课时作业65 随机事件的概率、古典概型-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

参 考 答 案 A 与B 相互独立,故 A,D正确;因为 n(A ∩B)=10,所以A 与B 不互斥, 故 C 错 误;P(A ∪ B)= P(A)+ P(B)-P(AB)= 1 3 + 1 4 - 1 12= 1 2 ,故B正确.故选ABD. 8.ACD 按照发车的序号,列举样本点 如下:123,132,213,231,312,321,共6 种,方案一坐到“3号”车,包含的样本 点有:132,213,231,共3种,所以方案 一坐到“3号”车的概率P1= 3 6 = 1 2. 方案二坐到“3号”车,包含的样本点有 312,321,共2种,所 以 方 案 二 坐 到“3 号”车的概率P2= 2 6 = 1 3. 所以P1· P2 = 1 6 ,P1+P2 = 5 6 ,P1>P2,A, C,D正确,B错误.故选ACD. 9.BCD 由题意得Ω = {(1,1),(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2, 2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4, 1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5, 6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6)},包含36个样本点,由Δ= (a+ b)2-10(a+b)<0,得0<a+b< 10,所 以 A = {(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2, 3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4, 2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3)},共 包含30个样本点,B = {(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),(4,5),(4,6)},共包含6 个样本点,A 与B不互斥,故A错误;又 C = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2, 2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1), (4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(6, 1),(6,2),(6,3)},共 包 含18个 样 本 点,D = {(4,6),(5,5),(5,6),(6,4), (6,5),(6,6)},共包含6个样本点,所 以 A 与 D 对 立,故 B 正 确;因 为 P(BC)= 3 36= 1 12 ,P(B)= 6 36= 1 6 , P(C)= 18 36 = 1 2 ,所 以 P(BC)= P(B)P(C),故B 与C 相互独立,故C 正确;因 为 P(BD)= 1 36 ,P(D)= 6 36= 1 6 ,所以P(BD)=P(B)P(D), 故B 与 D 相 互 独 立,故 D 正 确.故 选BCD. 10.27 11.37 解析:10级台阶要用7步走完,则4步 是 上 一 级,3步 是 上 两 级,共 C37 = 7×6×5 3×2 = 35(种)走法,若第二步走 两级台阶,则其余6步中有两步是上 两级,共C26 = 6×5 2 =15 (种)走法, 所 以 第 二 步 走 两 级 台 阶 的 概 率 为 15 35= 3 7. 12.13 5 6 解析:从8人中选出日语、俄语和韩语 志愿者各1名,其一切可能的结果组 成的 样 本 空 间 Ω = {(A1,B1,C1), (A1,B1,C2), (A1,B2,C1), (A1, B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2), (A2,B1,C1), (A2,B1,C2), (A2, B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1), (A2,B3,C2), (A3,B1,C1), (A3, B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2), (A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}, 由18个样本点组成.由于每一个样本 点被抽取的机会均等,因此这些样本 点的发生是等可能的.用 M 表示“A1 被选中”这一事件,则M ={(A1,B1, C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1, B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}, 事件 M 由6个 样 本 点 组 成,因 而 P(M)= 6 18= 1 3. 用 N 表示“B1,C1 不全被选中”这一 事件,则其对立事件 N 表示“B1,C1 全被 选 中”这 一 事 件,由 于 N = {(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3, B1,C1) },事 件 N 由3个 样 本 点 组 成,所以,由 对 立 事 件 的 概 率 公 式 得 P(N)=1- 3 18= 5 6. 13.解:(1)估计男顾客对该商场服务满 意的概率为50 60= 5 6 ; 女顾客对该商场服务满意的概率为 50 80= 5 8. (2)估计顾客对该商场服务满意的概 率为50+50 60+80= 5 7. (3)2 100× 5 7 =1 500(人),所以约有 1 500人对该商场的服务满意. (4)由(1)知男顾客对该商场服务满 意的比例约为5 6 ≈0.833 ,女顾客对 该商 场 服 务 满 意 的 比 例 约 为 5 8 = 0.625, 因为这两个比例相差较大,所以可以 认为顾客对该商场的服务是否满意 与性别有关. 14.解:样本空间Ω = {(1,1),(1,2),(1, 3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2, 4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4, 1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样 本点. (1)记“获得飞机玩具”为事件A,事 件A 包含的样本点有(3,3),(3,4), (4,3),(4,4)共4个. 故每对亲子获得飞机玩具的概率为 P(A)= 4 16= 1 4. (2)记“获得汽车玩具”为事件B,记 “获得饮料”为事件C.事件B 包含的 样本点有(1,4),(2,2),(2,3),(2,4), (3,2),(4,1),(4,2)共7个.所 以 P(B)= 7 16 ,事件C 包含的样本点有 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)共 5个,所以P(C)= 5 16. 所以P(B)> P(C),即每对亲子获得汽车玩具的 概率大于获得饮料的概率. 15.②④ 解析:事 件 H = “选 择 一 门 文 科 学 科”,包含“选择政治学科”“选择历史 学 科”“选 择 地 理 学 科”,所 以 事 件 G = “选 择 政 治 学 科”,包 含 于 事 件 H,故事件G,H 可以同时发生,不是 互斥事件,故①不正确;事件F=“选 择一门理科学科”与事件 H = “选择 一门文科学科”,不能同时发生,且必 有一个事件发生,故F 和H 是互斥事 件也是对立事件,故 ② 正确;由题意 可知P(F)= 2 5 ,P(G)= 1 5 ,所以 P(F)+P(G)= 3 5 ≠1 ,故 ③ 不正 确;事件E = “选择生物学科”,与事 件H = “选择一门文科学科”,不能同 时发生,故E 和H 是互斥事件,所以 P(E ∪H)=P(E)+P(H),故 ④ 正确. 16.221 解析:不超过18的素数有:2,3,5,7, 11,13,17,共7个数,从上述7个数中 任意抽出两个不同的数,所有的样本 点有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2, 13),(2,17),(3,5),(3,7),(3,11), (3,13),(3,17),(5,7),(5,11),(5, 13),(5,17),(7,11),(7,13),(7,17), (11,13),(11,17),(13,17),共21个, 其中,事件“所抽取 的 两 个 数 之 和 等 于18”所包含的样本点有(5,13),(7, 11),共2个,故所求概率为P = 2 21. 课时作业66 事件的 相互独立性与条件概率 1.A 2.C 3.A 4.C 5.C 对于A,每项比赛至少一位同学参 加,则有C 2 4C12C11 A22 ·A33 =36(种)不同的 安排方法,事件 A = “甲参加跳 高 比 赛”,若跳高比赛安排2人,则有A33 = 6(种)方法;若跳高比赛安排1人,则有 C23C11A22 =6(种)方法,所以安排甲参 加跳高比赛的不同安排方法共有6+ 6=12(种),则P(A)= 12 36= 1 3 ,同理 P(B)= 12 36= 1 3 ,若安排甲、乙同时参 加跳高比赛,则跳高比赛安排2人为甲 和乙,跳远、投铅球比赛各安排1人,有 A22 =2(种)不 同 的 安 排 方 法,所 以 P(AB)= 2 36= 1 18 ,因 为 P(AB)≠ P(A)P(B),事件A 与B 不相互独立, 故A错误;对于B,在一次试验中,不可 能同时 发 生 的 两 个 事 件 称 为 互 斥 事 件,事件A 与C 可以同时发生,故事件 A 和C 不是互斥事件,故B错误;对于 C,在安排甲参加跳高比赛的同时安排 乙参加 跳 远 比 赛 的 不 同 安 排 方 法 有 C13+C12 =5(种),所以P(AC)= 5 36 , 所以P(C|A)= P(AC) P(A)= 5 36 1 3 = 5 12 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -639- 第九章 概率与统计 3 课时作业65 随机事件的概率、古典概型 - 一、单项选择题 1.下列说法正确的是 ( ) A.随着试验次数的增大,随机事件发生的频率 会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B.某种福利彩票的中奖概率为 11 000 ,买1 000 张这种彩票一定能中奖 C.连续100次掷一枚硬币,结果出现了49次反 面,则掷一枚硬币出现反面的概率为49 100 D.某市气象台预报“明天本市降水概率为 70%”,指的是:该市气象台专家中,有70% 认为明天会降水,30% 认为明天不会降水 2.掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或3” 为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B,则 ( ) A.A ∪B 表示向上的点数是1或3或5 B.A=B C.A ∪B 表示向上的点数是1或3 D.A ∩B 表示向上的点数是1或5 3.某次考试共有8道单选题,某学生对其中7道 题有思路,1道题完全没有思路,有思路的题目 每道做对的概率为0.6,没有思路的题目,只好 任意猜一个答案,猜对的概率为0.25.若从这8 道题中任选2道,则这个学生2道题全做对的 概率为 ( ) A.0.27 B.0.037 5 C.0.307 5 D.0.317 5 4.(2023·福建泉州第五中学摸底)某小区需要从 甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责 该小区的宣传工作,则甲被抽中的概率是 ( ) A.12 B. 1 4 C.34 D. 5 12 5.某射击选手积极备战某运动会,在一次训练中共 射了72支箭,下表是命中环数的部分统计信息: 环数 <7 7 8 9 10 频数 0 3 a b 22 已知该次训练的平均环数为9.125环,据此水 平,正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈(不 小于9环)的概率约为 ( ) A.0.31 B.0.65 C.0.86 D.1 6.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个 球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与都是红球 C.恰有一个黑球与恰有两个黑球 D.至少有一个黑球与至少有一个红球 二、多项选择题 7.如图,这是一个古典概型的样本空间Ω 和事件 A,B,其中n(Ω)=120,n(A)=40,n(B)=30, n(A ∩B)=10,则 ( ) A.P(AB)= 1 12 B.P(A ∪B)= 1 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -419- hh C.A 与B 互斥 D.A 与B 相互独立 8.某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3 号”的三辆车,等可能的随机顺序前往酒店接 嘉宾,某嘉宾突发奇想,设计了两种乘车方案. 方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序 号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则 乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记 方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为 P1,P2,则 ( ) A.P1·P2= 1 6 B.P1=P2= 1 2 C.P1+P2= 5 6 D.P1>P2 9.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子,用a 表示 黄色骰子朝上的点数,用b表示白色骰子朝上 的点数,用(a,b)表示一次试验的结果,该试验 的样本空间为Ω,记事件A=“关于x 的方程 x2-(a+b)x+ 5 2 (a+b)=0无实根”,事件 B=“a=4”,事件C=“b<4”,事件D=“ab> 20”,则 ( ) A.A 与B 互斥 B.A 与D 对立 C.B 与C 相互独立 D.B 与D 相互独立 三、填空题 10.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节 的重要依据,北斗七星分别为天枢、天璇、天 玑、天权、玉衡、开阳、摇光,其中玉衡最亮,天 权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选 三颗进行观测,则玉衡和天权都未被选中的 概率为 . 11.某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼 可以一步上一级,也可以一步上两级,某同学 从二楼到三楼准备用7步走完,则第二步走两 级台阶的概率为 . 12.(2023·湖南长沙雅礼中学考试)现有8名奥 运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3 通晓日 语,B1,B2,B3 通晓俄语,C1,C2 通晓韩语.从 中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1 名,组成一个小组.则 A1 被选中的概率为 ;B1 和 C1 不 全 被 选 中 的 概 率 为 . 四、解答题 13.某商场为提高服务质量,用简单随机抽样的 方法从该商场调查了60名男顾客和80名女 顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或 不满意的评价,结果如表所示. 满意 不满意 男顾客 50 10 女顾客 50 30 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的 概率; (2)估计顾客对该商场服务满意的概率; (3)若该商场一天有2 100名顾客,大约有多 少人对该商场的服务满意? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -420- 第九章 概率与统计 3 (4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的 服务是否满意与性别有关? 并说明理由. 14.(2023·江苏南京六校联考)在某亲子游戏结 束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面 共有4个小球,小球上分别写有1,2,3,4的数 字,小球除数字外其他完全相同,每对亲子 中,家长先从盒子中取出一个小球,记下数字 后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小 球,记下小球上数字将小球放回.① 若取出的 两个小球上数字之积大于8,则奖励飞机玩具 一个;② 若取出的两个小球上数字之积在区 间[4,8]上,则奖励汽车玩具一个;③ 若取出 的两个小球上数字之积小于4,则奖励饮料 一瓶. (1)求每对亲子获得飞机玩具的概率; (2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮 料的概率,哪个更大? 请说明理由. 2 15.据浙江省新高考规则,每名同学在高一学期 结束后,需要从七门选考科目中选择其中三 门作为高考选考科目.某同学已经选择了物 理、化学两门学科,还需要从生物、技术这两 门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学 科共五门学科中再选择一门,设事件E=“选 择生物学科”,F=“选择一门理科学科”,G= “选择政治学科”,H =“选择一门文科学科”, 现给出以下四个结论: ①G 和H 是互斥事件但不是对立事件; ②F 和H 是互斥事件也是对立事件; ③P(F)+P(G)=1; ④P(E ∪H)=P(E)+P(H). 其中,正确结论的序号是 .(请把你 认为正确结论的序号都写上) 16.哥德巴赫猜想的部分内容如下:任一大于2的 偶数可以表示为两个素数(素数是在大于1的 自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因 数的自然数)之和,如10=3+7.不超过18的 素数中,随机选取两个不同的数,其和等于18 的概率是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -421-