课时作业68 二项分布、超几何分布与正态分布-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

hh -[(p1+p2m)log2(p1+p2m)+(p2+ p2m-1)log2(p2+p2m-1)+ … + (pm + pm+1)log2(pm +pm+1)]=-[p1log2(p1+ p2m)+p2log2(p2 +p2m-1)+ … + pmlog2(pm +pm+1)+pm+1log2(pm+1+ pm)+… +p2m-1log2(p2m-1 +p2)+ p2mlog2(p2m +p1)]=-∑ 2m i=1 pilog2(pi + p2m+1-i).又 H(X)= -∑ 2m i=1 pilog2pi, pilog2pi<pilog2(pi+p2m+1-i),i=1, 2,…,2m,∴H(Y)<H(X),D错误.故 选AC. 16.10 解析:X 的 可 能 取 值 为 0,1,2,则 P(X = 0) = x 20 · 20-x 20 = x(20-x) 400 ,P(X =1)= 20-x 20 · 20-x 20 + x 20 ·x 20= (20-x)2+x2 400 , P(X =2)= x(20-x) 400 ,所以 X 的 分布列为 X 0 1 2 P x (20-x) 400 (20-x)2+x2 400 x(20-x) 400 E(X)= 0 × x(20-x) 400 + 1 × (20-x)2+x2 400 +2× x(20-x) 400 = 1,D(X)= (0-1)2× x(20-x) 400 + (1-1)2 × (20-x)2+x2 400 + (2- 1)2 × x(20-x) 400 = (20-x)x 200 ≤ 1 200× 20-x+x 2 2 = 1 2 ,当且仅 当x = 10时,等 号 成 立,所 以 当 D(X)取到最大值时,x 的值为10. 课时作业68 二项分布、 超几何分布与正态分布 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 由题意可知,该部件每个元件正常 工作超过10 000小时的概率均为12 , 则该部件正常工作超过10 000小时的 概率为 1- 1 2 2 × 12 = 38,所以 1 000台仪器中该部件的使用寿命超过 10 000 小 时 的 台 数 服 从 二 项 分 布 B 1 000,38 ,故所求均值为1 000× 3 8 =375. 故选C. 6.D 对于 A,X ~ N(2,σ2),由正态分 布的对称性可知P(X≥2)= 1 2 ,故A 正确;对于B,若随机变量Y 服从两点 分布,且E(Y)= 1 2 ,即分布列为 Y 0 1 P 12 1 2 所以 2Y 0 2 P 12 1 2 故E(2Y)=0× 1 2 +2× 1 2 =1 ,则 D(2Y)= (0-1)2× 1 2 + (2-1)2× 1 2 =1 ,故B正确;对于C,分布列中概 率 之 和 为 1,即 -1+2a + 0+2 a + 1+2 a + 2+2 a =1 ,解得a=10,故C正 确;对于D,随机变量T ~B 8, 1 3 , 令 P(T =k)≥P(T =k+1), P(T =k)≥P(T =k-1) 即 Ck8 1 3 k 1- 1 3 8-k ≥ Ck+18 1 3 k+1 1- 1 3 7-k , Ck8 1 3 k 1- 1 3 8-k ≥ Ck-18 1 3 k-1 1- 1 3 9-k , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 k≥2, k≤3, 因为k∈N,所以k=2或3, 则T 的分布列中最大的有P(T =2) 或P(T =3),故D错误.故选D. 7.ABD 对 于 A,f(k)= Ck10 1 2 10 , P(X >0.5)=1-P(X =0)=1- C010 1 2 10 = 1 023 1 024 ,故A正确; 对 于 B, 因 为 Ck10 = C10-k10 , 所 以 Ck10 1 2 10 =C10-k10 1 2 10 ,即f(k)= f(10-k),故 B正 确;对 于 C,因 为 f(k)= f(10-k),所 以∑ 10 i=0 (i· f(i))=10(f(0)+f(1)+f(2)+ f(3)+f(4))+5f(5)=5(f(0)+ f(1)+ … +f(9)+f(10))=5× 210× 1 2 10 =5,故C错误;对于D, 由二项式系数的性质可得C510 最大,即 当k=5时,f(k)取得最大值,故D正 确.故选ABD. 8.BCD 随 机 变 量 X ~B 9, 1 3 ,则 P(X =3)=C39× 1 3 3 × 2 3 6 ,故 A错误;E(X)=9× 1 3 =3 ,故B正 确;E(4X-1)=4E(X)-1=4×3- 1=11,故C正确;因为 D(X)=9× 1 3× 1- 1 3 =2,所以 D(-2X + 5)=(-2)2D(X)=4×2=8,故D正 确.故选BCD. 9.ACD 对于A,P(X =n)=an(n= 1,2,3,4),所以a+2a+3a+4a=1, 所以a= 1 10 ,故 A正确;对于B,可得 P(1≤X ≤2)= 1-2P(X ≤0) 2 = 1-2×0.4 2 =0.1 ,故B不正确;对于 C, 因 为 X ~ B 10, 1 5 , 所 以 D(X)=10× 1 5× 1- 1 5 = 85,故 C正确;对于D,P(X =1)= C14C26 C310 = 1 2 ,故D正确.故选ACD. 10.116 2 解析:因 为 每 次 拿 到 黄 球 的 概 率 为 p= 2 4 = 1 2 ,所以ξ~B 4, 1 2 ,所 以P(ξ =0)= C04 × 1- 1 2 4 = 1 16 ,E(ξ)=4× 1 2 =2. 11.4 解析:由题意,该情景符合超几何分 布,根据超几何分布的数学期望公式 得抽到的次品数期望是 10×16 40 =4 , 因为次品数为整数,故最可能抽到的 次品数是4. 12.127 解析:由题意得,该正态曲线的对称 轴为 直 线 X =μ =100,∵P(80< X <120)= 2 3 ,∴P(100< X < 120)= 1 3 ,∴3位同学的数学成绩都 在(100,120)的概率为P = 1 3 3 = 1 27. 13.解:(1)设A1表示第1次摸到红球,设 A2 表示第2次摸到红球, P(A1)= 2 5 , P(A2)= P(A1A2)+P(A1A2)= P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2| A1)= 2 5 × 1 4 + 3 5 × 2 4 = 2 5. 所以第二次摸出的球是红球的概率 是2 5. (2)从5个球中摸取3个球,用X 表示 抽到的红球数,则 X =0,1,2,所以 P(X =0)= C02C33 C35 = 1 10 ,P(X = 1)= C12C23 C35 = 3 5 ,P(X = 2)= C22C13 C35 = 3 10. 所以X 分布列: X 0 1 2 P 110 3 5 3 10 所以取得红球数 X 的期望E(X)= 0× 1 10+1× 3 5 +2× 3 10= 6 5. 14.解:(1)记随机抽取1名学生分别来自 高一、高二、高三的事件为A,B,C,抽 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -642- 参 考 答 案 取的1名学生每周运动总时间超过5 小时的事件为D, 于 是 P(A)= 9 20 ,P(B)= 3 10 , P(C)= 1 4 ,P(D|A)=0.7,P(D| B)=0.65,P(D|C)=0.56, 因 此 P(D)= P(A)P(D |A)+ P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)= 9 20×0.7+ 3 10×0.65+ 1 4×0.56= 0.65, 所以该学生每周运动总时间超过5小 时的概率为0.65. (2)该校每名学生每周运动总时间为 随 机 变 量 X(单 位:小 时),X ~ N(5.5,σ2), 则有P(X >5.5)=0.5,由(1)知, P(X >5)=0.65,于是P(5<X < 5.5)=0.65-0.5=0.15, 因此P(5<X <6)=2P(5<X < 5.5)=0.3,即该校学生每周运动总 时间为5至6小时的概率为0.3, 依题意,Y ~B(5,0.3),则 E(Y)= 5×0.3=1.5, 所以随机变量Y 的期望为1.5. 15.C 乙队获胜可分为乙队以3∶0或 3∶1或3∶2的比分获胜,乙队以3∶0 获胜,即乙队三场全胜,概率为C33× 1 3 3 = 1 27 ;乙队以3∶1获胜,即乙 队前三场 两 胜 一 负,第 四 场 获 胜,概 率为C23× 1 3 2 × 2 3× 1 3 = 2 27 ;乙 队以3∶2获胜,即乙队前四场两胜两 负,第五场获胜,概率为C24× 1 3 2 × 2 3 2 × 1 3 = 8 81 ;所以在这场“五局三 胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为 1 27+ 2 27+ 8 81= 17 81. 16.53 解析:由 已 知 可 得,P(5.35<ξ < 5.55)=P(5.40-0.05<ξ<5.40+ 3×0.05)=P(μ-σ<X<μ+3σ), 又 P(μ -σ < X < μ +3σ)= P(μ-σ<X <μ+σ)+P(μ-3σ<X <μ+3σ) 2 ≈ 0.682 7+0.997 3 2 =0.84 ,所 以,K ~ B(N,0.84),P(K=45)=C45N·0.8445· 0.16N-45,设 f(x)= C45x ·0.8445 · 0.16x-45,则f (x+1) f(x) = C45x+1·0.8445·0.16x-44 C45x ·0.8445·0.16x-45 = 0.16 · (x+1)! (x-44)! 45! x! (x-45)! 45! =0.16· x+1 x-44> 1,所 以,x < 368 7 =52+ 4 7 ,所 以 f(53)>f(52), f (x) f(x-1)= C45x ·0.8445·0.16x-45 C45x-1·0.8445·0.16x-46 = 0.16· x! (x-45)! 45! (x-1)! (x-46)! 45! = 0.16· x x-45< 1,所以,x > 375 7 =53+ 4 7 ,所以f(53)>f(54).所 以 使 得 P(K =45)最大的N 值作为N 的估 计值,则 N 为53. 课时作业69 随机抽样、 用样本估计总体 1.D 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C 2021年10月份,全国居民消费价 格的同比和环比的涨幅 均 为 正 数,故 ① 正确;2020年10月至2021年10月, 全国居民消费价格同比下跌的月份有 2020年11月,2021年1月和2月共3个 月,增长的月份有10个,故不是5倍关 系,故 ② 错误;从2020年10月至2021 年10月中任取1个月,总的取法有13 个,全国居民消费价格的 同 比 均 呈 现 增长的情况有10个,所以概率为1013 ,故 ③ 正确.故选C. 7.BCD 对于A,因为10×70% =7,所 以甲的环数的70% 分位数是7+82 = 7.5,故A错误;对于B,x甲 = 4+5+5+6+6+7+7+8+8+9 10 =6.5,x乙 = 2+5+6+6+7+7+7+8+9+10 10 =6.7,所以x甲 <x乙 ,故B正确;对于 C,这 20 个 数 据 的 平 均 值 x = 6.5×10+6.7×10 20 =6.6 ,故C正确; 对于D,s2甲 = 1 10× [(4-6.5)2+2× (5-6.5)2+2×(6-6.5)2+2×(7- 6.5)2+2×(8-6.5)2+(9-6.5)2]= 2.25,s2乙 = 1 10× [(2-6.7)2 + (5- 6.7)2+2× (6-6.7)2 +3× (7- 6.7)2+ (8-6.7)2 + (9-6.7)2 + (10-6.7)2]=4.41,s2甲 <s2乙 ,故D正 确.故选BCD. 8.BD 设新农村建设前经济收入为a, 则新农村建设后经济收入为2a,则由 扇形图可得新农村建设前种植收入为 0.6a,其他收入为0.04a,养殖收入为 0.3a,新 农 村 建 设 后 种 植 收 入 为 0.74a,其他收入为0.1a,养殖收入为 0.6a,对于A,新农村建设后,种植收入 增加了0.74a-0.6a=0.14a,故A错 误;对于B,其他收入为0.1a,0.1a> 2×0.04a =0.08a,故增加了一倍以 上,故 B正 确;对 于 C,养 殖 收 入 为 0.6a,因为0.6a=2×0.3a,即新农村 建设后,养殖收入增加了一倍,故C错 误;对于D,因为养殖收入与第三产业 收入总和为1.16a,由1.16a > 1 2 × 2a=a,所以养殖收入与第三产业收入 的总和超过了经济收入的一半,故D正 确.故选BD. 9.ABC 对 于 A,由 题 意 可 知,2×3+ a=5,a= -1,故A错误;对于B,易知 乙组样本数据的方差为甲组样本数据 方差的22=4倍,故B错误;对于C,不 妨设x1<x2< … <xn,则甲组数据 的极差为xn -x1,乙组数据的极差为 (2xn -1)-(2x1-1)=2(xn-x1), 又已知甲组数据各 不 相 同,所 以 两 组 样本数据的极差不相等,故C错误;对 于D,设甲组样本数据的中位数为 m, 则乙组样本数据的中位数为2m-1,当 m =1时,m =2m-1,所以两组样本 数据的中位数可能相等,故D正确. 故 选ABC. 10.13 解析:由题意知x1+x2+…+xm = mx,y1+y2+…+yn =ny,z= (x1+x2+ … +xm )+(y1+y2+ … +yn) m +n = mx+ny m+n = mx m+n+ ny m+n= 1 4x+ 3 4y ,所以 m m+n = 1 4 , n m+n = 3 4 , 可得3m =n,所以 m n = 1 3. 11.130 解析:由 n 100+1 500+1 000= 55 100+1 000 ,得n=130. 12.166 42 解析:依题意,知学生总数为300,其 中男生人数为180,女生人数为120, 设该校 高 一 年 级 学 生 身 高 的 平 均 数 为z,方 差 为s2,则z = 180 300×x + 120 300×y = 3 5 ×170+ 2 5 ×160= 166,s2 = 180 300 [s21 + (x -z)2]+ 120 300 [s22+ (y -z)2]= 3 5 × [14+ (170-166)2]+ 2 5 × [24+ (160- 166)2]=42. 13.解:(1)由题意知,大三团队个数占总 团队个数的 300 100+200+300+400= 3 10 ,则用比例分配的分层随机抽样的 方法,应 从 大 三 中 抽 取20× 3 10 = 6(个)团队. (2)甲组成绩的平均数x甲 = 1 10× (125+141+140+137+122+114+ 119+139+121+142)=130(分).乙 组成绩的平均数x乙 = 1 10× (127+ 116+144+127+144+116+140+ 140+116+140)=131(分).甲组数 据的方差s2甲 = 1 10× [(125-130)2+ (141-130)2+(140-130)2+(137- 130)2 + (122 - 130)2 + (114 - 130)2 + (119 - 130)2 + (139 - 130)2 + (121 - 130)2 + (142 - 130)2]=104.2,乙 组 数 据 的 方 差 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -643- hh 课时作业68 二项分布、超几何分布与正态分布 - 一、单项选择题 1.(2023·福建厦门外国语学校摸底)已知随机变 量X 服从二项分布B(n,p),且E(X)=9, D(X)= 9 4 ,则n= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 2.设某批电子手表正品率为34 ,次品率为1 4 ,现对 该批电子手表进行测试,设第X 次首次测到正 品,则P(X=3)= ( ) A.C23 1 4 2 × 3 4 B.C23 34 2 × 1 4 C.14 2 × 3 4 D.34 2 × 1 4 3.从装有6个白球,2个红球的密闭容器中逐个不 放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分,每 取出1个白球得1分,按照规则从容器中任意 抽取2个球,所得分数的期望为 ( ) A.52 B.3 C. 10 3 D. 7 2 4.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5,现有 10门大炮同时对某一目标各射击一次.记恰好 击中目标3次的概率为A;若击中目标记2分, 记10门大炮总得分的期望值为B,则A,B 的 值分别为 ( ) A.15128 ,5 B.15128 ,10 C.15256 ,5 D.15256 ,10 5.某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器, 每台仪器的某个部件由三个电子元件按如图 方式连接而成,若元件1或元件2正常工作,且 元件3正常工作,则该部件正常工作.由大数据 统计显示:三个电子元件的使用寿命(单位:小 时)均服从正态分布N(10 000,102),且各个元 件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随 机抽取1 000台检测该部件的工作情况(各部 件能否正常工作相互独立),那么这1 000台仪 器中该部件的使用寿命超过10 000小时的台 数的均值为 ( ) 元件1 元件2 元件3 A.600 B.420 C.375 D.270 6.下列说法错误的是 ( ) A.若随机变量X ~N(2,σ2),则P(X ≥2)= 1 2 B.若随机变量Y 服从两点分布,且E(Y)= 1 2 , 则D(2Y)=1 C.若随机变量Z的分布列为P(Z=i)= i+2 a , i=-1,0,1,2,则a=10 D.若随机变量T ~B8, 1 3 ,则T 的分布列中 最大的只有P(T=3) 二、多项选择题 7.若随机变量X ~B10, 1 2 ,记f(k)=P(X= k)为恰好发生k次(k∈{0,1,2,…,10})的概 率,下列说法正确的有 ( ) A.P(X >0.5)= 1 023 1 024 B.f(k)=f(10-k) C.∑ 10 i=0 (i·f(i))= 1 2 D.当k=5时,f(k)取得最大值 8.(2024·重庆高三上学期入学调研)若随机变量 X ~B9, 1 3 ,下列说法中正确的是 ( ) A.P(X=3)=C39× 2 3 3 × 1 3 6 B.期望E(X)=3 C.期望E(4X-1)=11 D.方差D(-2X+5)=8 9.下列说法正确的是 ( ) A.若随机变量X 的概率分布列为P(X=n)= an(n=1,2,3,4),则a= 1 10 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -426- 第九章 概率与统计 3 B.若随机变量X ~N(1,σ2),则P(X ≤0)= 0.4,则P(1≤X ≤2)=0.2 C.若随机变量X ~B10, 1 5 ,则D(X)=85 D.在含有4件次品的10件产品中,任取3件,X 表示取到的次品数,则P(X=1)= 1 2 三、填空题 10.一个盒子里有除颜色外其余完全相同的4个 球,其中有1个红球,1个绿球和2个黄球,每 次拿一个,记下颜色后放回,一共拿4次,设拿 出黄球的次数为ξ,则P(ξ=0)= . E(ξ)= . 11.(2023·湖北武汉武昌区开学摸底)有40件产 品,其中有10件次品,从中不放回地抽16件 产品,最可能抽到的次品数是 . 12.(2023·安徽部分学校开学摸底)已知某次考 试的数学成绩 X 服从正态分布N(100,σ2) (σ>0),且P(80<X <120)= 2 3 ,现从这次 考试随机抽取3位同学的数学成绩,则这3位 同学的数学成绩都在(100,120)内的概率为 . 四、解答题 13.已知一个盒子中有除颜色外其余完全相同的 5个球,其中2个红球,3个白球.现从盒子中 不放回地随机摸取3次,每次摸取1个球. (1)求第二次摸出的球是红球的概率; (2)求取得红球数X 的分布列和期望. 14.为了了解学生的运动情况,某中学对高中三 个年级的学生运动情况进行了比例分配的分 层随机抽样调查,调查的样本中高一年级有 70%的学生每周运动总时间超过5小时,高二 年级有65% 的学生每周运动总时间超过5小 时,高三年级有56% 的学生每周运动总时间 超过5小时,且三个年级的学生人数之比为 9∶6∶5,用样本的频率估计总体的概率. (1)从该校三个年级中随机抽取1名学生,估 计该学生每周运动总时间超过5小时的概率; (2)假设该校每名学生每周运动总时间为随 机变量X(单位:小时),且X ~N(5.5,σ2). 现从这三个年级中随机抽取5名学生,设这5 名学生中每周运动总时间为5至6小时的人 数为Y,求随机变量Y 的期望. 2 15.排球比赛实行“五局三胜制”,根据此前的若 干次比赛数据统计可知,在甲、乙两队的比赛 中,每场比赛甲队获胜的概率为2 3 ,乙队获胜 的概率为1 3 ,则在这场“五局三胜制”的排球 赛中乙队获胜的概率为 ( ) A.1481 B. 1 3 C.1781 D. 16 81 16.已知X ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X ≤μ+ σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈ 0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的 某项质量指标ξ(单位:毫米)服从正态分布 N(5.40,0.052),现从中随机抽取N 个,这N 个零件中恰有K 个的质量指标ξ 位于区间 (5.35,5.55).若K=45,试以使得P(K=45) 最大 的 N 值 作 为 N 的 估 计 值,则 N 为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -427-