精品解析：山东省 2020 年普通高校招生（春季）考试 数学试题

山东省省22002200年普通高校招生（春季）考试 数学试题 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的运算求解. 【详解】因为，集合， 所以， 故选:C． 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不等于0和负数无对数列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须，即， 解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 3. 已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性的定义求解即可. 【详解】对于任意两个不相等的实数，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有． 所以函数一定是增函数． 故选：C. 4. 已知平行四边形，点分别是的中点（如图所示），设，，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可得出结论. 【详解】已知，， 则， 因为点分别是的中点， 所以. 故选：A． 5. 在等比数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式即可解得 【详解】由题数列为等比数列， 则公比， 则， 故选：A 6. 已知直线的图像如图所示，则角θ是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像确定的符号，再根据的符号即可确定角θ的象限. 【详解】由图可知，直线斜率， 且截距， 因为当为第三，四象限角时，， 当为第一，四象限角时，， 所以角θ是第四象限角. 故选：D. 7. 已知圆心为的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与轴相切可求出半径，再由圆心，半径即可写出圆的方程. 【详解】已知圆心为的圆与y轴相切， 所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：B. 8. 现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先运用组合数计算出4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生的选法，再用排列数计算出担任5门不同学科的课代表的排列种数即可解决问题. 【详解】从4名男生选3名男生共有种选法， 3名女生中选2名女生共有种选法， 使她们分别担任5门不同学科的课代表共有 种安排方法. 故选：C. 9. 在的二项展开式种，第4项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开始的通项公式求值即可. 【详解】已知的第4项为， 其中二项式系数是. 故选：A. 10. 直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出对称直线方程，找到一个对称点坐标代入即可. 【详解】设直线关于点对称的直线方程为，， 因为在直线上，设该点对称点坐标为， 根据对称性可知，，即，，对称点坐标为； 代入直线方程有，，； 则直线方程为； 故选：D. 11. 已知，若集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过明确的值，进而进行分析． 【详解】若，则，可以推出； 若，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象结合一元二次方程的根即可求解. 【详解】由二次函数的图像知， 方程的两根为，且， 不等式的解集是. 故选：A. 13. 已知函数是奇函数，当时，，则该函数在上的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干意思画出对应区间的图像，在选项中找到与其关于原点对称的图形即可. 【详解】 画出当时，的图像， 得到关于原点对称的图像（函数是奇函数）， 故选：D． 14. 下列命题为真命题的是（ ） A. 且 B. 或 C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用真假命题的概念可判断. 【详解】，故且为假命题，A错误； ，，故或为假命题，B错误； ，故，为假命题，C错误； ，故，为真命题，D正确； 故选：D. 15. 已知点，点Р在函数图象的对称轴上，若，则点P的坐标是（ ）. A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题可设，根据向量垂直的坐标表示可求解. 【详解】由函数可知，其对称轴为， 因为Р在函数图象的对称轴上，故设， 又，故， 因为， 所以，即，解得或， 所以点P的坐标是或. 故选：C. 16. 现在有5位老师，若每人随机进入两间教室中任意一间听课，则恰好全部进入同一间教室的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】共有5位老师，每位老师都2种选择， 所以共有个基本事件. 其中恰好全部进入同一间教室的基本事件有2个， 所以恰好全部进入同一间教室的概率是， 故选：B. 17. 已知椭圆长轴长是10，焦距是8，则短轴长等于（    ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据长轴、焦距的定义可得，据此可得b，进而得短轴长. 【详解】由题知，， 所以. 所以,短轴长为6. 故选：B 18. 已知变量x，y满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用图解法将点坐标带入目标函数即可求范围. 【详解】由图可知当目标函数过时有， 当目标函数过时有， 当目标函数过时有， 所以的取值范围是； 故选：C. 19. 已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误； B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误； C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误； D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确. 20. 在中，内角的对边分别是，若，且，则等于（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据余弦定理结合同角三角函数的基本关系式求出，再由正弦定理结合和角公式求出和，最后用和与差的正切求出即可. 【详解】已知， 即，由余弦定理可得， ，即， 则，所以， 因为，所以， 又， 由正弦定理， 即， 所以, 即， 则，又， 所以，因为， 所以或，因为，所以， 所以， ， . 故选：A. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案写在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知，若，则______rad（精确到小数点后2位）. 【答案】 【解析】 【分析】用计算器根据三角函数值求角，再转化为弧度，即可解得. 【详解】由题，，又， 则由计算器计算得. 故答案为：0.93. 22. 若，则实数x的值是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】因为. 即. 所以. 故答案为：. 23. 已知球的直径为2，则该球的体积是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据球的体积公式直接求解即可. 【详解】因为球的直径为2，所以球的半径为1， 所以球的体积是. 故答案为：. 24. 某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…，480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本的个体编号依次为005，021，…，则样本中最后一个个体编号是______. 【答案】469 【解析】 【分析】系统抽样方法的概念，确定抽样间隔及抽取的个数，进而可得答案. 【详解】由题意可知，抽样间隔为，共抽取个， 则样本中最后一个个体编号是， 故答案为：469． 25. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则双曲线的离心率等于______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的性质解出点的坐标，代入到双曲线方程中得到关于的齐次方程，解之即可得解. 【详解】由题，抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，即， 则， 则抛物线方程为， 因为两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F， 则不妨设， 又也在双曲线上，则， 又，则， 即，则，所以 解得，又， 则，， 故答案为： 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的值,再将所得的值再次代入分段函数即可求解. （2）根据绝对值的性质判断，代入相应函数解析式应用解含绝对值不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 则， 因为， 所以，即， 所以有， 解得. 27. 某男子擅长走路，9天走了里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为里，若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 【答案】里 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式与等差数列的前项和公式联立求出，再代入通项公式中求值即可. 【详解】由题意可知，该男子每天走到路程成等差数列， 其中第一天为首项，每天比前一天多走的路程为公差， 所以有，即， 解得， 所以. 所以该男子第5天走了里. 28. 小明同学用“五点法”作某个正弦型函数（A＞0，，）在一个周期内的图像时，列表如下： x 0 0 3 0 0 根据表中数据，求： （1）实数A，，的值 （2）该函数在区间上的最大值和最小值 【答案】（1）A＝3，， （2）最大值是3，最小值是 【解析】 【分析】（1）通过观察表格可确定最值和周期，再将点代入解析式即可求出的值. （2）由（1）可知，再根据正弦函数的单调性即可求出最值. 【小问1详解】 由表可知最大值为，所以， 由表可知，， 因为，故，解得， 所以． 因为函数图像过点， 则，即， 所以，， 解得，， 又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知． 因为，所以， 因此当时，即时，， 则时，即时， 函数单调递增， 且时，即时， 函数单调递减， 且当时，即时，， 当时，即时，， 所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是. 29. 已知点E，F分别是正方形的边的中点，现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，若图所示. （1）若点G，H分别是的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）构建三角形根据中位线定理证明面面平行，再根据面面平行证明线线平行； （2）利用面面垂直的性质定理，将线面角转化为平面角求解即可解得. 【小问1详解】 连接，设点O为的中点，连接， 在中，又因为点G为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又知为中点，则， 又因为E，F分别为正方形的边的中点，故， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 因为为正方形，E，F分别是的中点， 所以四边形为矩形，则， 又因为二面角为直二面角，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面内的射影， 因为为直线与平面所成的角， 不妨设正方形边长为a，则， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，， 故，即直线与平面所成角的正弦值为. 30. 已知抛物线的顶点在坐标原点O，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示. （1）求抛物线的标准方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出坐标，然后利用焦点坐标可求抛物线方程； （2）分类讨论斜率是否存在，设出直线方程，求出斜率范围，设出点，坐标，利用韦达定理、向量的加法即平行向量的坐标表示，求出斜率代入直线方程即可. 【小问1详解】 由椭圆可知，，，所以，，则， 因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为， 所以，即． 所以抛物线的标准方程为． 【小问2详解】 由椭圆可知，，， 若直线l无斜率，则其方程为，与抛物线无交点，不符合要求． 所以直线l的斜率存在，设为，直线l过点， 则直线l的方程为， 设点，， 联立方程组，消去， 得．① 因为直线l与抛物线有两个交点， 所以，即， 解得，且． 由①可知， 所以， 则， 因为，且， 所以． 解得或， 因为，且，所以不符合题意，舍去， 所以直线l的方程为， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省省22002200年普通高校招生（春季）考试 数学试题 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数 4. 已知平行四边形，点分别是的中点（如图所示），设，，则 等于（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线的图像如图所示，则角θ是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 7. 已知圆心为的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 8. 现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ） A. B. C. D. 9. 在的二项展开式种，第4项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 10. 直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，若集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 13. 已知函数是奇函数，当时，，则该函数在上的图像可能是（ ） A. B. C. D. 14. 下列命题为真命题的是（ ） A. 且 B. 或 C. ， D. ， 15. 已知点，点Р在函数图象的对称轴上，若，则点P的坐标是（ ）. A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 16. 现在有5位老师，若每人随机进入两间教室中任意一间听课，则恰好全部进入同一间教室的概率是（ ） A. B. C. D. 17. 已知椭圆长轴长是10，焦距是8，则短轴长等于（    ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 18. 已知变量x，y满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 19. 已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 20. 在中，内角的对边分别是，若，且，则等于（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 或 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案写在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知，若，则______rad（精确到小数点后2位）. 22. 若，则实数x的值是_____________. 23. 已知球的直径为2，则该球的体积是______. 24. 某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…，480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本的个体编号依次为005，021，…，则样本中最后一个个体编号是______. 25. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则双曲线的离心率等于______. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求实数的取值范围. 27. 某男子擅长走路，9天走了里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为里，若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 28. 小明同学用“五点法”作某个正弦型函数（A＞0，，）在一个周期内的图像时，列表如下： x 0 0 3 0 0 根据表中数据，求： （1）实数A，，的值 （2）该函数在区间上的最大值和最小值 29. 已知点E，F分别是正方形的边的中点，现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，若图所示. （1）若点G，H分别是的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 30. 已知抛物线的顶点在坐标原点O，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示. （1）求抛物线的标准方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $