课时作业25 三角恒等变换-(课时作业)【红对勾讲与练】2025年高考数学大一轮复习全新方案(能力版)

hh 课时作业25 三角恒等变换 - 一、单项选择题 1.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°= ( ) A.62 B. 3 2 C.54 D.1+ 3 4 2.(2024·九省联考)已知θ∈ 3π 4 ,π ,tan 2θ= -4tanθ+ π 4 ,则 1+sin 2θ 2cos2θ+sin 2θ= ( ) A.14 B. 3 4 C.1 D.32 3.已知cos(α -β)= 1 3 ,tan αtan β = 1 3 ,则 cos(2α+2β)= ( ) A.1718 B. 7 9 C.- 17 18 D.- 7 9 4.(2024·江苏徐州摸底测试)已知sinα+ π 3 + sin α= 3 3 ,则sin2α- π 6 = ( ) A.13 B.- 1 3 C.- 7 9 D. 7 9 5.(2024·湖北武汉外国语学校开学测试)设a= cos212°-sin212°,b= 2tan 12° 1-tan212° ,c= 1-cos 48° 2 ,则有 ( ) A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c 6.设tan α,tan β是方程x2+33x+4=0的两 实根,且α,β∈ - π 2 ,π 2 ,则α+β= ( ) A.π3 B.- 2π 3 C.π3 或- 2π 3 D. 2π 3 二、多项选择题 7.下列各式中,值为 3的是 ( ) A.2cos2 π12-2sin 2 π 12B. 1+tan 15° 1-tan 15° C.3cos 15°-sin 15°D.43sin 15°sin 75° 8.已知tan α=2tan β,则 ( ) A.若sin αcos β= 2 5 ,则sin(α-β)= 1 5 B.若sin αcos β= 2 5 ,则cos(2α+2β)=- 7 25 C.若α,β ∈ 0, π 2 ,则tan(α -β)的最大 值为 2 4 D.存在α,β∈ 0, π 2 ,使得α=2β 9.《周髀算经》中给出了弦图,所 谓弦图是由四个全等的直角三 角形和中间一个小正方形拼成 一个大的正方形,若图中直角 三角形两锐角分别为α,β,其中小正方形的面 积为4,大正方形面积为9,则下列说法正确 的是 ( ) A.每一个直角三角形的面积为54 B.3sin β-3cos α=2 C.3sin β-3sin α=2 D.cos(α-β)= 5 9 三、填空题 10.(2023·黑龙江哈尔滨师大附中月考)4cos 50°- tan 40°= . 11.已知cosα+ π 8 = 210,α为锐角,则cos 2α- π 4 = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -338- 第四章 三角函数、解三角形 3 四、解答题 12.在 ①sinα2cos α 2 = 2 7 3 ;②cos2 α2 = 4 7 ; ③ tanα2 1-tan2 α 2 =23,三个条件中任选一个, 补充在下面问题中,并对其求解. 问题:若锐角α满足 ,求sin(π+α)- cos(2π-α)的值. 13.已知2sin α=2sin2 α 2-1. (1)求sin αcos α+cos 2α 的值; (2)已知α∈ (0,π),β∈ 0, π 2 ,且tan2β- 6tan β=1,求α+2β 的值. 2 14.(2023·黑龙江哈尔滨第三中学检验)已知 2cos(α-β)+cos(α+β)= sin α sin β ,其中α,β均 为锐角,则tan(α-β)的最大值为 ( ) A.13 B. 2 3 C.33 D. 23 3 15.已知tan γ= sin α+sin β cos α+cos β . (1)若α+β= π 6 ,求tan γ; (2)若α,β,γ 都为锐角,求 cos αcos β+cos βcos γ+cos αcos γ cos2γ 的 最 大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -339- 参 考 答 案 12.59 解析:因 为cos2α >0,所 以 原 式 = 1 9cos2α - 1 9 +cos2α≥ 2 1 9cos2α ·cos2α - 1 9 = 5 9. 当且 仅当 1 9cos2α =cos2α⇒cos α = ± 3 3 时,取等号. 13.解:(1)角α 以Ox 为始边,它的终边 与 单 位 圆 交 于 第 二 象 限 内 的 点 P(m,n), 若n= 12 13 , 则m = - 1- 12 13 2 = - 5 13 , 则tan α = n m = - 12 5 , 则 2sin (π+α)+cos α cos π2 +α +2cos α = -2sin α+cos α -sin α+2cos α= 1-2tan α 2-tan α = 29 22. (2)由题意sin α>0,cos α<0, 又sin α+cos α = 1 5① , 两边平方,可得1+2sin αcos α= 1 25 , 可得2sin αcos α= - 24 25 ,可得sin α- cos α = (sin α-cos α)2 = 1-2sin αcos α = 1- - 24 25 = 7 5② ,联立 ①②,可得sin α = 4 5 , cos α = - 3 5 , 所以点P 的坐标为 - 3 5 ,4 5 . 14.解:(1)由诱导公式, sin α-2cos(-α) -3sin(-α)+5cos α = -6 ⇒ sin α-2cos α 3sin α+5cos α = -6 , 又tan α = sin α cos α ,则 tan α-2 3tan α+5 = -6⇒tan α = - 28 19. (2)因为sin x+cos x = 1 6 , 则sin2x +cos2x +2sin xcos x = 1 36⇒sin xcos x = - 35 72 , 即sin x,cos x 一正一负,又 -π< x <0,则cos x >0>sin x, 即sin x -cos x <0.又(sin x - cos x)2 =1-2sin xcos x = 71 36 , 则sin x-cos x = - 71 6 . 15.2425 解析:由题意知,r= (2a+1)2+(a-2)2 = 5(a2+1),cos α = 2a+1 5(a2+1) = - 3 5 ,所以9(a2+1)=5(2a+1)2, 化简 得11a2 +20a -4=0,解 得 a= -2或a= 2 11 ,又因为2a+1< 0,即a<- 1 2 ,所以a= -2,所以角 α 的 终 边 经 过 点 (-3,-4),所 以 sin α = - 4 5 ,所 以 sin(2 023π- 2α)=sin 2α =2sin αcos α =2× - 4 5 × - 35 =2425. 16.- 7 25 解析:如图所示,在 直 角 三 角 形 ABC 中,BC=1,AD = 1 5 ,∠ACB = θ, 则 AB = sin θ, AC =cos θ,所以 CD =AB =sin θ,又AC2+AB2 = BC2,所以 1 5 +sin θ=cos θ, 1 5 +sin θ 2 +sin2θ=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 sin θ= 3 5 , cos θ= 4 5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以sin 2θ -cos2θ = 3 5 2 - 4 5 2 = - 7 25. 课时作业25 三角恒等变换 1.C 2.A 3.C 4.C 5.A 由题意可得a=cos212°-sin212°= cos 24°>cos 30°= 3 2 ,b= 2tan 12° 1-tan212° = tan 24°<tan 30°= 3 3 ,c= 1-cos 48° 2 = 1-(1-2sin224°) 2 = sin 24°<sin 30°= 1 2 ,则可得b<a, c<a,又 因 为0<cos 24°<1,则 sin 24°= sin 24° 1 < sin 24° cos 24°=tan 24°, 即c<b,所以c<b<a.故选A. 6.B 因 为tan α,tan β 是 方 程x2 + 33x+4=0的两实根,所以tan α+ tan β= -33,tan αtan β =4,所以 tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β = 3, tan α<0,tan β<0,又α,β∈ - π2, π 2 ,所以α,β∈ -π2,0 ,所以α+ β∈(-π,0),所以α+β=- 2π 3. 故选B. 7.ABD 对于A,2cos2 π12-2sin 2 π 12= 2cos2× π 12 =2cosπ6 = 3,故A符 合 题 意; 对 于 B,1+tan 15° 1-tan 15° = tan 45°+tan 15° 1-tan 45°tan 15°=tan (45°+15°)= 3,故B符合题意;对于C,3cos 15°- sin 15°=2 3 2cos 15°- 1 2sin 15° = 2(cos 30°cos 15°-sin 30°sin 15°)= 2cos(30°+15°)= 2,故C不符合题 意; 对 于 D,4 3sin 15°sin 75° = 43sin 15°cos 15°=23sin 30°= 3, 故D符合题意.故选ABD. 8.AC tan α =2tan β⇒ sin α cos α =2 · sin β cos β ⇒sin αcos β =2cos αsin β,又 sin αcos β = 2 5 ,所 以cos αsin β = 1 5⇒sin (α-β)= 2 5- 1 5 = 1 5 ,故A 正 确;sin(α +β)= sin αcos β + cos αsin β= 3 5 ,cos(2α+2β)=1- 2sin2(α+β)= 7 25 ,故B错误;tan(α- β)= tan α-tan β 1+tan αtan β = tan β 1+2tan2β = 1 1 tan β +2tan β ≤ 2 4 ,当且仅当tan β = 2 2 ,tan α= 2时取“=”,故C正确;若 α=2β,则tan α =tan 2β⇒2tan β = 2tan β 1-tan2β ,在 0,π2 上无解,故D错 误.故选AC. 9.ACD 由题可知,每一 个 直角三角形的面积为(9- 4)× 1 4 = 5 4 ,故A正确; 如图,设直角三角形的两直 角边分别为a,b 则12ab= 5 4 ,a2+b2=9,显然a≠b,因为sin β= b 3 ,cos α= b 3 ,所以3sin β-3cos α= 0,故B错 误;因 为sin α = a 3 ,所 以 3sin β-3sin α=b-a,由 1 2ab= 5 4 , a2+b2 =9,得ab = 5 2 ,b-a = (b-a)2 = a2+b2-2ab = 9-5=2,所以3sin β-3sin α = b-a=2,故C正确;因为sin β= b 3 , cos α= b 3 ,sin α= a 3 ,cos β= a 3 ,所 以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= 2ab 9 = 5 9 ,故D正确.故选ACD. 10.3 11.725 12.解:选择条件 ①: 由条件①,得2sinα2cos α 2 = 43 7 ,所 以sin α = 43 7 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -585- hh 由sin2α+cos2α=1,得cos2α= 1 49 , 因为α 是锐角,所以cos α>0,所以 cos α = 1 7 , 所以sin(π+α)-cos(2π-α)= -sin α-cos α = - 1+43 7 ; 选择条件 ②: 因为cos2α2 = 1+cos α 2 = 4 7 ,所以 cos α = 1 7 , 由sin2α+cos2α=1,得sin2α= 48 49 , 因为α 是锐角,所以sin α >0,所以 sin α = 43 7 , 所以sin(π+α)-cos(2π-α)= -sin α-cos α = - 1+43 7 ; 选择条件 ③: 由条件 ③,得 2tanα2 1-tan2 α 2 =43,所 以tan α =43,所以 sin α cos α =43. 由sin2α+cos2α=1,得sin2α= 48 49 , cos2α = 1 49 ,因 为α 是 锐 角, 所 以 sin α>0,cos α>0, 所以sin α = 43 7 ,cos α = 1 7. 所以sin(π+α)-cos(2π-α)= -sin α-cos α = - 1+43 7 . 13.解:(1)由已知得2sin α = -cos α, 所以 tan α = - 1 2 ,sin αcos α + cos 2α= sin αcos α+cos2α-sin2α sin2α+cos2α = tan α+1-tan2α tan2α+1 = 1 5. (2)由 tan2β -6tan β = 1,可 得 tan 2β = 2tan β 1-tan2β = - 1 3 , 则 tan(α +2β)= tan α+tan 2β 1-tan αtan 2β = - 1 2 - 1 3 1- - 1 2 × - 13 = -1. 因为β∈ 0, π 2 ,所以2β∈(0,π), 又tan 2β= - 1 3 >- 3 3 , 则2β∈ 5π 6 ,π , 因为α ∈ (0,π),tan α = - 1 2 > - 3 3 ,则α ∈ 5π 6 ,π ,则α+2β ∈ 5π3,2π ,所以α+2β=7π4. 14.C 化简题干,得 3cos αcos β+sin αsin β= sin α sin β , 3cos αcos βsin β+sin αsin2β=sin α, 3cos αcos βsin β=sin α(1-sin2β), 3cos αcos βsin β=sin αcos2β,即 3cos βsin β cos2β = sin α cos α ,得3tan β=tan α, ∴tan(α-β)= tan α-tan β 1+tan αtan β = 3tan β-tan β 1+3tan2β = 2 1 tan β +3tan β ≤ 2 2 1tan β ·3tan β = 3 3 , 当且仅当 1 tan β =3tan β,即tan β = 3 3 时,取等号.所以tan(α-β)的最 大值为 3 3. 故选C. 15.解:(1)tan γ = sin α+sin β cos α+cos β = 2sinα+β2 cos α-β 2 2cosα+β2 cos α-β 2 =tan α+β 2 . 因为α+β= π 6 , 所以tan γ =tan π 12=2- 3. (2)因为tan γ =tan α+β 2 ,则γ+ kπ= α+β 2 ,k∈Z,2γ+2kπ=α+β, k∈Z,又因为α,β,γ 均为锐角,所以 2γ =α+β,则 cos αcos β+cos βcos γ +cos αcos γ cos2γ = 1 2 [cos(α +β)+cos(α -β)]+(cos α +cos β)cos γ cos2γ = 1 2 [cos(α +β)+cos(α -β)]+2cos α +β 2 cos α -β 2 ·cos γ cos2γ ≤ 1 2 (cos 2γ +1)+2cos γ·cos γ cos2γ =3. 当且仅当 α =β, α+β=2γ 时,等号成立, 即α =β=γ 时,等号成立,因此 cos αcos β+cos βcos γ+cos αcos γ cos2γ 的最大值为3. 课时作业26 三角函数的 图象及性质 1.D 2.C 3.D 4.C 5.D 依 题 意 可 知,f(x)=sin2 x + π 2 -sin2x=cos2x-sin2x=cos 2x, 记t=2x,则y =cos t,因 为x ∈ π 4 ,7π 12 ,所以t∈ π2,7π6 ,则y= cos t 在 π2 ,7π 6 上不单调,则f(x) 在 π 4 ,7π 12 上不单调,故A错误;因为 x ∈ - π 4 ,π 12 ,所 以t∈ - π2, π 6 ,则y=cos t在 -π2,π6 上不 单调,则f(x)在 - π4,π12 上不单 调,故B错误;因为x ∈ 0, π 3 ,所以 t∈ 0, 2π 3 ,则y=cos t在 0,2π3 上 单调递减,则f(x)在 0, π 3 上单调递 减,故C错误;因为x∈ - π 2 ,- π 6 , 所以t∈ -π,- π 3 ,则y=cos t在 -π,- π 3 上单调递增,则f(x)在 -π2,-π6 上单调递增,故D正确. 故选D. 6.C 因为g(x)=sin 2ωx+π3 (ω> 0),令2ωx+ π 3 = π 2+kπ (k∈Z),可 得对称轴方程为x= 1 2ω π6+kπ (k∈ Z),∵函数g(x)=sin 2ωx+π3 (ω> 0)在区间 π2 ,π 上是单调的,∴ 12T≥ π 2 ,且 x = 1 2ω π6 +kπ ∉ π2, π (k∈Z),∴ 12·2π2ω ≥ π2,且 1 2ω π 6 +kπ ≤ π2(k∈Z), 1 2ω π 6 + (k+1)π ≥π(k∈Z), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得0<ω ≤ 1 12 或 1 6 ≤ω ≤ 7 12. 故 选C. 7.ABC f(x)的 最 小 正 周 期 为2π,易 知A正确;f 8π 3 =cos8π3 + π3 = cos 3π= -1,为f(x)的 最 小 值,故 B正确;∵f(x +π)=cos x +π+ π 3 = -cosx+ π3 ,∴f π6 + π = -cos π6 + π3 = -cosπ2 = 0,故C正确;由于f 2π 3 =cos 2π3+ π 3 =cos π= -1,为f(x)的最小 值,故f(x)在 π 2 ,π 上不单调,故D 错误.故选ABC. 8.ABD f 2π ω -x =cos ω 2πω -x + π 4 = cos9π4 -ωx = cos π4 - ωx =cosωx- π4 =g(x),所以 f(x)与g(x)的图象关于直线x= π ω 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 -586-