专题02 全等三角形【知识梳理+解题方法+专题过关】-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题02 全等三角形 一．全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． 二．全等三角形的概念和表示方法 1．全等三角形的相关概念 ①能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． ②把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 注意： ①全等三角形是特殊的全等形． ②全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样，叠合在一起是否完全重合，与它们的位置没有关系． 2．全等三角形的表示方法 “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．例如，图中的和全等，记作，读作“全等于”，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，和，和，和是对应边，和，和，和是对应角． 3．寻找对应边、对应角的规律 ①有公共边的，公共边一定是对应边； ②有公共角的，公共角一定是对应角； ③有对顶角的，对顶角一定是对应角； ④两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）等； ⑤若用符号“≌”表示两个全等三角形，可根据字母的对应位置来找对应关系． 三．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 注意： ①运用全等三角形的形状可以证明两条线段相等、两个角相等．在运用这个性质时，关键是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置，准确地找到对应边或对应角，牢牢抓住“对应”二字． ②由全等三角形的定义易知，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但反之，周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 四．三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS” 1．运用此法证两个三角形全等，应设法确定这两个三角形的三条边分别相等． 2．书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列（一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧），并用大括号将其括起来： 在和中， ∵， ∴． 注意： 有些题目可以直接从已知中找出全等的条件，而有些题目的已知条件是隐含在题设或图形之中的，如公共边、公共角、对顶角等，解题时一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件． 五．作一个角等于已知角 已知，求作，使． 作法： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E； ②画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交前弧于点； ④过点画射线，则即为所求作的角． 六．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 1．此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系． 2．书写格式： 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要错误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 七．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” 1．用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等． 2．书写格式： 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 在书写两个三角形全等的条件时，一般把夹边相等写在中间，以突出边角的位置关系． 八．两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 1．书写格式： 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： ①“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话不一定正确．假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等． ②有三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 九．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL” 1．“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 2．书写格式： 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，我们可以根据SSS，SAS，ASA，AAS和HL五种方法去判定两个直角三角形全等．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法． 十．作已知角的平分线 作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺规作图法．尺规作图法是常用的方法． 已知，求作的平分线． 作法： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E； ②分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点C； ③过O，C两点作射线，则射线就是所作的角的平分线． 注意： 作图依据：构造． 十一．角的平分线及性质 1．角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．书写格式： 如图， ∵是的平分线，C是上一点，于点E，于点F， ∴． 注意： ①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直． 十二．角的平分线的判定 1．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2．书写格式： ∵于点E，于点F，且， ∴点P在的平分线上． 【专题过关】 一．全等图形的概念及性质（共3小题） 1．如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中，不正确的是（　　） A．两个全等形的对应边相等，对应角相等 B．两个全等三角形的周长一定相等 C．两个全等形一定关于某条直线翻折后重合 D．两个全等三角形的面积一定相等 3．如图，四边形四边形，则的大小是　 　． 二．运用全等三角形的性质解决问题（共6小题） 4．如图，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，，若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，，，，，，则的长是 　 　cm． 8．已知的周长为15，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，则x 为 　 　． 9．如图，，其中，，，则的周长为 　 　． 三．全等三角形的判定（共11小题） 10．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，与相交于点O，，，不添加辅助线，判定的依据 是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件， 则下列错误的条件是（　　） A． B． C． D． 13．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条 件，使得．添加的条件可以是 　 　（只需写一个，不添加辅助线）； 14．如图，D，E是边上的两点，，，现要直接用“”定理来证明 ，请你再添加一个条件：　 　． 15．如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由 点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动 速度为x cm/s，若使得与全等，x的值为 　 　． 16．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 17．如图，在中，，，证明：． 18．如图，，，，求证：． 19．如图，，，，求证：． 20．如图，点E、C在线段上，，，． 求证：． 四．直角三角形全等的判定（共8小题） 21．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，若添加一个条件后 ，添加的条件可以是（　　） A． B． C． D． 22．如图，，，垂足分别为D、E，、相交于点O．如果，那么图 中全等的直角三角形的对数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 23．如图，于点D，于点F，．证明不是利用“HL” 的条件是（　　） A． B． C． D． 24．如图，点E，C在上，，，请添加一个条件 　 　，使 ． 25．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接 证明，则还需补充的条件是 　 　． 26．如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和 过点A且垂直于的射线上运动，当　 　时，和全等． 27．如图，，，点D是上一点，于E，于F， ，连接，求证：． 28．如图，，E是上的一点，且，，求证：． 五．全等三角形的判定与性质（共10小题） 29．已知：如图，，，，则不正确的结论是（　　） A．与互为余角 B． C． D． 30．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是60cm，当 小明从水平位置上升15cm时，这时小红离地面的高度是（　　） A．35cm B．40cm C．45cm D．50cm 31．如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，， ，若，，则的长为（　　） A．10 B．14 C．24 D．8 32．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则（　　） A． B． C． D． 33．如图，，，，于D点，，， 则的长为（　　） A．0.8cm B．1cm C．1.5cm D．4.2cm 34．如图所示，，，，，，则　 　． 35．如图，在中，过点C作于点D，且，过点B作于点M，连接， 过点D作，交于点N，与交于点E． （1）的度数为 　 　． （2）若E为的中点，，则　 　． 36．如图，，于点M，于点N，，连接，．求证：． 37．如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，的面积是20，求的面积， 38．如图，，，，，垂足为F． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 六．全等三角形的综合应用（共7小题） 39．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三 角形．他的依据是（　　） A． B． C． D． 40．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可 以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重 合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 41．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图， 先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作 ，交直线于点C，最后测量的长即得．根据的原理是（　　） A． B． C． D． 42．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚 好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距 离相等，，相交于P，垂足为D．已知米．请根据上述信息求标语的长 度 　 　． 43．北关中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的 直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角；然后使直杆顶端沿 墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点D；最后测得，则攀岩墙的高 度　 　m． 44．如图，中，，，在的顶点A，C处各有一只小蚂 蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E 处，设与的交点为F． （1）求证； （2）小蚂蚁在爬行过程中，与所成的的大小有无变化？请说明理由． 45．问题背景： 如图1，在四边形中，，，，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学的方法是将绕点A逆时针旋转到的位置，然后再证明，从而得出结论：　 　． 探索延伸： 如图2，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 结论应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东的方向以50海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离． 七．角平分线的性质（共7小题） 46．如图所示，是一块三角形的草坪（），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三 条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三角形三条边上的高的交点 D．三角形三条中线的交点 47．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角 形，则等于（　　） A． B． C． D． 48．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则 的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 49．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转 站P可选择的点有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 50．如图，已知的周长是21，，分别平分和，于D，且， 的面积是 　 　． 51．如图，的外角和的平分线、相交于点P，于E且， 若的周长为15cm，，则的面积为 　 　cm2． 52．如图，于E，于F，若，． 求证：平分． 八．尺规作图（共3小题） 53．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等” 这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　） A． B． C． D． 54．下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线到D B．以点D为圆心，任意长为半径画弧 C．作直线 D．延长线段至C，使 55．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E， 再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G， 若，，则的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 一．全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． 二．全等三角形的概念和表示方法 1．全等三角形的相关概念 ①能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． ②把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 注意： ①全等三角形是特殊的全等形． ②全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样，叠合在一起是否完全重合，与它们的位置没有关系． 2．全等三角形的表示方法 “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．例如，图中的和全等，记作，读作“全等于”，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，和，和，和是对应边，和，和，和是对应角． 3．寻找对应边、对应角的规律 ①有公共边的，公共边一定是对应边； ②有公共角的，公共角一定是对应角； ③有对顶角的，对顶角一定是对应角； ④两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）等； ⑤若用符号“≌”表示两个全等三角形，可根据字母的对应位置来找对应关系． 三．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 注意： ①运用全等三角形的形状可以证明两条线段相等、两个角相等．在运用这个性质时，关键是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置，准确地找到对应边或对应角，牢牢抓住“对应”二字． ②由全等三角形的定义易知，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但反之，周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 四．三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS” 1．运用此法证两个三角形全等，应设法确定这两个三角形的三条边分别相等． 2．书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列（一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧），并用大括号将其括起来： 在和中， ∵， ∴． 注意： 有些题目可以直接从已知中找出全等的条件，而有些题目的已知条件是隐含在题设或图形之中的，如公共边、公共角、对顶角等，解题时一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件． 五．作一个角等于已知角 已知，求作，使． 作法： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E； ②画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交前弧于点； ④过点画射线，则即为所求作的角． 六．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 1．此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系． 2．书写格式： 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要错误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 七．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” 1．用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等． 2．书写格式： 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 在书写两个三角形全等的条件时，一般把夹边相等写在中间，以突出边角的位置关系． 八．两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 1．书写格式： 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： ①“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话不一定正确．假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等． ②有三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 九．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL” 1．“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 2．书写格式： 如图，在和中， ∵， ∴． 注意： 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，我们可以根据SSS，SAS，ASA，AAS和HL五种方法去判定两个直角三角形全等．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法． 十．作已知角的平分线 作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺规作图法．尺规作图法是常用的方法． 已知，求作的平分线． 作法： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E； ②分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点C； ③过O，C两点作射线，则射线就是所作的角的平分线． 注意： 作图依据：构造． 十一．角的平分线及性质 1．角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．书写格式： 如图， ∵是的平分线，C是上一点，于点E，于点F， ∴． 注意： ①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直． 十二．角的平分线的判定 1．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2．书写格式： ∵于点E，于点F，且， ∴点P在的平分线上． 【专题过关】 一．全等图形的概念及性质（共3小题） 1．如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：全等图形形状相同，大小相等， A．两个图形形状不同，故选项不符合题意； B．两个图形形状相同，大小相等，故选项符合题意； C．两个图形形状不同，故选项不符合题意； D．两个图形大小不等，故选项不符合题意． 故选：B． 2．下列说法中，不正确的是（　　） A．两个全等形的对应边相等，对应角相等 B．两个全等三角形的周长一定相等 C．两个全等形一定关于某条直线翻折后重合 D．两个全等三角形的面积一定相等 【答案】C． 【解析】解：两个全等形的对应边相等，对应角相等， 故A选项正确，不符合题意； 两个全等三角形的周长一定相等， 故B选项正确，不符合题意； 两个全等形不一定关于某条直线翻折后重合， 故C选项不正确，符合题意； 两个全等三角形的面积一定相等， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．如图，四边形四边形，则的大小是　 　． 【答案】． 【解析】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 二．运用全等三角形的性质解决问题（共6小题） 4．如图，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．如图，，若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，，，，，，则的长是 　 　cm． 【答案】5． 【解析】解：∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∴， ∴． ∴． 故答案为：5． 8．已知的周长为15，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，则x 为 　 　． 【答案】3． 【解析】解：∵两个三角形全等， ∴两三角形的周长相等， ∴， 解得：． 故答案为：3． 9．如图，，其中，，，则的周长为 　 　． 【答案】15． 【解析】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴的周长， 故答案为：15． 三．全等三角形的判定（共11小题） 10．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：A．添加，由“”可证，故选项A不合题意； B．添加，由“”可证，故选项B不合题意； C．添加，由“”可证，故选项C不合题意； D．添加，不能证明，故选项D符合题意； 故选：D． 11．如图，与相交于点O，，，不添加辅助线，判定的依据 是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：在和中， ， ∴， 故选：B． 12．如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件， 则下列错误的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：A．添加，可得，，不能得出，符合题意； B．添加，可得，，利用得出，不符合题意； C．添加，利用得出，不符合题意； D．添加，利用得出，不符合题意； 故选：A． 13．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条 件，使得．添加的条件可以是 　 　（只需写一个，不添加辅助线）； 【答案】（答案不唯一）． 【解析】解：添加， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，D，E是边上的两点，，，现要直接用“”定理来证明 ，请你再添加一个条件：　 　． 【答案】． 【解析】解：可添加一个条件：，使． 理由： 在与中， ， ∴． 故答案为：． 15．如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由 点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动 速度为x cm/s，若使得与全等，x的值为 　 　． 【答案】1.5或1． 【解析】解：与全等，分两种情况： ①， 此时，， ∵，， ∴，， ， ， ∴Q的速度为1.5cm/s； ②， 此时，， ∴， ∴， ∴， ∴Q的速度为1cm/s， 综上所述，x的值为1.5或1， 故答案为：1.5或1． 16．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． 17．如图，在中，，，证明：． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 18．如图，，，，求证：． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴． 19．如图，，，，求证：． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 20．如图，点E、C在线段上，，，． 求证：． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 四．直角三角形全等的判定（共8小题） 21．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，若添加一个条件后 ，添加的条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：∵，， ∴， ∴当添加时， 得到， 即， 根据“”可判定． 故选：D． 22．如图，，，垂足分别为D、E，、相交于点O．如果，那么图 中全等的直角三角形的对数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【解析】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， 在和中， ， ∴； ∴共有3对全等直角三角形， 故选：C． 23．如图，于点D，于点F，．证明不是利用“HL” 的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：∵于点D，于点F，． ∴， ∵， ∴补充：或， 可得：，故A，C不符合题意； 补充， ∴， ∴，故D不符合题意； 补充， ∴， ∴，故B符合题意； 故选：B． 24．如图，点E，C在上，，，请添加一个条件 　 　，使 ． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】解：添加， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 25．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接 证明，则还需补充的条件是 　 　． 【答案】或． 【解析】解：由题意知，在和都是直角三角形，已有一组直角边相等， 若要用“斜边、直角边（）”直接证明，还需满足“斜边相等”， 因此还需补充的条件是（或）， 故答案为：或． 26．如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和 过点A且垂直于的射线上运动，当　 　时，和全等． 【答案】5或10． 【解析】解：当或10时，和全等， 理由是：∵，， ∴， ①当时， 在和中 ， ∴， ②当时， 在和中 ， ∴， 故答案为：5或10． 27．如图，，，点D是上一点，于E，于F， ，连接，求证：． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于E，于F， ∴， 在和中， ， ∴． 28．如图，，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵， ∴和均为直角三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 五．全等三角形的判定与性质（共10小题） 29．已知：如图，，，，则不正确的结论是（　　） A．与互为余角 B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故B、C选项正确； ∵， ∴， 故A选项正确； ∵， ∴， ， 但不一定等于， 故D选项错误． 故选：D． 30．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是60cm，当 小明从水平位置上升15cm时，这时小红离地面的高度是（　　） A．35cm B．40cm C．45cm D．50cm 【答案】C． 【解析】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴小明离地面的高度是， 故选：C． 31．如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，， ，若，，则的长为（　　） A．10 B．14 C．24 D．8 【答案】A． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 32．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：如图，在和中， ， ∴， ∴（或观察图形得到）， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 33．如图，，，，于D点，，， 则的长为（　　） A．0.8cm B．1cm C．1.5cm D．4.2cm 【答案】A． 【解析】解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴． 故选：A． 34．如图所示，，，，，，则　 　． 【答案】． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 35．如图，在中，过点C作于点D，且，过点B作于点M，连接， 过点D作，交于点N，与交于点E． （1）的度数为 　 　． （2）若E为的中点，，则　 　． 【答案】（1）；（2）3． 【解析】解：（1）∵，且， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 如图，过点D作于点F，又， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 36．如图，，于点M，于点N，，连接，．求证：． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 37．如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，的面积是20，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】解：（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， 点D是的中点， ∴． 38．如图，，，，，垂足为F． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析． 【解析】证明：（1）∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长到G，使得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 六．全等三角形的综合应用（共7小题） 39．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三 角形．他的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：如图，、、都可以测量， 即他的依据是． 故选：B． 40．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可 以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重 合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 【答案】A． 【解析】解：由题意得：，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 由题意得：，， ∴， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 故选：A． 41．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图， 先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作 ，交直线于点C，最后测量的长即得．根据的原理是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴． 故选：A． 42．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚 好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距 离相等，，相交于P，垂足为D．已知米．请根据上述信息求标语的长 度 　 　． 【答案】16米． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴， 在与中， ， ∴， ∴（米）， 故答案为：16米． 43．北关中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的 直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角；然后使直杆顶端沿 墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点D；最后测得，则攀岩墙的高 度　 　m． 【答案】5． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：5． 44．如图，中，，，在的顶点A，C处各有一只小蚂 蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E 处，设与的交点为F． （1）求证； （2）小蚂蚁在爬行过程中，与所成的的大小有无变化？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）无变化，理由见解析． 【解析】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同， ∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程， ∵在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴无变化． 45．问题背景： 如图1，在四边形中，，，，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学的方法是将绕点A逆时针旋转到的位置，然后再证明，从而得出结论：　 　． 探索延伸： 如图2，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 结论应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东的方向以50海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】问题背景：；探索延伸：，理由见解析；结论应用：此时两舰艇之间的距离为180海里． 【解析】解：问题背景：，证明如下： 如图1，延长到点G．使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 探索延伸： 证明：如图2，将顺时针旋转得到，使得与重合， 则， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 结论应用：如图3，连接， ∵， ∴， 又∵，，符合探索延伸中的条件， ∴结论成立． 即，（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为180海里． 七．角平分线的性质（共7小题） 46．如图所示，是一块三角形的草坪（），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三 条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三角形三条边上的高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B． 【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点． 故选：B． 47．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角 形，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：过点O作于D，于E，于F， ∵点O是内心， ∴， ∴， 故选：C． 48．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则 的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A． 【解析】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 49．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转 站P可选择的点有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D． 【解析】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角两两平分线的交点，共三处． 故选：D． 50．如图，已知的周长是21，，分别平分和，于D，且， 的面积是 　 　． 【答案】42． 【解析】解：过O作于E，于F，连接， ∵，分别平分和，， ∴，， 即， ∴的面积是： 故答案为：42． 51．如图，的外角和的平分线、相交于点P，于E且， 若的周长为15cm，，则的面积为 　 　cm2． 【答案】7.5． 【解析】解：如图，过点P作于F，作于G，连接， ∵和的平分线、交于P，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵的周长为15cm， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7.5． 52．如图，于E，于F，若，． 求证：平分． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 八．尺规作图（共3小题） 53．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等” 这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：如图，由作图可知，，． 在和中， ， ∴， 故选：D． 54．下列尺规作图的语句正确的是（　　） A．延长射线到D B．以点D为圆心，任意长为半径画弧 C．作直线 D．延长线段至C，使 【答案】B． 【解析】解：A．根据射线是从A向B无限延伸，故延长射线到D是错误的； B．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的； C．根据直线的长度无法测量，故作直线是错误的； D．延长线段至C，则，故使是错误的； 故选：B． 55．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E， 再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G， 若，，则的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B． 【解析】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$