25.6 相似三角形的应用-2024-2025学年九年级上册数学冲冠同步卷(冀教版)

冀教新版九年级上学期《25.6 相似三角形的应用》2024年同步练习卷 一．选择题（共30小题） 1．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（　　） A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m 2．如图，嘉嘉在A时测得一棵4m高的树的影长DF为8m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为（　　） A．2m B． C．4m D． 3．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为4cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为（　　） A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm 4．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝2：1，则PQ的长为（　　） A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm 5．如图，是物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的（　　） A．三角形相似的判定定理 B．三角形相似的性质定理 C．三角形全等的性质定理 D．三角形全等的判定定理 6．如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 7．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　） A．cm B．5cm C．6cm D．7cm 8．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面的距离为1.6m，则旗杆的高度为（单位：m）（　　） A．12.4 B．12.5 C．12.8 D．16 9．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图AB＝DE＝5尺，BF＝0.4尺，问井深BD是（　　） A．1.25尺 B．56.5尺 C．6.25尺 D．57.5尺 10．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，则实像CD的高度为（　　） A． B． C． D． 11．某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河的宽度PQ是（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 12．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为12cm，像距为16cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 13．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为15cm，到屏幕的距离为150cm，且幻灯片上图形的高度为10cm，则屏幕上图形的高度为（　　） A．100cm B．105cm C．110cm D．115cm 14．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.6m，则楼高CD是（　　） A．9.45m B．10.65m C．14.2mm D．16.8m 15．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）m． A．2 B．4 C．6 D．8 16．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 17．如图，小明利用标杆BE测量建筑物DC的高度，已知标杆BE的长为1.2米，测得AB米，BC米，则楼高CD是（　　） A．6.3米 B．7.5米 C．8米 D．6米 18．如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该城墙CD的高度为（　　） A．6 B．8 C．10 D．18 19．如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．若DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，则点A与点B之间的距离为（　　） A．20mm B．30mm C．40mm D．50mm 20．如图，在小孔成像问题中，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（　　） A． B．2倍 C．3倍 21．如图，这是“小孔成像”的实验示意图．已知蜡烛与光屏之间的水平距离为1.5m，具有小孔的纸板放在与蜡烛水平距离为（　　）的位置时，蜡烛火焰的高度AB是它的像A'B'高度的一半． A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．1m 22．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高为（　　） A．24m B．24cm C．6m D．6cm 23．如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离h＝（　　） A．cm B．2cm C．cm D．3cm 24．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验如图（1），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 25．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 26．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　） A．18米 B．16米 C．20米 D．15米 27．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．6 C． D．8 28．“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD＝6cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），则AC的长为（　　） A．2cm B．12cm C．18cm D．24cm 29．如图，一壁厚均匀的容器外径为18cm，用一个交叉卡错（两条尺长AC和BD相等）可测量容器的内部直径．如果OA：OC＝OB：OD＝3：1，且量得CD＝5.8cm，则零件的厚度x为（　　） A．0.25cm B．0.3cm C．0.35cm D．0.4cm 30．如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度AB＝1.2米，解决本题应用什么光学知识，该古城墙的高度是（　　） A．光的反射，9.6米 B．光的折射，9.6米 C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米 二．填空题（共15小题） 31．早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为a的杆子（“表”）在间距为d的两个地点测日影，测得影长分别为s1，s2，用这种方式计算出的日高公式H＝　 　．（用含a、d、s1、s2的代数式表示） 32．如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE＝3m，那么这棵树CD的高为　 　m． 33．普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑．其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（CD）72m的点P处，然后观测者沿着直线CP后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得BP＝3m．已知观测者目高AB＝1.5m，那么该古塔（CD）的高度是 　 　m． 34．如图（示意图）所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE的高为2.4m，测得AB＝1.8m，BC＝13.2m，则建筑物CD的高为 　 　m． 35．如图是小孔成像原理的示意图，OA＝25cm，OC＝10cm，AB∥CD．若物体AB的高度为15cm，则像CD的高度是 　 　cm． 36．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为10cm，当蜡烛火焰的高度AB是它在光屏上所成的像A'B高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏 　 　cm． 37．小丽同学想利用树影测量校园内的树高，她在某一时刻测得小树高为1.5m时，其影长为1.2m，此时她测量教学楼旁的一棵大树影长为5m，那么这棵大树高约 　 　m． 38．课本上的文字大小为0.4cm×0.35cm，老师在黑板上写的文字大小为8cm×7cm，要使某同学看黑板上的字时，与他看相距30cm的课本上的字的感觉相同，则这名同学的眼睛到黑板的距离约为 　 　cm． 39．图1是一种机械装置，当滑轮P绕固定点O旋转时，点P在AB上滑动，带动点B绕固定点A旋转，使点C在水平杆MN上来回滑动．图2是装置的侧面示意图，AO⊥MN，OA＝10cm，AB＝18cm，BC＝12cm，OP＝6cm．当转动到OP′⊥AB′时，点C滑到最左边C′处，此时A，B′，C′恰好在同一条直线上，则点O到MN的距离是 　 　cm；当转动到OP′′⊥AB′′时，点C滑到最右边C′′处，则点C在MN上滑动的最大距离C′C′′＝　 　cm． 40．如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下来，则身影AC＝1.05m，已知小明的身高AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，则灯离地面的高度为 　 　． 41．如图是凸透镜成像示意图，BD是蜡烛AC通过凸透镜MN所成的像．已知蜡烛AC离凸透镜MN的水平距离OA为30cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，光线CE∥OF，则像BD离凸透镜MN的水平距离为 　 　cm． 42．如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3米，CD＝3.6米． （1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则BD＝　 　米． （2）投石车投石过程中，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE＝5：1，则点G距地面为 　 　米． 43．高4米的旗杆在水平地面上的影子长6米，此时测得附近一个建筑物的影子长24米，那么该建筑物的高度为　 　． 44．大约两千四百年前，墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，解释了小孔成像的原理；小强根据原理自制了一个小孔成像装置，纸筒的长为15cm，蜡烛长为20cm，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒前端小孔 　 　cm的地方；他进一步探究发现：树荫下的圆形光斑就是太阳通过树叶中间小孔在地面上成的像，他查到太阳到地面的距离约为1.5×1011m，太阳的直径约为1.4×109m，则一个直径为2.1cm的光斑到它对应的小孔间距为 　 　cm． 45．如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，且AB、DE、MF均垂直于河面EP． （1）过点B作BH⊥EP于H，则BH＝　 　米；设AN交EP于O点，则OH＝　 　米； （2）河宽EP＝　 　米． 三．解答题（共15小题） 46．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？ 47．阅读下面材料，完成学习任务： 数学活动 测量树的高度 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下： ①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米； ②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米； ③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米． ∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD ∴△ABC∽△EDC ∴ 任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 48．如图，左右并排的两棵大树的高分别为AB＝8米，CD＝12米，两树底部的距离，BD＝5米，一个人估计自己眼睛距地面1.6米，她沿着正对这两棵的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ 49．【学习新知】： 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． （1）【初步应用】： 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”DO1射入到平面镜AB上、被平面镜AB反射到平面镜BC上，又被平面镜BC反射后得到反射光线O2E．回答下列问题： ①当DO1∥EO2，∠EO2C＝60°（即∠4＝60°）时，求∠DO1O2的度数． ②当∠B＝90°时，任何射入平面镜AB上的光线DO1经过平面镜AB和BC的两次反射后，入射光线DO1与反射光线O2E总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明． （提示：三角形的内角和等于180°） （2）【拓展探究】： 如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1＝36°，∠B＝120°，若要使EO1∥O3F，求∠C的度数． 50．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，求树高PQ． 51．学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆“AB＝2.5米，BD＝23米，FB＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD． 52．如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，求旗杆的高度． 53．小敏准备母亲节送礼物给妈妈，他用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示方式裁剪）．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长为多少分米？ 54．如图，育才学校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是25°时，教学楼在建筑物的墙上留下高3m的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶点A在地面上的影子点F与墙角点C有20m的距离（B，F，C在同一条直线上，结果精确到1m，参考数据：sin25°＝0.42，cos25°＝0.91，tan25°＝0.47） （1）求教学楼AB的高度； （2）请你求出点A，E之间的距离． 55．视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘． 用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点P1，P2，O在一条直线上为止．这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同． （1）探究图中与之间的关系，请说明理由； （2）若b1＝3.2cm，b2＝2cm，①号“E”的测量距离l1＝80cm，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离l2． 56．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于B，测得AB＝6m，求池塘的宽DE． 57．每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树（AB）8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2m，观测者目高CD＝1.75m，则树高AB约是多少米？ 58．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）求证：； （2）这个正方形零件的边长是多少？ 59．2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）． 如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右．若CD的估测长度为40米，那么CO的大致距离为多少米． 60．小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图），当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m，求旗杆的高度． 冀教新版九年级上学期《25.6 相似三角形的应用》2024年同步练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共30小题） 1．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（　　） A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m 【答案】C 【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.6m，BC＝2m，CD＝12m， 根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD， ∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∴△ACB∽△ECD， ∴，即， ∴ED＝9.6（m）， 故选：C． 2．如图，嘉嘉在A时测得一棵4m高的树的影长DF为8m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为（　　） A．2m B． C．4m D． 【答案】A 【解答】解：根据题意得CE⊥CF，CD＝4m，FD＝8m； ∵CE⊥CF， ∴∠ECF＝90°， ∴∠ECD+∠DCF＝90°， ∵CD⊥EF， ∴∠CDE＝∠CDF＝90°， ∴∠F+∠DCF＝90°， ∴∠ECD＝∠CFD， ∴Rt△CDE∽Rt△FDC， ∴，即CD2＝ED•FD， 代入数据可得42＝8ED， 解得：ED＝2（m）； 即B时的影长DE为2m． 故选：A． 3．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为4cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为（　　） A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm 【答案】D 【解答】解：如图，AB＝20cm，OF＝15cm，CD＝4cm， ∵AB∥CD，EF⊥AB ∴EF⊥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴，即， 解得OE＝75cm． 故选：D． 4．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝2：1，则PQ的长为（　　） A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm 【答案】A 【解答】解：如图，设AD交PM于点K． ∵PM：PQ＝2：1， ∴可以假设MP＝2k mm，PQ＝k mm． ∵四边形PQNM是矩形， ∴PM∥BC， ∴△APM∽△ABC， ∵AD⊥BC，BC∥PM， ∴AD⊥PM， ∴， ∴， 解得k＝36， ∴PQ＝36mm． 故选：A． 5．如图，是物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的（　　） A．三角形相似的判定定理 B．三角形相似的性质定理 C．三角形全等的性质定理 D．三角形全等的判定定理 【答案】B 【解答】解：物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的三角形相似的性质定理及相似三角形的对应边成比例， 故选：B． 6．如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 【答案】D 【解答】解：设长臂端点升高x米， 则， ∴x＝8． 故选：D． 7．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　） A．cm B．5cm C．6cm D．7cm 【答案】A 【解答】解：∵四边形EFHG是正方形， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， 又∵AD⊥BC， ∴， 设正方形零件EFHG的边长为x cm，则AK＝（10﹣x）cm， ∴， 解得：， 即这个正方形零件的边长为． 故选：A． 8．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面的距离为1.6m，则旗杆的高度为（单位：m）（　　） A．12.4 B．12.5 C．12.8 D．16 【答案】C 【解答】解：如图，BC＝2m，CE＝16m，AB＝1.6m， 由题意得∠ACB＝∠DCE， ∵∠ABC＝∠DEC， ∴△ACB∽△DCE， ∴， 即， ∴DE＝12.8． 即旗杆的高度为12.8m． 故选：C． 9．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图AB＝DE＝5尺，BF＝0.4尺，问井深BD是（　　） A．1.25尺 B．56.5尺 C．6.25尺 D．57.5尺 【答案】D 【解答】解：设BD＝x尺． ∵四边形BCED是矩形， ∴BF∥DE， ∴△AFB∽△AED， ∴， ∴， 解得x＝57.5， 经检验：x＝57.5是分式方程的解． ∴BD＝57.5（尺）． 故选：D． 10．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，则实像CD的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：依题意， ∵OE∥AB， ∴△COE∽△CAB， ∴， ∵OE∥CD， ∴△BOE∽△BDC， ∴， 则①+②得， ∴， ∴， ∵AB＝5cm，OE＝2cm， ∴， 解得， 故选：A． 11．某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河的宽度PQ是（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 【答案】C 【解答】解：根据题意得出：QR∥ST， 则△PQR∽△PST， 故， ∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m， ∴， 解得：PQ＝90（m）， 故选：C． 12．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为12cm，像距为16cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】A 【解答】解：如图，连接AB、CD： 依题意，△ABO∽△DCO， ∵物距为12cm，像距为16cm， ∴， ∵蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm， ∴， ∴AB＝6cm， 故选：A． 13．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为15cm，到屏幕的距离为150cm，且幻灯片上图形的高度为10cm，则屏幕上图形的高度为（　　） A．100cm B．105cm C．110cm D．115cm 【答案】C 【解答】解：如图所示：∵DE∥BC， ∴△AED∽△ACB， ∴， 设屏幕上的图形高是x，则， 解得：x＝110．经检验，x＝110是原方程的解， 故选：C． 14．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.6m，则楼高CD是（　　） A．9.45m B．10.65m C．14.2mm D．16.8m 【答案】B 【解答】解：∵EB∥CD， ∴△ABE∽△ACD， ∴，即， ∴CD＝10.65（米）． 故选：B． 15．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）m． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m； ∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°， ∴∠ECD＝∠F， ∴△EDC∽△CDF， ∴，即DC2＝ED•FD＝2×8＝16， 解得CD＝4m． 故选：B． 16．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【解答】解：设像CD到小孔O的距离为x， 由题意知，AB∥CD， ∴△ABO∽△DCO， ∴ ∴x＝2， 故选：B． 17．如图，小明利用标杆BE测量建筑物DC的高度，已知标杆BE的长为1.2米，测得AB米，BC米，则楼高CD是（　　） A．6.3米 B．7.5米 C．8米 D．6米 【答案】B 【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AC， ∴BE∥CD． ∴△ABE∽△ACD． ∴． ∴， ∴CD＝7.5米． 故选：B． 18．如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该城墙CD的高度为（　　） A．6 B．8 C．10 D．18 【答案】B 【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴Rt△ABP∽Rt△CDP， ∴， 即， ∴CD＝8（m）． 故选：B． 19．如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．若DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，则点A与点B之间的距离为（　　） A．20mm B．30mm C．40mm D．50mm 【答案】B 【解答】解：连接AB交直线OC于点E，得AB⊥OC，AE＝BE， ∴OC26（mm）， ∵这个侧面图是轴对称图形， ∴∠AOE＝∠COD， ∵∠OEA＝∠ODC＝90°， ∴△OAE∽△OCD， ∴， 即， ∴AE＝15（ mm）， ∴AB＝2AE＝30 （mm）． 故选：B． 20．如图，在小孔成像问题中，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（　　） A． B．2倍 C．3倍 【答案】A 【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F． ∵AB∥CD， ∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC， ∴（相似三角形的对应高的比等于相似比）， ∴CDAB， 故选：A． 21．如图，这是“小孔成像”的实验示意图．已知蜡烛与光屏之间的水平距离为1.5m，具有小孔的纸板放在与蜡烛水平距离为（　　）的位置时，蜡烛火焰的高度AB是它的像A'B'高度的一半． A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．1m 【答案】B 【解答】解：由题意可得AB∥A′B′， ∴△AOB∽△A'OB'， ∵蜡烛焰AB是像A'B'的一半， ∴AB距离O与A'B'到O的距离比值为1：2， 设小孔的纸板应放在离蜡烛水平距离x m的位置，根据题意可得：， 解得：x＝0.5， 经检验，x＝0.5是原方程的解， 则小孔的纸板放在与蜡烛水平距离为0.5m的位置时，蜡烛火焰的高度AB是它的像A'B'高度的一半． 故选：B． 22．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高为（　　） A．24m B．24cm C．6m D．6cm 【答案】C 【解答】解：由题意可得， BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m， ∴△ABD∽△AQP， ∴， 即， 解得QP＝6， ∴树高PQ＝6m， 故选：C． 23．如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离h＝（　　） A．cm B．2cm C．cm D．3cm 【答案】A 【解答】解：如图：过O作ON⊥CD于N，交AB于M， ∵CD∥AB， ∴OM⊥AB， ∵OC＝OD， ∴CNCD＝3cm， ∴ON4（cm）， ∵CD∥AB， ∴△CDO∽ABO， ∴， ∴， ∴OMcm， ∴h＝4（cm）， 故选：A． 24．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验如图（1），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 【答案】D 【解答】解：如图：过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F， 由题意得：EF⊥CD，AB∥CD， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△AOB∽△DOC， ∴， ∴， ∴AB＝6cm， ∴蜡烛火焰的高度是6cm， 故选：D． 25．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵BC∥l，CG⊥l，BO⊥l， ∴四边形OBCG为矩形， ∴OB＝CG， ∵AH⊥HO，BO⊥HO， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴， ∴， ∴物体被缩小到原来的． 故选：A． 26．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　） A．18米 B．16米 C．20米 D．15米 【答案】A 【解答】根据题意解：标杆的高：标杆的影长＝旗杆的高：旗杆的影长， 即1.5：2.5＝旗杆的高：30， ∴旗杆的高18米． 故选：A． 27．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．6 C． D．8 【答案】C 【解答】解：如图：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F， 由题意得： OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD， ∴OF⊥AB， ∴OF＝10cm， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∴， 解得：AB， ∴蜡烛火焰的高度是cm， 故选：C． 28．“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD＝6cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），则AC的长为（　　） A．2cm B．12cm C．18cm D．24cm 【答案】C 【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵AO＝3OB， ∴， ∴AC＝18， ∴AC的长为18cm． 故选：C． 29．如图，一壁厚均匀的容器外径为18cm，用一个交叉卡错（两条尺长AC和BD相等）可测量容器的内部直径．如果OA：OC＝OB：OD＝3：1，且量得CD＝5.8cm，则零件的厚度x为（　　） A．0.25cm B．0.3cm C．0.35cm D．0.4cm 【答案】B 【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3：1，∠COD＝∠AOB， ∴△COD∽△AOB， ∴AB：CD＝3：1， ∵CD＝5.8cm， ∴AB＝17.4cm， ∵某零件的外径为18cm， ∴零件的厚度x为：（18﹣17.4）÷2＝0.3（cm）． 故选：B． 30．如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度AB＝1.2米，解决本题应用什么光学知识，该古城墙的高度是（　　） A．光的反射，9.6米 B．光的折射，9.6米 C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米 【答案】A 【解答】解：由题意得，AB⊥BD，DC⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， 由光的反射定律可知∠APB＝∠CPD， ∴△APB∽△CPD， ∴，即， ∴CD＝9.6米， 故选：A． 二．填空题（共15小题） 31．早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为a的杆子（“表”）在间距为d的两个地点测日影，测得影长分别为s1，s2，用这种方式计算出的日高公式H＝　　．（用含a、d、s1、s2的代数式表示） 【答案】．s2−s1分之as2−as1+ad 【解答】解：∵AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG， ∴AB∥CD∥EF， ∴△EFG∽△ABG，△CDO∽△ABO， ∴，， ∴，， 解得H， 故答案为：． 32．如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE＝3m，那么这棵树CD的高为　5.1　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB，CD均垂直于地面，所以AB∥CD， ∴△ABE∽△C′DE， ∵CD在水中的倒影为C′D， ∴△ABE∽△C′DE， ∴， 又∵AB＝1.7m，BE＝3m，BD＝12m， ∴， ∴CD＝5.1（m）， 故答案为：5.1． 33．普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑．其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（CD）72m的点P处，然后观测者沿着直线CP后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得BP＝3m．已知观测者目高AB＝1.5m，那么该古塔（CD）的高度是 　36　m． 【答案】36． 【解答】解：由题意可知∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠DCP， ∴△ABP∽△DCP， ∴， ∴， ∴CD＝36， 故答案为：36． 34．如图（示意图）所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE的高为2.4m，测得AB＝1.8m，BC＝13.2m，则建筑物CD的高为 　20　m． 【答案】20． 【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE＝2.4m，AB＝1.8m，BC＝13.2m， ∴AC＝AB+BC＝15m， ∴， 解得：DC＝20， 即建筑物CD的高是20m， 故答案为：20． 35．如图是小孔成像原理的示意图，OA＝25cm，OC＝10cm，AB∥CD．若物体AB的高度为15cm，则像CD的高度是 　6　cm． 【答案】6． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴， 又∵AB＝15cm， ∴． 故答案为：6． 36．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为10cm，当蜡烛火焰的高度AB是它在光屏上所成的像A'B高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏 　20　cm． 【答案】20． 【解答】解：设带“小孔”的纸板距离光屏是x， 根据题意可得：， 解得：x＝20， 经检验x＝20是原方程的解， 则带“小孔”的纸板距离光屏是20cm， 故答案为：20． 37．小丽同学想利用树影测量校园内的树高，她在某一时刻测得小树高为1.5m时，其影长为1.2m，此时她测量教学楼旁的一棵大树影长为5m，那么这棵大树高约 　6.25　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设大树的高度约为x m， 由题意得，， 解得x＝6.25， 即这棵大树高约6.25m． 故答案为：6.25． 38．课本上的文字大小为0.4cm×0.35cm，老师在黑板上写的文字大小为8cm×7cm，要使某同学看黑板上的字时，与他看相距30cm的课本上的字的感觉相同，则这名同学的眼睛到黑板的距离约为 　600　cm． 【答案】这名同学的眼睛到黑板的距离约为600cm． 【解答】解：∵老师在黑板上写的文字大小为8cm×7cm，课本上的文字大小为0.4cm×0.35cm， ∴文字的相似比为20：1， 设这名同学的眼睛到黑板的距离约为x cm， 则， 解得x＝600， 答：这名同学的眼睛到黑板的距离约为600cm． 39．图1是一种机械装置，当滑轮P绕固定点O旋转时，点P在AB上滑动，带动点B绕固定点A旋转，使点C在水平杆MN上来回滑动．图2是装置的侧面示意图，AO⊥MN，OA＝10cm，AB＝18cm，BC＝12cm，OP＝6cm．当转动到OP′⊥AB′时，点C滑到最左边C′处，此时A，B′，C′恰好在同一条直线上，则点O到MN的距离是 　14　cm；当转动到OP′′⊥AB′′时，点C滑到最右边C′′处，则点C在MN上滑动的最大距离C′C′′＝　21.6　cm． 【答案】14；21.6． 【解答】解：延长AO交MN于点D， ∵OP′⊥AB′，AO⊥MN， ∴∠AP′O＝∠ADC′＝90°， ∵∠P′AO＝∠DAC′， ∴△P′AO∽△DAC′， ∴， ∵AB′＝AB＝18cm，B′C′＝BC＝12cm，A，B′，C′在同一条直线上， ∴C′A＝AB′+B′C′＝18+12＝30（cm）， ∵∠AP′O＝90°，OA＝10cm，OP′＝OP＝6cm， ∴AP′8（cm）， ∴， 解得OD＝14， ∴点O到MN的距离是14cm； 延长AB″交MN于点E，作B″F⊥MN于点F， ∵OP′⊥AC′，OP″⊥AE，OP′＝OP″， ∴点O在∠C′AE的平分线上， ∴∠DAE＝∠DAC′， ∵AD＝AD，∠ADE＝∠ADC′， ∴△ADE≌△ADC′（ASA）， ∴EA＝C′A＝30cm，DE＝DC′， ∵AB″＝AB＝18cm， ∴B″E＝EA﹣AB″＝30﹣18＝12（cm）， ∵B″C″＝BC＝12cm， ∴B″E＝B″C″， ∵∠ADE＝90°，EA＝30cm，AD＝OD+OA＝14+10＝24（cm）， ∴DE18（cm）， ∵B″F∥AD， ∵， ∴FC″＝FEDE18＝7.2（cm）， ∵C′E＝2DE＝2×18＝36（cm），C″E＝2FE＝2×7.2＝14.4（cm）， ∴C′C″＝36﹣14.4＝21.6（cm）， 故答案为：14；21.6． 40．如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下来，则身影AC＝1.05m，已知小明的身高AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，则灯离地面的高度为 　7.2m　． 【答案】7.2m． 【解答】解：设AD与PC相交于点E， 由题意得：AEAD＝0.8（m），PH⊥BH，DA⊥AB， ∴∠DAC＝∠PHB＝90°， ∵∠DBA＝∠PBH， ∴△DAB∽△PHB， ∴， ∴， ∵∠ECA＝∠PCH， ∴△CEA∽△CPH， ∴， ∴， ∴， 解得：AH＝8.4， ∴， 解得：PH＝7.2， ∴灯离地面的高度为7.2m， 故答案为：7.2m． 41．如图是凸透镜成像示意图，BD是蜡烛AC通过凸透镜MN所成的像．已知蜡烛AC离凸透镜MN的水平距离OA为30cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，光线CE∥OF，则像BD离凸透镜MN的水平距离为 　15　cm． 【答案】15． 【解答】解：由题意得：CE＝AO＝30cm，OF∥CE， ∴∠DOF＝∠DCE，∠DFO＝∠DEC， ∴△DFO∽△DEC， ∴， ∴， 由题意得：AC∥BD， ∴∠CAO＝∠DBO，∠ACO＝∠BDO， ∴△ACO∽△BDO， ∴， ∴， 解得：OB＝15， ∴像BD离凸透镜MN的水平距离为15cm， 故答案为：15． 42．如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3米，CD＝3.6米． （1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则BD＝　　米． （2）投石车投石过程中，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE＝5：1，则点G距地面为 　（）　米． 【答案】（1）； （2）（）． 【解答】解：（1）过A作AH⊥CD于H， ∵AG⊥AC， ∴∠GAC＝∠AHC＝90°， ∵∠GCA＝∠ACH， ∴△GAC∽△AHC， ∴， ∵AD＝AC＝3米，CD＝3.6米， ∴CH＝DH＝1.8米， ∴AH2.4（米）， ∴， ∴AG＝4， ∴GH（米）， ∴BD＝DG1.8（米）， 故答案为：； （2）过G作GF⊥DC于F，过A作AH⊥CD于H，则∠AHE＝∠GFE＝90°， ∵CD＝3.6（米），DE：CE＝5：1， ∴CE＝0.6（米）， ∴EH＝1.8﹣0.6＝1.2（米）， ∴AE（米）， ∵∠AEH＝∠GEF， ∴△EAH∽△EGF， ∴，即， ∴GF＝（）（米）， 故G点上升的高度为＝（）米． 故答案为：（）． 43．高4米的旗杆在水平地面上的影子长6米，此时测得附近一个建筑物的影子长24米，那么该建筑物的高度为　16米　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设建筑物的高为h米， 则，解得h＝16（米）． 故答案为：16米． 44．大约两千四百年前，墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，解释了小孔成像的原理；小强根据原理自制了一个小孔成像装置，纸筒的长为15cm，蜡烛长为20cm，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒前端小孔 　60　cm的地方；他进一步探究发现：树荫下的圆形光斑就是太阳通过树叶中间小孔在地面上成的像，他查到太阳到地面的距离约为1.5×1011m，太阳的直径约为1.4×109m，则一个直径为2.1cm的光斑到它对应的小孔间距为 　225　cm． 【答案】60；225． 【解答】解：如图，过点O作EF⊥AB于点F，作EF⊥CD于点E， 由题意可知，△ABO∽△DCO， ∴， ∴， ∴OF＝60； 设一个直径为2.1cm的光斑到它对应的小孔间距为x cm， 则由题意可得，， 解得x＝225， 即一个直径为2.1cm的光斑到它对应的小孔间距为225cm， 故答案为：60；225． 45．如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，且AB、DE、MF均垂直于河面EP． （1）过点B作BH⊥EP于H，则BH＝　0.75　米；设AN交EP于O点，则OH＝　4.7　米； （2）河宽EP＝　12　米． 【答案】0.75 4.7 12． 【解答】解：延长AB交EP的反向延长线于点H， 则四边形BDEH是矩形， ∴BH＝DE＝0.75米，BD∥EH， ∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1.6+0.75＝2.35（米）， ∵BD∥OH， ∴△ABD∽△AHO， ∴， ∴， ∴HO＝4.7（米）， ∵PM＝PN，MF＝4.5米，FP＝0.75米， ∴PN＝MF+FP＝5.25米， ∵AH⊥EP，PN⊥EP， ∴AH∥PN， ∴△AHO∽△NPO， ∴， ∴， ∴PO＝10.5米， ∴PE＝PO+OE＝10.5+（4.7﹣3.2）＝12（米）， 故答案为：0.75；4.7；12． 三．解答题（共15小题） 46．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意知，设AH＝x米，BH＝y米， △AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG， ∴，， ∴3x＝1.5×（y+3），5x＝1.5×（y+30+5） 解得x＝24． 答：旗杆AH的高度为24m． 47．阅读下面材料，完成学习任务： 数学活动 测量树的高度 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下： ①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米； ②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米； ③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米． ∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD ∴△ABC∽△EDC ∴ 任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设AB＝x米，BC＝y米． ∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD ∴△ABC∽△EDC ∴， ∴， ∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH ∴△ABF∽△GHF， ∴， ∴， ∴， 解得y＝20， 把y＝20代入中， 得解得x＝15 ∴树的高度AB为15米． 48．如图，左右并排的两棵大树的高分别为AB＝8米，CD＝12米，两树底部的距离，BD＝5米，一个人估计自己眼睛距地面1.6米，她沿着正对这两棵的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ 【答案】当她与左边较低的树距离小于8米时，就不能看到右边较高的树的顶端C了． 【解答】解；设此人来到点E时，F，A，C恰好在一条直线上，过点F作EG⊥CD于点K，交AB于点H，由题意得四边形EFHB，BHKD均为矩形， ∵EF＝1.6米，AB＝8米，CD＝12米，BD＝5米， ∴AH＝6.4米，CK＝10.4米，HK＝5米，FH＝EB， ∵AB∥CD， ∴△FHA∽△FKC， ∴， 即， 解得：FH＝8， ∴EB＝8米， 答：当她与左边较低的树距离小于8米时，就不能看到右边较高的树的顶端C了． 49．【学习新知】： 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． （1）【初步应用】： 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”DO1射入到平面镜AB上、被平面镜AB反射到平面镜BC上，又被平面镜BC反射后得到反射光线O2E．回答下列问题： ①当DO1∥EO2，∠EO2C＝60°（即∠4＝60°）时，求∠DO1O2的度数． ②当∠B＝90°时，任何射入平面镜AB上的光线DO1经过平面镜AB和BC的两次反射后，入射光线DO1与反射光线O2E总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明． （提示：三角形的内角和等于180°） （2）【拓展探究】： 如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1＝36°，∠B＝120°，若要使EO1∥O3F，求∠C的度数． 【答案】（1）①120°；②见解析；（2）126°． 【解答】解：（1）①∵∠EO2C＝60°，∠EO2C＝∠BO2O1， ∴∠BO2O1＝60°， ∴∠O1O2E＝180°﹣∠O1O2B﹣∠EO2C＝60°， 又DO1∥EO2， ∴∠DO1O2＝180°﹣∠O1O2E＝120°； ②由题意知∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠B＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠4＝90°， ∴∠DO1O2+∠O1O2E＝180°﹣∠1﹣∠2+180°﹣∠3﹣∠4＝180°， ∴DO1∥O2E； （2）过点O2作O2M∥O1E， ∵EO1∥O3F， ∴O2M∥O3F，∠EO1O2+∠O1O2M＝180°， ∵∠1＝36°＝∠2， ∴∠EO1O2＝180°﹣∠1﹣∠2＝108°， ∴∠O1O2M＝180°﹣∠EO1O2＝72°， ∵∠B＝120°， ∴∠3＝180°﹣∠B﹣∠2＝24°＝∠4， ∴∠MO2O3＝180°﹣∠3﹣∠O1O2M﹣∠4＝60°， ∵O2M∥O3F， ∴∠O2O3F＝180°﹣∠O3O2M＝120°， ∴∠5+∠6＝180°﹣∠O2O3F＝60°， 又∠5＝∠6， ∴∠5＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠5﹣∠4＝126°． 50．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，求树高PQ． 【答案】6m． 【解答】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角， ∴BD∥PQ， ∴△ABD∽△AQP， ∴， ∵AB＝40cm＝0.4m，BD＝20cm＝0.2m，AQ＝12m， ∴． 51．学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆“AB＝2.5米，BD＝23米，FB＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD． 【答案】大楼的高度CD为14米． 【解答】解：如图中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形． ∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米， ∵AB＝2.5米． ∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米）， ∵AJ∥CH， ∴△EAJ∽△ECH， ∴， ∴， ∴CH＝12.5（米）， ∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）． 答：大楼的高度CD为14米． 52．如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，求旗杆的高度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，∵ED⊥AD BC⊥AC， ∴ED∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∵AD＝8，AC＝AD+CD＝8+22＝30（m），ED＝3.2m， ∴BC12（m） ∴旗杆的高为12m． 53．小敏准备母亲节送礼物给妈妈，他用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示方式裁剪）．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长为多少分米？ 【答案】正方体礼品盒的边长为2分米． 【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD＝10分米， 设EF＝x分米， 由此裁剪可得：△AEF和△DEG为等腰直角三角形， ∴△AEF∽△DEG， ∴，即， 解得：AE＝2， ∴EFAE＝2分米． 答：正方体礼品盒的边长为2分米． 54．如图，育才学校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是25°时，教学楼在建筑物的墙上留下高3m的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶点A在地面上的影子点F与墙角点C有20m的距离（B，F，C在同一条直线上，结果精确到1m，参考数据：sin25°＝0.42，cos25°＝0.91，tan25°＝0.47） （1）求教学楼AB的高度； （2）请你求出点A，E之间的距离． 【答案】（1）约为23m； （2）约为47m． 【解答】解：（1）如图所示，过点E作EM⊥AB于点M， ∴四边形MBCE为矩形， ∴MB＝CE＝3m，ME＝BC， 设AB＝x m， 在Rt△ABF中，∵∠AFB＝45°， ∴BF＝AB＝x m， ∴ME＝BC＝BF+FC＝（x+20）cm， 在Rt△AME中， ∵∠AEM＝25°，AM＝AB﹣MB＝（x﹣3）m， ， ∴， 解得 x≈23， 答：办公楼AB的高度约为23m． （2）在 Rt△AME中，∵， ∴， 答：A，E之间的距离约为47m． 55．视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘． 用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点P1，P2，O在一条直线上为止．这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同． （1）探究图中与之间的关系，请说明理由； （2）若b1＝3.2cm，b2＝2cm，①号“E”的测量距离l1＝80cm，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离l2． 【答案】（1）相等，理由见解析； （2）②号“E”的测量距离l2是50cm． 【解答】解：（1）相等， 理由：∵P1D1∥P2D2， ∴△P1D1O∽△P2D2O， ∴， 即． （2）∵且b1＝3.2cm，b2＝2cm，l1＝80cm， ∴， ∴l2＝50， 答：②号“E”的测量距离l2是50cm． 56．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于B，测得AB＝6m，求池塘的宽DE． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB∥DE，CD＝30m，AC＝5m，AB＝6m， ∴△ABC∽△DEC． ∴AC：CD＝AB：ED， ∴5：30＝6：ED， 解得，ED＝36m， 答：池塘的宽DE是36m． 57．每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树（AB）8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2m，观测者目高CD＝1.75m，则树高AB约是多少米？ 【答案】树高AB约是7m． 【解答】解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB， 则△ABE∽△CDE， 则，即， 解得：AB＝7（m）， 答：树高AB约是7m． 58．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）求证：； （2）这个正方形零件的边长是多少？ 【答案】（1）证明见解答过程； （2）48mm． 【解答】（1）证明：∵四边形EFHG是正方形， ∴EF∥BC， ∴． （2）解：设这个正方形零件的边长是x mm， ∵EF∥BC， ∴， ∴， 解得：x＝48， 答：这个正方形零件的边长是48mm． 59．2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）． 如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离． 已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右．若CD的估测长度为40米，那么CO的大致距离为多少米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：64厘米＝0.64米，6.4厘米＝0.064米， ∵CD∥AB， ∴△OAB∽△ODC， ∴， ∴， ∴OC＝400． 答：CO的大致距离为400米． 60．小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图），当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m，求旗杆的高度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，CD＝2m，BD＝21m， ∵， ∴DE＝1.5CD＝3， ∵， ∴AB16（m）． 答：旗杆的高度为16m． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/2 13:58:33；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 学科网（北京）股份有限公司 $$