 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E 是 AD 的中点， 点 F ， G 在 AB 上， EF⊥AB ， OG∥EF. （ 1 ） 求证： 四边形 OEFG 是矩形 . （ 2 ） 若 AD＝10 ， EF＝4 ， 求 OE 和 BG 的长 . E O A B C D 第 7 题图 第 8 题图 F O G A B C D E 第 5 题图 E F A B C D 第 6 题图 E F A B C D E FA B C D 第 4 题图 17 九年级上册 （北师大版）数学 * 9. 如图， 在矩形 ABCD 中， 已知 AB=3 ， BC=4 ， 点 P 是 BC 边上一动点 （点 P 不与点 B ， C 重合）， 连接 AP ， 作点 B 关于直线 AP 的对称点 M ， 连接 CM ， 请探索点 M 在什么位置时， CM 有最小值， 并求出 CM 的最小值 . 中考链接 真题演练 10. （ 2022 ·德阳） 如图， 在菱形 ABCD 中， ∠ABC=60° ， AB=2 3 姨 cm ， 过点 D 作 BC 的垂线， 交 BC 的延长线于点 H． 点 F 从点 B 出发沿 BD 方向以 2 cm/s 的速度向点 D 匀速运 动， 同时， 点 E 从点 H 出发沿 HD 方向以 1 cm/s 的速度向点 D 匀速运动 ． 设点 E ， F 的运动 时间为 t （单位： s ）， 且 0＜t＜3 ， 过点 F 作 FG⊥BC 于点 G ， 连接 EF． （ 1 ） 求证： 四边形 EFGH 是矩形 . （ 2 ） 连接 FC ， EC ， 点 F ， E 在运动过程中， △BFC 与 △DCE 是否能够全等？ 若能， 求 出此时 t 的值； 若不能， 请说明理由 ． H G E F O A B C D 第 10 题图 M P A B C D 第 9 题图 18 九年级上册 （北师大版）数学 EGCF 是平行四边形 . ∵∠OEG=90° ， ∴ 四边形 EGCF 是矩形 ． 9. （ 1 ） 解： ① （或 ② ） （ 2 ） 选择 ①∠1=∠2. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ， AB=DC. ∴ ∠A+∠D=180°. ∵∠1＝∠2 ， BM＝CM ， ∴△ABM≌△DCM （ SAS ） . ∴∠A=∠D=90°. ∴荀ABCD 为矩形 . 选择 ②AM= DM. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ， AB=DC. ∴∠A+∠D=180°. ∵BM=CM ， AM=DM ， ∴△ABM≌ △DCM （ SAS ） . ∴∠A=∠D=90° ， ∴荀ABCD 为矩形 . 10. 证明： （ 1 ） ∵∠ABO=∠DCO=90° ， ∴AB∥CD. ∴∠A=∠D. ∵OB＝OC ， ∴△AOB≌△DOC （ AAS ） . ∴AO= DO. ∵ 点 E ， F 分别是 AO ， DO 的中点， ∴OE＝ 1 2 OA ， OF＝ 1 2 OD. ∴OE=OF. （ 2 ） ∵OB=OC ， OE=OF ， ∴ 四边形 BECF 是平行四边形 . ∵∠A=30° ， ∠ABO=90° ， ∴OB＝ 1 2 OA＝OE. ∵OE=OF ， ∴OB＝ 1 2 EF. ∴∠OEB=∠OBE ， ∠OFB= ∠OBF. ∴∠EBF=∠OBE+∠OBF=90°. ∴ 四边形 BECF 是矩形 . 2 矩形的性质与判定 （第 3 课时） 1. 5 2. 6 5 3. B 4. D 5. B 6. 解： （ 1 ） 四边形 AEDF 是矩形 . 理由： ∵DF∥AC ， DE∥AB ， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 . ∵∠BAC=90° ， ∴ 四边形 AEDF 是矩形 . （ 2 ） AD=EF. 理由： ∵ 四边形 AEDF 是矩形， ∴AD=EF. 7. 解： 如图， 连接 CE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90° ， AO=CO= 1 2 AC ， AD= BC ， AB=CD. 又 ∵OE⊥AC ， ∴AE=CE. 在 Rt△ABC 中， AB= 2 姨 ， BC=2 ， ∴AC= AB 2 +BC 2 姨 = （ 2 姨 ） 2 +2 2 姨 = 6 姨 . 在 Rt△CDE 中， CE 2 =CD 2 +DE 2 ， 设 AE=CE=x ， 则 x 2 = （ 2 姨 ） 2 + （ 2-x ） 2 . 解得 x= 3 2 ， 即 AE= 3 2 . 在 Rt△AOE 中， AE 2 =AO 2 +OE 2 ， ∴OE= AE 2 -AO 2 姨 = 3 2 2 ) 2 - 6 姨 2 2 2 2 姨 = 3 姨 2 . ∴AE 和 OE 的长分别为 3 2 和 3 姨 2 . 8. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC ， AB=AD. ∴∠AOD＝90° ， ∠DAO＝∠BAO. ∵E 是 AD 的中点， ∴OE＝ 1 2 AD=AE. ∴∠EAO＝∠AOE. ∴∠AOE＝∠BAO. ∴OE∥FG. ∵OG∥EF ， ∴ 四边形 OEFG 是平行四边形 . ∵EF⊥ AB ， ∴∠EFG＝90°. ∴ 四边形 OEFG 是矩形 . （ 2 ） 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC ， AB＝AD＝10. ∴∠AOD＝ 90°. ∵E 是 AD 的中点， ∴OE＝AE＝ 1 2 AD＝5. 由 （ 1 ） 知， 四边形 OEFG 是矩形， ∴FG＝OE＝5. ∵AE＝5 ， EF＝4 ， ∴AF＝ AE 2 -EF 2 姨 ＝3. ∴BG＝AB-AF-FG＝10-3-5＝2． * 9. 解： 如图， 连接 AM ， AC. ∵ 点 B 和点 M 关于 AP 对称， ∴AM=AB=3. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°. 在 Rt△ABC 中， AB=3 ， BC=4 ， ∴AC= AB 2 +BC 2 姨 = 3 2 +4 2 姨 =5. ∵AC－ AM＜MC＜AC+AM ， ∴ 当点 M 在 AC 上时， CM 有最小值， 此时 CM=5-3=2. 10. （ 1 ） 证明： ∵DH⊥BC ， FG⊥BC ， ∴EH∥FG ， ∠FGH=90°. 由题意知 BF=2t cm ， EH= t cm. ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴BC=CD ， AB∥CD ， BD⊥AC. ∴∠CBD=∠BDC ， ∠ABC+ ∠BCD=180°. ∵∠ABC=60° ， ∠BCD=120°. ∴∠CBD=∠BDC=30°. ∴FG= 1 2 BF=t cm. ∴EH=FG=t cm. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 . 又 ∵∠FGH=90° ， ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . （ 2 ） 解： △BFC 与 △DCE 能够全等 . 理由： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， AB=2 3 姨 cm ， ∴BC=CD=AB=2 3 姨 cm ， AB∥CD. ∴∠DCH=∠ABC=60°. ∵DH⊥BC ， ∴∠CHD= 90°. ∴∠CDH=90°-∠DCH=30°. 由 （ 1 ） 得 ∠CBD=30° ， ∴∠CDE=∠CBF. 故只可能有 △BFC≌△DEC. ∴BF=DE. 在 Rt△CDH 中， ∵∠CHD=90° ， ∠CDH=30° ， ∴CH= 1 2 CD= 3 姨 . 由勾股定理， 得 DH= CD 2 -CH 2 姨 = （ 2 3 姨 ） 2 - （ 3 姨 ） 2 姨 = 3. ∵BF=2t cm ， EH=t cm. ∴DE= （ 3-t ） cm. ∴ 当 BF=DE 时， 即 2t=3-t. ∴t=1. ∴ 当 t=1 时， △BFC≌△DCE. 3 正方形的性质与判定 （第 1 课时） 1. 2 姨 a 2 姨 2 a 2. 8 cm 2 3. 34 姨 2 4. A 5. 13 姨 2 6. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC ， ∠ABC=∠C=90°. ∵BE=CF ， ∴△ABE≌△BCF. ∴AE=BF. ∴∠BAE= ∠CBF. ∵∠BAE+∠BEA=90° ， ∴∠CBF+∠BEA=90°. ∴∠BGE=90°. ∴AE⊥BF. 7. 解： （ 1 ） 答案不唯一， 选 ① 或选 ② 或选 ③. （ 2 ） 选 ① 的证明过程如下 ： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， 第 9 题答图 M P A B C D 第 7 题答图 E O A B C D 214