第二十四章 圆（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第二十四章 圆（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 2．如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】是的直径，且， ． 在中， ， ． 故选：B． 3．如图，中的度数为，是的直径，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的知识，等边对等角，三角形内角和定理，由中的度数为可得出，由平角的定义求出，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵中的度数为， ∴， ∵是的直径 ， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，为圆O的直径，弦与交于点E，为等腰三角形，为底，，求圆弧所对的圆心角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接，，根据圆周角定理可得，再由，可得，从而得到，再由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵为等腰三角形，为底，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角为． 故选：A 5．如图，是的内接三角形，．点是延长线上一点，且与相切于点，若的半径为1，则长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，切线的性质，互补的性质，勾股定理是解题的关键． 如图所示，连接，根据圆周角定理可得，根据补角的性质可得，结合题意，与相切于点，可得，，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．在中，，用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于．”的命题时，应先假设（    ） A．，都大于 B．，都大于等于 C．，都小于 D．，都小于等于 【答案】A 【分析】本题考查对反证明法的理解，用反证明法证明命题时，一般先假设结论不成立，再假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面有可能的情况，本题即是找出命题结论“至少有一个锐角不大于”的反面，得到最终答案． 【详解】解：由“至少有一个锐角不大于”的反面是“每一个锐角都大于”可知应先假设每一个锐角都大于． 故选：A． 7．如图，是的直径，切于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 根据切线的性质得到，进而求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵切于点， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 8．用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，用扇形的弧长，可求圆锥的底面半径，利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径为， ∴这个圆锥形筒的高为． 故选：B． 9．如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：设点O为该正多边形的中心，连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A 10．如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，，则以下关系式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，根据直角三角形两锐角互余性质，用表示，进而由圆心角与圆周角关系，用表示，最后由角的和差关系得结果，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 11．如图，扇形中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点C，若，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到是等边三角形，因此，，由，得到，由弧长公式求出的长，的长，即可求出阴影的周长．本题考查弧长的计算，等边三角形的判定和性质，关键是由题意得到是等边三角形；掌握弧长公式． 【详解】解：由题意得到：， ， ∴是等边三角形， ，， ， ， 的长，的长， 阴影的周长的长的长． 故选：B 12．如图，是的直径，，垂足为E，直线与相切于点C，交于点D，直线交的延长线于点P，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由切线的性质，可以证明，由平行线的性质、等腰三角形的性质，得到，由，求出的度数，即可得除答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点C， ∴半径， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，关键是由条件证明． 13．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接，则阴影部分面积，依此计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，阴影部分面积． 故选：A． 14．如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆、等腰三角形的性质，根据正多边形和圆的关系，利用正n边形的中心角为分别求得，，再根据等腰三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵分别是的内接正六边形、内接正五边形的边， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 15．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝CE；④S阴影＝．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①易求得DF长度，即可判定； ②连接OP，易证OP∥CD，根据平行线性质即可判定； ③易证AE=2EF，EF=2EC即可判定； ④连接OG，作OH⊥FG，易证△OFG为等边△，即可求得S阴影即可解题. 【详解】①∵AF是AB翻折而来， ∴AF=AB=6， ∵四边形ABCD是矩形， AD=BC=3， ∴DF===3， ∴F是CD中点； ∴①正确； ②连接OP， ∵⊙O与AD相切于点P， ∴OP⊥AD， ∵AD⊥DC， ∴OP∥CD， ∴， 设OP=OF=x，则， 解得：x=2， ∴②正确； ③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3， ∴∠DAF=30°，∠AFD=60°， ∴∠EAF=∠EAB=30°， ∴AE=2EF； ∵∠AFE=90°， ∴∠EFC=90°-∠AFD=30°， ∴EF=2EC， ∴AE=4CE， ∴③错误； ④连接OG，作OH⊥FG， ∵∠AFD=60°，OF=OG， ∴△OFG为等边三角形；同理△OPG为等边三角形； ∴∠POG=∠FOG=60°，OH=，S扇形OPG=S扇形OGF， ∴S阴影=（S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH）+（S扇形OGF-S△OFG）=S矩形OPDH-S△OFG=2×-××2×=． ∴④正确； 其中正确的结论有：①②④，3个； 故选C． 【点睛】本题考查了矩形面积的计算，正三角形的性质，切线的性质，勾股定理的运用，本题中熟练运用上述考点是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．如图，为的直径，弦，垂足为，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理得出关于是方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：连接，设的半径为，则， 为的直径，弦，， ，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即的半径是5， 故答案为：5． 17．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，先由切线的性质得到，则由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 故答案为：． 18．如图，正六边形内接于，连接BD．则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是判断出是等腰三角形，属于中考常考题型．求出，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在正六边形中，， ， ， 故答案为：． 19．如图，为圆的直径，为圆弧上的三等分点，已知，求阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及等边三角形的判定与性质、平行线的判定、同底等高三角形面积及扇形面积公式等知识，连接，如图所示，由等边三角形的判定与性质及平行线的判定得到，进而确定阴影部分的面积，利用扇形面积公式代值求解即可得到答案，根据题意，准确作出辅助线，数形结合将不规则图形面积转化为规则图形面积是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 为圆弧上的三等分点， ， ， 是等边三角形，则， ， ， ， 线段与构成的弓形面积始终不变， 阴影部分的面积， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）如图，是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且，于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能根据垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．连接，可得，进而可得，，求出即可； 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，过圆心O， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 即． 21．（6分）如图，是的直径，点为外一点，连接交于点，连接并延长交线段于点，．求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查切线的判定．由题意易得，，，进而根据角的等量关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切． 22．（7分）如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D． ⑴求证：AC=CD ⑵若AC=2，AO=，求OD的长度． 【答案】⑴证明见解析⑵1 【分析】（1）由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证. （2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长. 【详解】证明：（1）∵OA=OB，∴∠OAB=∠B. ∵直线AC为圆O的切线，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°. ∵OB⊥OC，∴∠BOC="90°." ∴∠ODB+∠B=90°. ∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°. ∴∠DAC=∠CDA. ∴AC=CD. 解：（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2， 根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2， 解得：OD=1（负值已舍去）. 考点：1.等腰三角形的判定和性质；2.切线的性质；3.勾股定理. 23．（6分）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 24．（8分）如图，平分，点在射线上，以点为圆心，半径为1的与相切于点，连接并延长交于点，交于点 (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先过点作于点，易证得，即可得是的切线； （2）由，，可求得的长，又由，即可求得答案． 此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质解答本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， 与相切于点， ， 平分，是半径， ， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， 在中，， ， ． 25．（8分）如图，点 O 是△ABC 的边 AB 上一点，以 OB 为半径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 的切线交 AC 于点 E，且 DE⊥AC． (1)证明：AB＝AC； (2)设 AB＝cm，BC＝2cm，当点 O 在 AB 上移动到使⊙O 与边 AC 所在直线相切时， 求⊙O 的半径． 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）首先证明OD∥AC，推出∠ODB=∠C，由OB=OD，推出∠B=∠ODB，即可证明∠B=∠C； （2）设AC与⊙O相切于点F，连接OF，作AH⊥BC于H，设半径为r．解直角三角形求出AH，由tanC==2，推出EC=，推出AF=-r-=-r，在Rt△AOF中，根据OA2=AF2+OF2，构建方程即可解决问题. 【详解】（1）连接OD， ∵DE是⊙O的切线， ∵DE⊥OD， ∵AC⊥DE， ∴OD∥AC， ∴∠ODB=∠C， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC； （2）设AC与⊙O相切于点F，连接OF，作AH⊥BC于H，设半径为r， ∵AB=AC，AH⊥BC， ∴BH=CH=1， ∴AH==2， ∴tan∠C==2， ∵∠OFE=∠ODE=∠DEF=90°， ∴四边形ODEF是矩形， ∵OD=OF， ∴四边形ODEF是正方形， ∴EF=DE=r， ∵tanC==2， ∴EC=， ∴AF=﹣r﹣r=﹣r， 在Rt△AOF中，∵OA2=AF2+OF2， ∴（﹣r）2=r2+（﹣r）2， 解得r=． 【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 26．（8分）已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若为的中点，求证：直线是的切线． 【答案】（1）55°；（2）见解析 【分析】（1）根据AP是⊙O的切线，可得∠BAP=90°，∠P=35°，即可求得∠ABP的度数； （2）连接AC，OC，根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ACP=90°，再根据D为AP的中点，得DC=AD=DP，∠DAC=∠DCA，进而可以证明直线CD是⊙O的切线． 【详解】解：（1）是的直径，是的切线， ， ； ． （2）如图，连接AC，OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ACP=90°， ∵D为AP的中点， ∴DC=AD=DP， ∴∠DAC=∠DCA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OAC+∠DAC=∠OCA+∠DCA， ∵∠OAC+∠DAC=∠BAP=90°， ∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°． ∵OC是半径， ∴直线CD是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 27．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． (1)求证：DH是圆O的切线； (2)若，求证：A为EH的中点． (3)若EA=EF=1，求圆O的半径． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） 【分析】（1）由角的关系易证OD//AC，已知即证 （2）由OD//AC，可证根据“相似三角形的对应边成比例”易得, 设  证明是等腰三角形，表示出即可证明. （3）通过等量关系表示出边的长度，由可得对应边的比例关系的方程，求解即可. 【详解】解：(1)连接OD，如图1， ∵在⊙O中，   ∴    ∵ ∴ ∴ ∴OD//AC，   ∵ ∴ ∴ ∴ ∴DH是圆O的切线；    (2)∵ ∴ ∴， 设   连接AD， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°，即 ∵ ∴D是BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∴     ∵在⊙O中，   ∴ ∴是等腰三角形， ∵ ∴ ∵A在EH上且, ∴A为EH的中点.      (3)如图2，设⊙O的半径为r，即 ∵ ∴ ∵OD∥EC， ∴ 则 ∴ ∴ ∴   在⊙O中，∵ ∴ ∴，是等腰三角形， ∴ ∴   ∵ ∴ 解得：  (不合题意，舍去)， 综上所述，⊙O的半径为． 【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系、圆中的计算问题以及相似三角形的判定与性质.属于综合题，难度较大，对学生综合能力要求较高. 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，中的度数为，是的直径，那么等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，为圆O的直径，弦与交于点E，为等腰三角形，为底，，求圆弧所对的圆心角（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的内接三角形，．点是延长线上一点，且与相切于点，若的半径为1，则长为（　　） A． B． C． D．3 6．在中，，用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于．”的命题时，应先假设（    ） A．，都大于 B．，都大于等于 C．，都小于 D．，都小于等于 7．如图，是的直径，切于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 9．如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 10．如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，，则以下关系式成立的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，扇形中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点C，若，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，是的直径，，垂足为E，直线与相切于点C，交于点D，直线交的延长线于点P，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 13．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝CE；④S阴影＝．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．如图，为的直径，弦，垂足为，则的半径为 ． 17．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，则的度数为 ． 18．如图，正六边形内接于，连接BD．则的度数是 ． 19．如图，为圆的直径，为圆弧上的三等分点，已知，求阴影部分的面积 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）如图，是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且，于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦的长． 21．（6分）如图，是的直径，点为外一点，连接交于点，连接并延长交线段于点，．求证：与相切． 22．（7分）如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D． ⑴求证：AC=CD ⑵若AC=2，AO=，求OD的长度． 23．（6分）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 24．（8分）如图，平分，点在射线上，以点为圆心，半径为1的与相切于点，连接并延长交于点，交于点 (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留 25．（8分）如图，点 O 是△ABC 的边 AB 上一点，以 OB 为半径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 的切线交 AC 于点 E，且 DE⊥AC． (1)证明：AB＝AC； (2)设 AB＝cm，BC＝2cm，当点 O 在 AB 上移动到使⊙O 与边 AC 所在直线相切时， 求⊙O 的半径． 26．（8分）已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若为的中点，求证：直线是的切线． 27．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． (1)求证：DH是圆O的切线； (2)若，求证：A为EH的中点． (3)若EA=EF=1，求圆O的半径． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$