课时作业66 事件的相互独立性与条件概率-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

参 考 答 案 A 与B 相互独立,故 A,D正确;因为 n(A ∩B)=10,所以A 与B 不互斥, 故 C 错 误;P(A ∪ B)= P(A)+ P(B)-P(AB)= 1 3 + 1 4 - 1 12= 1 2 ,故B正确.故选ABD. 8.ACD 按照发车的序号,列举样本点 如下:123,132,213,231,312,321,共6 种,方案一坐到“3号”车,包含的样本 点有:132,213,231,共3种,所以方案 一坐到“3号”车的概率P1= 3 6 = 1 2. 方案二坐到“3号”车,包含的样本点有 312,321,共2种,所 以 方 案 二 坐 到“3 号”车的概率P2= 2 6 = 1 3. 所以P1· P2 = 1 6 ,P1+P2 = 5 6 ,P1>P2,A, C,D正确,B错误.故选ACD. 9.BCD 由题意得Ω = {(1,1),(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2, 2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4, 1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5, 6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6)},包含36个样本点,由Δ= (a+ b)2-10(a+b)<0,得0<a+b< 10,所 以 A = {(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2, 3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4, 2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3)},共 包含30个样本点,B = {(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),(4,5),(4,6)},共包含6 个样本点,A 与B不互斥,故A错误;又 C = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2, 2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1), (4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(6, 1),(6,2),(6,3)},共 包 含18个 样 本 点,D = {(4,6),(5,5),(5,6),(6,4), (6,5),(6,6)},共包含6个样本点,所 以 A 与 D 对 立,故 B 正 确;因 为 P(BC)= 3 36= 1 12 ,P(B)= 6 36= 1 6 , P(C)= 18 36 = 1 2 ,所 以 P(BC)= P(B)P(C),故B 与C 相互独立,故C 正确;因 为 P(BD)= 1 36 ,P(D)= 6 36= 1 6 ,所以P(BD)=P(B)P(D), 故B 与 D 相 互 独 立,故 D 正 确.故 选BCD. 10.27 11.37 解析:10级台阶要用7步走完,则4步 是 上 一 级,3步 是 上 两 级,共 C37 = 7×6×5 3×2 = 35(种)走法,若第二步走 两级台阶,则其余6步中有两步是上 两级,共C26 = 6×5 2 =15 (种)走法, 所 以 第 二 步 走 两 级 台 阶 的 概 率 为 15 35= 3 7. 12.13 5 6 解析:从8人中选出日语、俄语和韩语 志愿者各1名,其一切可能的结果组 成的 样 本 空 间 Ω = {(A1,B1,C1), (A1,B1,C2), (A1,B2,C1), (A1, B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2), (A2,B1,C1), (A2,B1,C2), (A2, B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1), (A2,B3,C2), (A3,B1,C1), (A3, B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2), (A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}, 由18个样本点组成.由于每一个样本 点被抽取的机会均等,因此这些样本 点的发生是等可能的.用 M 表示“A1 被选中”这一事件,则M ={(A1,B1, C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1, B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}, 事件 M 由6个 样 本 点 组 成,因 而 P(M)= 6 18= 1 3. 用 N 表示“B1,C1 不全被选中”这一 事件,则其对立事件 N 表示“B1,C1 全被 选 中”这 一 事 件,由 于 N = {(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3, B1,C1) },事 件 N 由3个 样 本 点 组 成,所以,由 对 立 事 件 的 概 率 公 式 得 P(N)=1- 3 18= 5 6. 13.解:(1)估计男顾客对该商场服务满 意的概率为50 60= 5 6 ; 女顾客对该商场服务满意的概率为 50 80= 5 8. (2)估计顾客对该商场服务满意的概 率为50+50 60+80= 5 7. (3)2 100× 5 7 =1 500(人),所以约有 1 500人对该商场的服务满意. (4)由(1)知男顾客对该商场服务满 意的比例约为5 6 ≈0.833 ,女顾客对 该商 场 服 务 满 意 的 比 例 约 为 5 8 = 0.625, 因为这两个比例相差较大,所以可以 认为顾客对该商场的服务是否满意 与性别有关. 14.解:样本空间Ω = {(1,1),(1,2),(1, 3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2, 4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4, 1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样 本点. (1)记“获得飞机玩具”为事件A,事 件A 包含的样本点有(3,3),(3,4), (4,3),(4,4)共4个. 故每对亲子获得飞机玩具的概率为 P(A)= 4 16= 1 4. (2)记“获得汽车玩具”为事件B,记 “获得饮料”为事件C.事件B 包含的 样本点有(1,4),(2,2),(2,3),(2,4), (3,2),(4,1),(4,2)共7个.所 以 P(B)= 7 16 ,事件C 包含的样本点有 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)共 5个,所以P(C)= 5 16. 所以P(B)> P(C),即每对亲子获得汽车玩具的 概率大于获得饮料的概率. 15.②④ 解析:事 件 H = “选 择 一 门 文 科 学 科”,包含“选择政治学科”“选择历史 学 科”“选 择 地 理 学 科”,所 以 事 件 G = “选 择 政 治 学 科”,包 含 于 事 件 H,故事件G,H 可以同时发生,不是 互斥事件,故①不正确;事件F=“选 择一门理科学科”与事件 H = “选择 一门文科学科”,不能同时发生,且必 有一个事件发生,故F 和H 是互斥事 件也是对立事件,故 ② 正确;由题意 可知P(F)= 2 5 ,P(G)= 1 5 ,所以 P(F)+P(G)= 3 5 ≠1 ,故 ③ 不正 确;事件E = “选择生物学科”,与事 件H = “选择一门文科学科”,不能同 时发生,故E 和H 是互斥事件,所以 P(E ∪H)=P(E)+P(H),故 ④ 正确. 16.221 解析:不超过18的素数有:2,3,5,7, 11,13,17,共7个数,从上述7个数中 任意抽出两个不同的数,所有的样本 点有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2, 13),(2,17),(3,5),(3,7),(3,11), (3,13),(3,17),(5,7),(5,11),(5, 13),(5,17),(7,11),(7,13),(7,17), (11,13),(11,17),(13,17),共21个, 其中,事件“所抽取 的 两 个 数 之 和 等 于18”所包含的样本点有(5,13),(7, 11),共2个,故所求概率为P = 2 21. 课时作业66 事件的 相互独立性与条件概率 1.A 2.C 3.A 4.C 5.C 对于A,每项比赛至少一位同学参 加,则有C 2 4C12C11 A22 ·A33 =36(种)不同的 安排方法,事件 A = “甲参加跳 高 比 赛”,若跳高比赛安排2人,则有A33 = 6(种)方法;若跳高比赛安排1人,则有 C23C11A22 =6(种)方法,所以安排甲参 加跳高比赛的不同安排方法共有6+ 6=12(种),则P(A)= 12 36= 1 3 ,同理 P(B)= 12 36= 1 3 ,若安排甲、乙同时参 加跳高比赛,则跳高比赛安排2人为甲 和乙,跳远、投铅球比赛各安排1人,有 A22 =2(种)不 同 的 安 排 方 法,所 以 P(AB)= 2 36= 1 18 ,因 为 P(AB)≠ P(A)P(B),事件A 与B 不相互独立, 故A错误;对于B,在一次试验中,不可 能同时 发 生 的 两 个 事 件 称 为 互 斥 事 件,事件A 与C 可以同时发生,故事件 A 和C 不是互斥事件,故B错误;对于 C,在安排甲参加跳高比赛的同时安排 乙参加 跳 远 比 赛 的 不 同 安 排 方 法 有 C13+C12 =5(种),所以P(AC)= 5 36 , 所以P(C|A)= P(AC) P(A)= 5 36 1 3 = 5 12 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -639- hh 故 C 正 确; 对 于 D,P(B |A)= P(AB) P(A)= 1 18 1 3 = 1 6 ,故D错误.故选C. 6.D 设 公 司 男、女 员 工 的 人 数 分 别 为 2n 和n,则男员工 中,肥 胖 者 有2n× 3 100= 3n 50 (人),女 员 工 中,肥 胖 者 有 n× 2 100= n 50 (人),设“任选一名员工 为肥胖者”为事件A,“员工为男性”为 事 件 B,则 P(AB)= 3n 50 3n = 1 50 , P(A)= 3n 50+ n 50 3n = 2 75 ,则P(B|A)= P(AB) P(A)= 1 50 2 75 = 3 4. 故选D. 7.BCD 由题意,不放回地随机取两次, 共有6×5=30(种)情况,A = {(2, 1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1), (4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(6,1),(6, 2),(6,3),(6,4),(6,5)}共15个样本 点,B = {(2,1),(3,1),(4,1),(5,1), (6,1),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6, 3),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)} 共15个样本点,故P(B)= 15 30= 1 2 , 故C正确;显然A∩B≠⌀,事件A 与 B 不是互斥事件,故A错误;C = {(1, 3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,1),(3,5), (4,2),(4,6),(5,1),(5,3),(6,2),(6, 4)}共12个样本点,故P(C)= 12 30= 2 5 ,D = {(1,2),(1,4),(1,6),(2,1), (2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4, 1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6), (6,1),(6,3),(6,5)}共18个样本点, 所以C 与D 互为对立事件,故B正确; 事件BC = {(3,1),(5,1),(1,3),(5, 3),(1,5),(3,5)}共6个样本点,所以 P(BC)= 6 30= 1 5 =P (B)P(C),所 以B与C相互独立,故D正确.故选BCD. 8.BD 依题意A 与B 互相独立,P(B)= 0.4,P(B)= 0.6,P(AB)= P(A)· P(B)=P(A)·0.6=0.3,所以P(A)= 0.5,故 A 错 误;P(A)=0.5,所 以 P(AB)= P(A)·P(B)= 0.5× 0.4=0.2,故B正确;A 或B 发生的概 率为 1- P(AB)= 1- P(A)· P(B)=1-0.5×0.6=0.7,故C错 误;P(AB)=P(A)·P(B)=0.5× 0.4=0.2,故D正确.故选BD. 9.ABC 由题意可知,P(A1)= a a+b , P(A2)= b a+b ,P(B1)=P(A1B1)+ P(A2B1) = a a+b · a-1 a+b-1 + b a+b · a a+b-1= a a+b ,P(B2)= P(A1B2)+ P(A2B2) = a a+b · b a+b-1+ b a+b · b-1 a+b-1= b a+b , 从而P(B1)+P(B2)=1,故 A,C正 确;又因为P(B1|A1)= P(A1B1) P(A1) = a a+b · a-1 a+b-1 a a+b = a-1 a+b-1 ,P(B2| A1)= P(A1B2) P(A1) = a a+b · b a+b-1 a a+b = b a+b-1 ,故 P(B1|A1)+P(B2| A1)=1,故 B正 确;P(B1|A2)= P(A2B1) P(A2) = b a+b · a a+b-1 b a+b = a a+b-1 ,故P(B2|A1)+P(B1|A2)= b a+b-1+ a a+b-1= a+b a+b-1≠ 1,故D错误.故选ABC. 10.13 11. 1 2 12.0.527 5 解析:设B 表示“该小组比赛中射中 目标”,Ai(i=1,2,3,4)表示“选i级 射手参加比赛”,则P(B)= ∑ 4 i=1 P(Ai)P(B|Ai)= 2 20×0.85+ 6 20×0.64+ 9 20×0.45+ 3 20×0.32= 0.527 5. 13.解:设“第1次抽到舞蹈节目”为事件 A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B, 则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目” 为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取 2个,总的事件数n(Ω)=A26 =30. 根据分步乘法计数原理,有n(A)= A14A15 =20, 所以P(A)= n(A) n(Ω)= 20 30= 2 3. (2)因为n(AB)=A24 =12, 所以P(AB)= n(AB) n(Ω)= 12 30= 2 5. (3)解法1:由(1)(2),得在第1次抽到 舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈 节目的概率 P(B|A)= P(AB) P(A)= 2 5 2 3 = 3 5. 解法2:因为n(AB)=12,n(A)= 20,所以P(B|A)= n(AB) n(A)= 12 20= 3 5. 14.解:(1)因为事件 A,B,C 分别为A, B,C 三条生产线各自生产的汽车配 件是合格品,则事件 A,B,C 分别为 A,B,C 三条生产线各自生产的汽车 配件是非合格品,且 A,B,C 相互独 立,A,B,C 也相互独立. 由 P(AB)= 1 2 , P(BC)= 1 5 , P(AC)= 8 15 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 得 P(A)P(B)= 1 2 , (1-P(B))P(C)= 1 5 , P(A)P(C)= 8 15 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 P(A)= 2 3 ,P(B)= 3 4 ,P(C)= 4 5. (2)由(1)知,P(A)= 1 3 ,P(B)= 1 4 ,P(C)= 1 5 ,记事件E 为“抽取的 三个汽车配件中合格品为2个”,则 P(E)=P(ABC)+P(ABC)+ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+ P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)= 2 3 × 3 4× 1 5+ 2 3× 1 4× 4 5+ 1 3× 3 4 × 4 5 = 13 30. 15.AD 由题意知:要使甲赢得比赛,则 甲至少赢n+1局,P(n)= 1 2 2n · (Cn+12n +Cn+22n +…+C2n2n), ∵C02n + C12n + … + Cn-12n + Cn2n + Cn+12n + … + C2n2n = 22n,∴C02n + C12n +…+Cn-12n =Cn+12n +Cn+22n +…+ C2n-12n + C2n2n = 22n -Cn2n 2 ,∴P(n)= 1 22n ·2 2n -Cn2n 2 = 1 2 - Cn2n 22n+1 ,故C错 误;∴P(1)= 1 2- C12 23 = 1 4 ,故A正 确;P(3)= 1 2 - C36 27 = 11 32 ,故 B错 误;∵P(n)= 1 2 - Cn2n 22n+1 = 1 2 1- Cn2n 22n ,∴P(n+1)= 12 1-C n+1 2n+2 22n+2 , 又 ∵ Cn2n 22n Cn+12n+2 22n+2 = 4Cn2n Cn+12n+2 = 4× (2n)! n! n! (2n+2)! (n+1)! (n+1)! = 4(n+1)2 (2n+2)(2n+1) = 2(n+1) 2n+1 > 1,∴ Cn2n 22n > Cn+12n+2 22n+2 ,∴P(n)<P(n+ 1),即P(n)单调递增,故D正确.故 选AD. 16.AC 对于A,当先从甲罐中取出一红 球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一 球是红球的概率为 1 2 × 4 11= 2 11 ;当 先从甲罐中取出一白球放入乙罐,再 从乙罐 中 随 机 取 出 一 球 是 红 球 的 概 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -640- 参 考 答 案 率为 1 2 × 3 11 = 3 22 ;所 以 P(B)= 2 11+ 3 22= 7 22 ,故A正确;对于B,当 A1 发生时,乙罐中有4个红球,7个白 球,此 时 B 发 生 的 概 率 为 P(B | A1)= 4 11 ,故B错误;对于C,当A2发 生时,乙罐中有3个红球,8个白球,此 时B 发生的概率为P(B|A2)= 3 11 , 故P(B|A1)+P(B|A2)= 4 11+ 3 11= 7 11 ,故C正确;对于D,因为A1, A2 是对立事件,所以P(A1A2)=0, 故D错误.故选AC. 课时作业67 离散型随机 变量的分布列及其数字特征 1.A 2.A 3.A 4.A 5.C 由题意,得a+b+c+ 1 3 =1 ,所 以a+b+c = 2 3① ,因 为 E(X)= (-1)×a+0×b+1×c+2× 1 3 = 3 4 ,所以-a+c= 1 12②. 由P(X≥1)= c+ 1 3 = 7 12 ,得c= 1 4 ,代入①②解得 a= 1 6 ,b= 1 4. 所以D(X)= -1- 3 4 2 × 1 6 + 0- 3 4 2 × 1 4 + 1- 3 4 2 × 1 4+ 2- 3 4 2 × 1 3 = 19 16. 故选C. 6.A 由题意可得E(X)= -1×0.1+ 0×0.3+2×0.6=1.1,D(X)= (-1-1.1)2 ×0.1+ (0-1.1)2 × 0.3+ (2-1.1)2 ×0.6 = 1.29; E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3= 1.0,D(Y)= (0-1)2 ×0.3+ (1- 1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,故 E(X)>E(Y),D(X)>D(Y),即甲 产业收益的期望大,风险高.故选A. 7.ACD 由题意可知,0.36+1-2q+ q2 =1,解得q =0.2或q =1.8,当 q=1.8时,1-2q= -2.6,不符合题 意,舍 去,∴q = 0.2,故 A 正 确; E(X)=0×0.36+1×(1-2×0.2)+ 2×0.22 =0.6+0.08=0.68,故B不 正确;当 X =0,1,2时,X2 =0,1,4, E(X2)=0×0.36+1× (1-2× 0.2)+4×0.22=0.6+0.16=0.76, 故C 正 确;D(X)= (0-0.68)2 × 0.36+(1-0.68)2×(1-2×0.2)+ (2-0.68)2×0.22 =0.297 6,故D正 确.故选ACD. 8.AC 由题意可得X1 ~B 2, 2 5 ,则 E(X1)=2× 2 5 = 4 5 ,D(X1)=2× 2 5× 1- 2 5 =1225,由题意 X2 可取 0,1,2,则 P(X2 =0)= C23 C25 = 3 10 , P(X2 =1)= C12C13 C25 = 6 10 ,P(X2 = 2)= C22 C25 = 1 10 ,所以E(X2)=0× 3 10+ 1× 6 10+2× 1 10= 4 5 ,D(X2)= 3 10× 0- 4 5 2 + 6 10× 1- 4 5 2 + 1 10× 2- 4 5 2 = 9 25 , 所 以 E(X1)= E(X2),D(X1)>D(X2).故选AC. 9.ACD 对 于 A,因 为ξ ~ N(9,σ2), μ =9,正态密度曲线的对称轴为直线 x =9,根据对称性可知,P(ξ≤8)= P(ξ≥10)=0.2,P(8<ξ<10)= 1-2P(ξ≤8)=0.6,故A正确;对于 B,P(9<ξ<10)=0.5-0.2=0.3, P 9<ξ< 19 2 >P 192 <ξ<10 . 所以P 9<ξ< 19 2 >0.15,故B错 误;对 于C,X ~B(5,0.6),E(X)= np =5×0.6=3,故C正确;对于D, X ~ B(5,0.6),P(X =0)= C05 × (0.6)0×(0.4)5 =0.010 24,P(X ≥ 1)=1-P(X =0)=0.989 76>0.9, 故D正确.故选ACD. 10.4 11.0.49 12.44125 13.证明:(1)因为∑ n i=1 pi =1,E(X)= x1p1+x2p2+…+xnpn, 所以E(aX +b)= (ax1 +b)p1 + (ax2+b)p2+…+(axn +b)pn = (ax1p1+ax2p2 + … +axnpn)+ (bp1+bp2+…+bpn)=a(x1p1+ x2p2 + … + xnpn)+ b(p1 + p2+…+pn)=aE(X)+b. (2)D(X)= [x1 - E(X)]2p1 + [x2 - E(X)]2p2 + … + [xn - E(X)]2pn = [x21 - 2x1E(X)+ E2(X)]p1 + [x22 - 2x2E(X)+ E2(X)]p2+…+[x2n-2xnE(X)+ E2(X)]pn = (x21p1+x22p2+…+ x2npn)-[2E(X)x1p1+2E(X)x2p2+ … +2E(X)xnpn]+E2(X)(p1 + p2 + … + pn) = ∑ n i=1 x2ipi - 2E(X)(x1p1+x2p2+…+xnpn)+ E2(X)= ∑ n i=1 x2ipi - 2E2(X)+ E2(X)=∑ n i=1 x2ipi -E2(X). 14.解:(1)设 X 为甲正确完成面试题的 数量, Y 为乙正确完成面试题的数量, 由题意 可 得 X 的 可 能 取 值 为0,1, 2,3, 所以P(X =0)= C33 C37 = 1 35 ,P(X = 1)= C23C14 C37 = 12 35 ,P(X = 2)= C13C24 C37 = 18 35 ,P(X =3)= C34 C37 = 4 35 , 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 135 12 35 18 35 4 35 由题意随机变量Y 的可能值为0,1, 2,3,可得Y ~B 3, 4 7 , 所以 P(Y =0)= C03 1- 4 7 3 = 27 343 ,P(Y = 1)= C13 × 4 7 1 - 4 7 2 = 108 343 , P(Y =2)= C23 × 4 7 2 × 1- 4 7 =144343,P(Y=3)=C33 47 3 = 64 343 ,所以Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 P 27343 108 343 144 343 64 343 (2)由(1)可得, E(X)=0× 1 35+1× 12 35+2× 18 35+ 3× 4 35= 12 7 , E(Y)=np =3× 4 7 = 12 7 , D(X)= 0- 12 7 2 × 1 35+ 1- 12 7 2 × 12 35+ 2- 12 7 2 × 18 35+ 3- 12 7 2 × 4 35 = 24 49 ,D(Y)=np(1- p)=3× 4 7 × 3 7 = 36 49 , 因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 所以甲发挥的稳定性更强,则甲通过 面试的概率较大. 15.AC 对于 A,若n =1,则p1 =1, ∴H(X)= -p1log2p1 = -log21= 0,A正确.对于B,H(X)= - ∑ 2 i=1 pilog2pi = - (p1log2p1 + p2log2p2),当p1 = 1 4 时,H(X)= - 1 4log2 1 4+ 3 4log2 3 4 ;当p1 = 3 4 时,H(X)= - 34log2 34 + 1 4log2 1 4 ,由此可得,当p1 = 14 与 p1= 3 4 时,信息熵相等,B不正确.对 于C,若pi = 1 n ,则 H(X)= -∑ n i=1 pilog2pi = - 1nlog2 1n +…+ 1 nlog2 1 n = n ×log2nn =log2n, ∴H(X)随着n 的增大而增大,C正 确.对于D,若n=2m,随机变量Y 的 可能取值为1,2,…,m,由P(Y =j)= pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),知P(Y= 1)=p1 +p2m ,P(Y =2)=p2 + p2m-1,P(Y =3)=p3 +p2m-2,…, P(Y = m)=pm +pm+1,∴H(Y)= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -641- hh 课时作业66 事件的相互独立性与条件概率 - 一、单项选择题 1.打靶时,甲命中目标的概率为0.8,乙命不中目 标的概率为0.3.若两人同时射击,则他们同时 命中目标的概率为 ( ) A.1425 B. 12 25 C. 6 25 D. 3 5 2.(2023·黑龙江齐齐哈尔第八中学模拟)若 P(AB)= 1 9 ,P(A)= 2 3 ,P(B)= 1 3 ,则事件A 与B 的关系是 ( ) A.事件A 与B 互斥 B.事件A 与B 对立 C.事件A 与B 相互独立 D.事件A 与B 既互斥又相互独立 3.甲、乙两人参加歌唱比赛,晋级概率分别为45 和3 5 ,且两人是否晋级相互独立,则两人中恰有 一人晋级的概率为 ( ) A.1125 B. 3 5 C. 2 5 D. 23 25 4.(2023·江西芦溪中学高三开学考试)有10件 产品,其中4件是正品,其余都是次品,现不放 回地从中依次抽2件,则在第一次抽到次品的 条件下,第二次抽到次品的概率是 ( ) A.13 B. 2 5 C. 5 9 D. 2 3 5.现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、 跳远、投铅球比赛,要求每位同学参加一项比 赛,每项比赛至少一位同学参加,事件A=“甲 参加跳高比赛”,事件B=“乙参加跳高比赛”, 事件C=“乙参加跳远比赛”,则 ( ) A.事件A 与B 相互独立 B.事件A 与C 为互斥事件 C.P(C|A)= 5 12 D.P(B|A)= 1 9 6.(2023·福建泉州高三质量监测)目前,国际上 常用身体质量指数BMI= 体重(单位:kg) 身高2(单位:m2) 来 衡量人体胖瘦程度以及是否健康.某公司对员 工的BMI值调查结果显示,男员工中,肥胖者 的占比为 3 100 ;女员工中,肥胖者的占比为 2 100 , 已知公司男、女员工的人数比例为2∶1,若从该 公司中任选一名肥胖的员工,则该员工为男性 的概率为 ( ) A.3100 B. 9 200 C. 3 5 D. 3 4 二、多项选择题 7.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6, 从中不放回地随机取两次,每次取1个球,事件 A 表示“第一次取出的球的数字是偶数”,事件 B 表示“第二次取出的球的数字是奇数”,事件 C 表示“两次取出的球的数字之和是偶数”,事 件D 表示“两次取出的球的数字之和是奇数”, 则 ( ) A.A 与B 是互斥事件 B.C 与D 互为对立事件 C.B 发生的概率为12 D.B 与C 相互独立 8.(2023·河北邢台高三开学考试)随机事件A 与B 互相独立,且B 发生的概率为0.4,A 发生 且B 不发生的概率为0.3,则 ( ) A.A 发生的概率为0.6 B.B 发生且A 不发生的概率为0.2 C.A 或B 发生的概率为0.9 D.A 与B 同时发生的概率为0.2 9.(2023·山东济南模拟)从装有a个红球和b个 蓝球的袋中(a,b均不小于2),每次不放回地随 机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为 A1,“第一次摸球时摸到蓝球”为A2;“第二次 摸球时摸到红球”为B1,“第二次摸球时摸到 蓝球”为B2,则下列说法正确的是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -422- 第九章 概率与统计 3 A.P(B1)= a a+b B.P(B1|A1)+P(B2|A1)=1 C.P(B1)+P(B2)=1 D.P(B2|A1)+P(B1|A2)=1 三、填空题 10.从1,2,3,4,5,6,7中任取两个不同的数,事件 A 为“取到的两个数的和为偶数”,事件B 为“取 到的 两 个 数 均 为 偶 数”,则 P(B |A)= . 11.已知事件 A,B 相互独立,且 P(A)= 1 3 , P(B)= 1 4 ,则P(AB)= . 12.某小组有20名射手,其中一、二、三、四级射手 分别有2,6,9,3名.又若选一、二、三、四级射 手参加比赛,则在比赛中射中目标的概率分 别为0.85,0.64,0.45,0.32,今随机选一人参 加比赛,则该小组比赛中射中目标的概率为 . 四、解答题 13.现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节 目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2 个节目,求: (1)第1次抽到舞蹈节目的概率; (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率; (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次 抽到舞蹈节目的概率. 14.(2023·山东泰安模拟)某工厂有A,B,C 三 条生产线各自独立地生产同一种汽车配件, 已知A 生产线生产的汽车配件是合格品且B 生产线生产的汽车配件是合格品的概率为1 2 , B 生产线生产的汽车配件是非合格品且C 生 产线生产的汽车配件是合格品的概率为1 5 ,A 生产线生产的汽车配件是合格品且C 生产线 生产的汽车配件是合格品的概率为8 15 ,记事 件A,B,C 分别为A,B,C 三条生产线各自生 产的汽车配件是合格品. (1)求事件A,B,C 的概率; (2)随机从A,B,C 三条生产线上各取1个汽 车配件进行检验,求恰有2个合格品的概率. 2 15.(多选题)甲、乙两人进行2n(n∈N*)局羽毛 球比赛(无平局),每局甲获胜的概率均为1 2. 规定:比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛, 记甲赢得比赛的概率为P(n),假设每局比赛 互不影响,则 ( ) A.P(1)= 1 4 B.P (3)= 11 16 C.P(n)=1- Cn2n 22n D.P(n)单调递增 16.(多选题)已知甲罐中有5个红球,5个白球, 乙罐中有3个红球,7个白球.先从甲罐中随机 取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一 球,用 A1 表示事件“从甲罐取出的球是红 球”,A2 表示事件“从甲罐中取出的球是白 球”,B表示事件“从乙罐取出的球是红球”,则 下列结论正确的是 ( ) A.P(B)= 7 22 B.P(B|A1)= 7 11 C.P(B|A1)+P(B|A2)= 7 11 D.P(A1A2)= 1 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -423-