2 矩形的性质与判定(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

特殊平行四边形 第一章 自主导学 典例精析 例题 如图， 四边形 ABCD 为平行四边形， 延长 AD 到点 E ， 使 DE=AD ， 连接 EB ， EC ， DB. 若再添加 ①AB=BE ， ②DE⊥DC ， ③∠ADB= 90° 其中的一个条件， 能否判定四边形 DBCE 为矩形？ 请说明理由 . 【分析】 将题设的条件分别加上三个条件中的一个， 看能否证明四 边形 DBCE 是矩形 ． 【解答】 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC ， AD=BC. 又 ∵AD=DE ， ∴DE∥BC ， DE=BC. ∴ 四边形 BCED 为平行四边形 ． 添加条件 ① ： ∵AB=BE ， DE=AD ， ∴BD⊥AE. ∴荀DBCE 为矩形 . 故添加 ① 能判定四边形 DBCE 为矩形 . 添加条件 ② ： ∵DE⊥DC ， ∴∠EDB=90°+∠CDB＞90° ， ∴ 四边形 DBCE 不能为矩形 . 故添加条件 ② 不能判定四边形 DBCE 为矩形 . 添加条件 ③ ： ∵∠ADB=90° ， ∴∠EDB=90°. ∴荀DBCE 为矩形 . 故添加条件 ③ 能判定四边形 DBCE 为矩形 . 综上， 添加 ① 或 ③ 能判定四边形 DBCE 为矩形， 添加 ② 不能判定四边形 DBCE 为矩形 . 【点拨】 本题考查了平行四边形的判定和性质、 矩形的判定， 首先判定四边形 DBCE 为 平行四边形是解题的关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AD∥BC ， ∠BAD=∠DCB ， 要使得四边形 ABCD 是矩形， 则还需要增加的一个条件是 . 2. 如果顺次连接四边形 ABCD 各边中点得到的四边形 EFGH 是矩形， 那 么四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的关系是 ． 3. 下列命题错误的是 （ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 2 矩形的性质与判定 （第 2课时） 例题图 E A B C D E F A B C D G H 第 1 题图 第 2 题图 O A B C D 13 九年级上册 （北师大版）数学 4. 如图， 在 荀ABCD 中， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， OA=2 ， 若要使 荀ABCD 为矩形， 则 OB 的长应该为 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图， 已知 MN∥PQ ， 同旁内角的平分线 AB ， CB 和 AD ， CD 分别相交于点 B ， D. 求证： 四边形 ABCD 是矩形 . 6. 如图， 在 荀ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， P 是 荀ABCD 外一点， 且 ∠APC=∠BPD= 90°. 求证： 四边形 ABCD 是矩形 . 能力提升 综合拓展 7. 如图， 四边形 ABCD 是菱形， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， △BOC≌△CEB． （ 1 ） 求证： 四边形 OBEC 是矩形 . （ 2 ） 若 ∠ABC＝120° ， AB＝6 ， 求矩形 OBEC 的周长 ． P A D O B C 第 6 题图 M A B C D N P Q 第 5 题图 O A B C D 第 4 题图 E O A B C D 第 7 题图 14 特殊平行四边形 第一章 8. 如图， 在 荀ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， 点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中 点， 延长 AE 至点 G ， 使 EG=AE ， 连接 CG． （ 1 ） 求证： △ABE≌△CDF. （ 2 ） 当 AB 与 AC 满足什么数量关系时， 四边形 EGCF 是矩形？ 请说明理由 ． 中考链接 真题演练 9. （ 2023 ·岳阳） 如图， 点 M 在 荀ABCD 的边 AD 上， BM=CM ， 请从选项 ①∠1=∠2 ， ②AM=DM ， ③∠3=∠4 中， 选择一个合适的选项作为已知条件， 使 荀ABCD 为矩形 ． （ 1 ） 你添加的条件是 . （ 2 ） 添加条件后， 请证明 荀ABCD 为矩形 ． 10. （ 2023 ·新疆） 如图， AD 与 BC 相交于点 O ， ∠ABO=∠DCO=90° ， OB=OC ， 点 E ， F 分别是 AO ， DO 的中点 ． （ 1 ） 求证： OE=OF. （ 2 ） 当 ∠A=30° 时， 求证： 四边形 BECF 是矩形 . 第 9 题图 第 10 题图 A D B C M 3 4 1 2 O A B C D E F 第 8 题图 G E F O A B C D 15 参考答案与提示 ∴△AEO≌△CFO. ∴EO=FO. ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ∵AC⊥EF ， ∴ 四边形 AECF 是菱形 . 10. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴BC∥AD ， AB=DC ， ∠B=∠C=90°. 又 ∵EF⊥ED ， ∴∠BEF+∠CED=90° ， ∠BEF+∠BFE=90°. ∴∠BFE=∠CED. ∵EF=ED. ∴△BEF≌△CDE. ∴BE=CD. ∴AB=BE. ∴∠BAE=∠BEA. ∵BC∥AD ， ∴∠DAE=∠BEA. ∴∠DAE=∠BAE ， ∴AE 平分 ∠BAD. 11. （ 1 ） 证明 ： ∵MN 是 AC 的垂直平分线 ， ∴AO＝CO ， ∠AOM＝∠CON＝90° . ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD. ∴∠M＝∠N. ∴△AOM≌△CON （ AAS ） . （ 2 ） 15 4 提示： 如图， 连 接 CE ， ∵MN 是 AC 的垂直平分线， ∴CE＝AE. 设 AE＝CE＝x ， 则 DE＝6-x. ∵ 四边形 ABCD 是矩 形， ∴∠CDE＝90° ， CD＝AB＝3. 在 Rt△CDE 中， ∵CD 2 +DE 2 ＝CE 2 ， 即 3 2 + （ 6-x ） 2 ＝x 2 . 解得 x＝ 15 4 . ∴AE 的长为 15 4 ． 12. 2 5 姨 13. 46° 或 106° 提示： 点 F 分别在 AB ， BC 边上 . 14. （ 1 ） 证明： ∵DE∥AC ， CE∥BD ， ∴ 四边形 OCED 是平行四边形 . ∵ 矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于 点 O ， ∴AC=BD ， OC= 1 2 AC ， OD= 1 2 BD. ∴OC=OD. ∴ 四边形 OCED 是菱形 . （ 2 ） 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， BC=3 ， DC=2 ， ∴OA=OB=OC=OD ， S 矩形 ABCD =3×2=6. ∴S △OCD = 1 4 S 矩形 ABCD = 1 4 ×6=1.5. ∵ 四边形 OCED 是菱形， ∴ 菱形 OCED 的面积 =2S △OCD =2×1.5=3. 15. 解 ： （ 1 ） 四边形 OCDE 是菱形 . 理由 ： ∵CD∥OE ， ∴∠FDC=∠FOE. ∵CE 是线段 OD 的垂直平分线 ， ∴FD=FO ， ED=OE ， CD=CO. ∵∠DFC＝∠OFE ， ∴△FDC≌△FOE （ ASA ） . ∴CD=OE. ∴ED=OE=CD=CO. ∴ 四边形 OCDE 是菱形 . （ 2 ） ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴∠BCD=∠CDA=90° ， AC=BD ， AO=CO= 1 2 AC ， DO=BO= 1 2 BD. ∴DO=CO. ∵CE 是线段 OD 的垂直平分线， ∴CD=CO. ∴CD=CO=DO. ∴△ODC 为等边三角形 . ∴DO=CD=4 ， ∠ODC= 60°. ∴DF＝ 1 2 DO＝2. 在 Rt△CDF 中， CD=4 ， DF=2 ， 由勾股定理， 得 CF＝ DC 2 -DF 2 姨 = 4 2 -2 2 姨 =2 3 姨 . 由 （ 1 ） 可 知， 四边形 OCDE 是菱形， ∴EF＝CF＝2 3 姨 . 在 Rt△CDF 中， ∵∠GDF=∠CDA-∠ODC=30° ， ∴GD=2GF. ∴GD 2 =GF 2 + DF 2 ， 即 4GF 2 =GF 2 +2 2 . ∴GF＝ 2 3 姨 3 . ∴EG＝EF-GF＝ 4 3 姨 3 . 2 矩形的性质与判定 （第 2 课时） 1. ∠BAD=90° 或 AC=BD 2. AC⊥BD 3. D 4. C 5. 证明： ∵MN∥PQ ， ∴∠MAC=∠ACQ. ∵AB ， CD 分别平分 ∠MAC ， ∠ACQ ， ∴∠BAC= 1 2 ∠MAC ， ∠ACD= 1 2 ∠ACQ. ∴∠BAC=∠ACD. ∴AB∥CD. 同理 BC∥AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 又 ∵∠BCA= 1 2 ∠PCA ， ∴∠BCA+∠ACD= 1 2 （ ∠PCA+∠ACQ ） = 1 2 ×180°=90°. ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 6. 证明 ： 如图 ， 连接 OP. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AO=CO ， BO=DO. ∵ ∠APC=∠BPD=90° ， ∴△APC 和 △BPD 是直角三角形 . ∴PO= 1 2 AC ， PO= 1 2 BD. ∴AC=BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 7. （ 1 ） 证明： ∵△BOC≌△CEB ， ∴OB＝EC ， OC＝EB. ∴ 四边形 OBEC 是平行四边形 . ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD. ∴∠BOC＝90°. ∴ 四边形 OBEC 是矩形 . （ 2 ） 解： ∵ 四 边形 ABCD 是菱形 ， AB＝6 ， ∴AC⊥BD ， BC＝AB＝6. ∵∠ABC＝120° ， ∴∠DBC＝ 1 2 ∠ABC＝60° . ∵∠BOC＝90° ， ∴ ∠OCB＝30°. ∴OB＝ 1 2 BC＝3. ∴OC＝ BC 2 -OB 2 姨 ＝ 6 2 -3 2 姨 ＝3 3 姨 . ∴ 矩形 OBEC 的周长 ＝2× （ 3 3 姨 +3 ） ＝6 3 姨 +6. 8. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ， AB∥CD ， OB=OD ， OA=OC. ∴∠ABE=∠CDF.∵ 点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点， ∴BE= 1 2 OB ， DF= 1 2 OD. ∴BE=DF. ∴△ABE≌△CDF （ SAS ） . （ 2 ） 解： 当 AC=2AB 时， 四边形 EGCF 是矩形 . 理由如下： ∵AC=2OA ， AC=2AB ， ∴AB=OA. ∵E 是 OB 的中点， ∴AG⊥OB.∴∠OEG=90°. 同理 CF⊥OD. ∴AG∥CF. ∴EG∥CF. ∵EG=AE ， OA=OC ， ∴OE 是 △ACG 的中位线 . ∴OE∥CG. ∴EF∥CG. ∴ 四边形 O M N A B C D E 第 11 题答图 第 6 题答图 P A D O B C 213 九年级上册 （北师大版）数学 EGCF 是平行四边形 . ∵∠OEG=90° ， ∴ 四边形 EGCF 是矩形 ． 9. （ 1 ） 解： ① （或 ② ） （ 2 ） 选择 ①∠1=∠2. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ， AB=DC. ∴ ∠A+∠D=180°. ∵∠1＝∠2 ， BM＝CM ， ∴△ABM≌△DCM （ SAS ） . ∴∠A=∠D=90°. ∴荀ABCD 为矩形 . 选择 ②AM= DM. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ， AB=DC. ∴∠A+∠D=180°. ∵BM=CM ， AM=DM ， ∴△ABM≌ △DCM （ SAS ） . ∴∠A=∠D=90° ， ∴荀ABCD 为矩形 . 10. 证明： （ 1 ） ∵∠ABO=∠DCO=90° ， ∴AB∥CD. ∴∠A=∠D. ∵OB＝OC ， ∴△AOB≌△DOC （ AAS ） . ∴AO= DO. ∵ 点 E ， F 分别是 AO ， DO 的中点， ∴OE＝ 1 2 OA ， OF＝ 1 2 OD. ∴OE=OF. （ 2 ） ∵OB=OC ， OE=OF ， ∴ 四边形 BECF 是平行四边形 . ∵∠A=30° ， ∠ABO=90° ， ∴OB＝ 1 2 OA＝OE. ∵OE=OF ， ∴OB＝ 1 2 EF. ∴∠OEB=∠OBE ， ∠OFB= ∠OBF. ∴∠EBF=∠OBE+∠OBF=90°. ∴ 四边形 BECF 是矩形 . 2 矩形的性质与判定 （第 3 课时） 1. 5 2. 6 5 3. B 4. D 5. B 6. 解： （ 1 ） 四边形 AEDF 是矩形 . 理由： ∵DF∥AC ， DE∥AB ， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 . ∵∠BAC=90° ， ∴ 四边形 AEDF 是矩形 . （ 2 ） AD=EF. 理由： ∵ 四边形 AEDF 是矩形， ∴AD=EF. 7. 解： 如图， 连接 CE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90° ， AO=CO= 1 2 AC ， AD= BC ， AB=CD. 又 ∵OE⊥AC ， ∴AE=CE. 在 Rt△ABC 中， AB= 2 姨 ， BC=2 ， ∴AC= AB 2 +BC 2 姨 = （ 2 姨 ） 2 +2 2 姨 = 6 姨 . 在 Rt△CDE 中， CE 2 =CD 2 +DE 2 ， 设 AE=CE=x ， 则 x 2 = （ 2 姨 ） 2 + （ 2-x ） 2 . 解得 x= 3 2 ， 即 AE= 3 2 . 在 Rt△AOE 中， AE 2 =AO 2 +OE 2 ， ∴OE= AE 2 -AO 2 姨 = 3 2 2 ) 2 - 6 姨 2 2 2 2 姨 = 3 姨 2 . ∴AE 和 OE 的长分别为 3 2 和 3 姨 2 . 8. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC ， AB=AD. ∴∠AOD＝90° ， ∠DAO＝∠BAO. ∵E 是 AD 的中点， ∴OE＝ 1 2 AD=AE. ∴∠EAO＝∠AOE. ∴∠AOE＝∠BAO. ∴OE∥FG. ∵OG∥EF ， ∴ 四边形 OEFG 是平行四边形 . ∵EF⊥ AB ， ∴∠EFG＝90°. ∴ 四边形 OEFG 是矩形 . （ 2 ） 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC ， AB＝AD＝10. ∴∠AOD＝ 90°. ∵E 是 AD 的中点， ∴OE＝AE＝ 1 2 AD＝5. 由 （ 1 ） 知， 四边形 OEFG 是矩形， ∴FG＝OE＝5. ∵AE＝5 ， EF＝4 ， ∴AF＝ AE 2 -EF 2 姨 ＝3. ∴BG＝AB-AF-FG＝10-3-5＝2． * 9. 解： 如图， 连接 AM ， AC. ∵ 点 B 和点 M 关于 AP 对称， ∴AM=AB=3. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°. 在 Rt△ABC 中， AB=3 ， BC=4 ， ∴AC= AB 2 +BC 2 姨 = 3 2 +4 2 姨 =5. ∵AC－ AM＜MC＜AC+AM ， ∴ 当点 M 在 AC 上时， CM 有最小值， 此时 CM=5-3=2. 10. （ 1 ） 证明： ∵DH⊥BC ， FG⊥BC ， ∴EH∥FG ， ∠FGH=90°. 由题意知 BF=2t cm ， EH= t cm. ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴BC=CD ， AB∥CD ， BD⊥AC. ∴∠CBD=∠BDC ， ∠ABC+ ∠BCD=180°. ∵∠ABC=60° ， ∠BCD=120°. ∴∠CBD=∠BDC=30°. ∴FG= 1 2 BF=t cm. ∴EH=FG=t cm. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 . 又 ∵∠FGH=90° ， ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . （ 2 ） 解： △BFC 与 △DCE 能够全等 . 理由： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， AB=2 3 姨 cm ， ∴BC=CD=AB=2 3 姨 cm ， AB∥CD. ∴∠DCH=∠ABC=60°. ∵DH⊥BC ， ∴∠CHD= 90°. ∴∠CDH=90°-∠DCH=30°. 由 （ 1 ） 得 ∠CBD=30° ， ∴∠CDE=∠CBF. 故只可能有 △BFC≌△DEC. ∴BF=DE. 在 Rt△CDH 中， ∵∠CHD=90° ， ∠CDH=30° ， ∴CH= 1 2 CD= 3 姨 . 由勾股定理， 得 DH= CD 2 -CH 2 姨 = （ 2 3 姨 ） 2 - （ 3 姨 ） 2 姨 = 3. ∵BF=2t cm ， EH=t cm. ∴DE= （ 3-t ） cm. ∴ 当 BF=DE 时， 即 2t=3-t. ∴t=1. ∴ 当 t=1 时， △BFC≌△DCE. 3 正方形的性质与判定 （第 1 课时） 1. 2 姨 a 2 姨 2 a 2. 8 cm 2 3. 34 姨 2 4. A 5. 13 姨 2 6. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC ， ∠ABC=∠C=90°. ∵BE=CF ， ∴△ABE≌△BCF. ∴AE=BF. ∴∠BAE= ∠CBF. ∵∠BAE+∠BEA=90° ， ∴∠CBF+∠BEA=90°. ∴∠BGE=90°. ∴AE⊥BF. 7. 解： （ 1 ） 答案不唯一， 选 ① 或选 ② 或选 ③. （ 2 ） 选 ① 的证明过程如下 ： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， 第 9 题答图 M P A B C D 第 7 题答图 E O A B C D 214