专题4.1 指数幂与幂函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河北专用）

专题4.1 指数幂与幂函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：指数与指数运算 4 考点二：根式与分数指数幂的互化 5 考点三：利用分数指数幂的运算性质化简求值 6 考点四：幂函数的解析式 6 考点五：比较幂的大小 7 【考纲要求】 1. 了解根式的概念；理解分数指数幂和有理数指数幂的运算性质． 2. 了解幂函数y=xa，其中a的取值仅限于集合{1,2,3，-1，-2，}． 【考向预测】 1. 指数幂的运算 2.幂函数图象和性质的应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2. 分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3. 实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 4. 幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非奇非偶 函数 奇 函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 【考点分类剖析】 考点一：指数与指数运算 例1．的值为（    ） A． B． C．2 D．4 例2．下列说法正确的个数是（　　） ①49的平方根为7；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 例3．已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1. （    ） A．0 B． C．1 D．2 2．下列各式正确的是(　 　) A．()3＝a B．()4＝－7 C．()5＝|a| D．＝a 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二：根式与分数指数幂的互化 例1．用根式的形式表示下列各式(x>0)． ①x；②x－. 例2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法规律】根式与分数指数幂互化的规律 (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 【变式探究】1．将化为分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 2．下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 考点三：利用分数指数幂的运算性质化简求值 例1． . 例2． . 【方法规律】1.幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数． 2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数． 【变式探究】1．计算，结果是（    ） A．1 B． C． D． 2． . 考点四：幂函数的解析式 例1．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 例2．函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 【变式探究】1．若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为 ． 2．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【方法规律】解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0，1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴； ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断． 考点五：比较幂的大小 例1．在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 【方法规律】比较幂值的大小，关键是构造适当的函数．对于第(3)小题，当要比较的两数的底数不在同一单调区间上时，应先利用函数的奇偶性等性质进行转化，使得要比较的两数的底数在同一单调区间上，再比较． 【变式探究】1．判断大小： .(填“”或“”) 2．比较下列各题中数值的大小. （1） ； （2） . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 指数幂与幂函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：指数与指数运算 4 考点二：根式与分数指数幂的互化 6 考点三：利用分数指数幂的运算性质化简求值 7 考点四：幂函数的解析式 9 考点五：比较幂的大小 11 【考纲要求】 1. 了解根式的概念；理解分数指数幂和有理数指数幂的运算性质． 2. 了解幂函数y=xa，其中a的取值仅限于集合{1,2,3，-1，-2，}． 【考向预测】 1. 指数幂的运算 2.幂函数图象和性质的应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2. 分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3. 实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 4. 幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非奇非偶 函数 奇 函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 【考点分类剖析】 考点一：指数与指数运算 例1．的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的运算求得正确答案. 【详解】. 故选：C 例2．下列说法正确的个数是（　　） ①49的平方根为7；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据根式的运算，逐一判断即可. 【详解】49的平方根是，故①错误； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误． 故选:A． 例3．已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确. 【详解】A选项，且，故，A错误； B选项，且，故，B错误； C选项，，C错误； D选项，且，故，D正确. 故选：D 【变式探究】1. （    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据指数幂运算计算即可. 【详解】. 故选：D. 2．下列各式正确的是(　 　) A．()3＝a B．()4＝－7 C．()5＝|a| D．＝a [解析]　()3＝a，()4＝7， ()5＝a，＝|a|＝，故选A． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 取，则，故A错误， 对于B，，故B错误， 对于C, ，故C错误， 对于D，，故D正确， 故选：D 考点二：根式与分数指数幂的互化 例1．用根式的形式表示下列各式(x>0)． ①x；②x－. [解析]　①x＝； ②x－＝. 例2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 【方法规律】根式与分数指数幂互化的规律 (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 【变式探究】1．将化为分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先将根式转化为分数指数幂，再利用指数幂的运算性质化简. 【详解】原式. 故选：A. 2．下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 考点三：利用分数指数幂的运算性质化简求值 例1． . 【答案】2 【分析】根据指对运算计算得出答案. 【详解】， ， ， ， 故答案为：2. 例2． . 【答案】/ 【分析】由指数幂的运算化简求值. 【详解】. 故答案为： 【方法规律】1.幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数． 2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数． 【变式探究】1．计算，结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答. 【详解】. 故选：B 2． . 【答案】 【分析】按照指数运算的法则计算即可. 【详解】 故答案为：. 考点四：幂函数的解析式 例1．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【详解】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 例2．函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义列方程求解即可. 【详解】由幂函数的定义知， 即，解得或． 故选：C 【变式探究】1．若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】设出幂函数，然后将代入解析式求出参数即可. 【详解】设，因为图像经过点， 则， 所以． 故答案为： 2．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案. 【详解】由题图知：，，， 所以，，依次可以是，，3． 故选：D 【方法规律】解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0，1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴； ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断． 考点五：比较幂的大小 例1．在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比大小即可. 【详解】由函数与在上单调递减，可知，， 只需比较与的大小，由于幂函数在上单调递增， 所以，所以这四个数中，最大的数为. 故选：C. 【方法规律】比较幂值的大小，关键是构造适当的函数．对于第(3)小题，当要比较的两数的底数不在同一单调区间上时，应先利用函数的奇偶性等性质进行转化，使得要比较的两数的底数在同一单调区间上，再比较． 【变式探究】1．判断大小： .(填“”或“”) 【答案】 【分析】根据的单调性比较大小即可. 【详解】由在上递减，又， 所以. 故答案为： 2．比较下列各题中数值的大小. （1） ； （2） . 【答案】 < > 【分析】（1）（2）根据幂函数的单调性比较大小即可 【详解】（1）因为在R上是增函数，且， 所以， （2）因为函数在上是减函数，且， 所以. 故答案为：< ，> 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$