专题07 函数的应用（真题4个考点精准练+精选模拟练）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（上海专用）

专题07 函数的应用（真题4个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年春考9、16、21题 分段函数的应用，函数与方程的关系，函数与方程的综合运用 2023春考9、19题 函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型 2022秋考8题 2022春考21题 分段函数的应用 函数与方程的综合运用 2021年秋考19题 函数的实际应用 2020年秋考11、19题 2020年春考19题 函数的零点与方程根的关系，分段函数的实际应用 根据实际问题选择函数类型 一．函数的零点与方程根的关系（共2小题） 1．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为 　　． 2．（2020•上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件： （1）对任意的，的值为或； （2）关于的方程无实数解， 则的取值范围是　　． 二．函数与方程的综合运用（共3小题） 3．（2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论　　 （1）存在，；，与有无穷个交点 （2）存在，；，与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立 4．（2022•上海）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数． （1）设，，为做变换后的结果，解方程：； （2）设，为做变换后的结果，解不等式：； （3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增． 5．（2024•上海）记（a）（a），，（a）（a），． （1）若，求（1）和（1）； （2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”． 三．分段函数的应用（共2小题） 6．（2024•上海）已知，求的的取值范围 　　． 7．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为 　　． 四．根据实际问题选择函数类型（共4小题） 8．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）． （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示） （2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小． 9．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长． （1）求今年起的前20个季度的总营业额； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？ 10．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量． （1）若交通流量，求道路密度的取值范围； （2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值． 11．（2020•上海）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离． （1）若，求、、的值，并写出的函数解析式； （2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？ 一．选择题（共4小题） 1．（2024•普陀区校级模拟）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•松江区校级模拟）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在，这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列正确的命题是　　 A．在，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标 D．甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强 3．（2024•普陀区校级模拟）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点．给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，，，则　　 A． B． C． D． 4．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，①若函数有最大值，并将其记为（a），则的最大值为，（a）的最小值为；②若函数有零点，并将零点个数记为（a），则函数（a）为偶函数　　 A．①成立 ②成立 B．①成立 ②不成立 C．①不成立 ②成立 D．①不成立 ②不成立 二．填空题（共16小题） 5．（2024•浦东新区校级模拟）方程的解是　　． 6．（2024•奉贤区三模）若函数为奇函数，则　　． 7．（2024•杨浦区二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 　　． 8．（2024•闵行区三模）对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义： ①小雨 ②中雨 ③大雨 ④暴雨 小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级 　　．（只填入雨水等级所对应的序号） 9．（2024•静安区二模）我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程．现将一边在轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点到“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 　　． 10．（2024•闵行区校级模拟）若，，则满足的的最大值为 　　． 11．（2024•闵行区校级三模）已知函数在上恰有5个零点，则实数的最大值为 　　． 12．（2024•长宁区二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量（单 7831 8225 8338 油费（元 107150 110264 110376 平均每单里程（公里） 15 15 15 平均每公里油费（元 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，，，，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为、、，则　　（精确到． 13．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸的处，河岸边处与处相距（其中，两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，供水站建在岸边距离处 　　才能使水管费用最省． 14．（2024•闵行区校级三模）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数的取值为 　　． 15．（2024•浦东新区校级四模）已知函数，给出下列四个结论： ①若有最小值，则的取值范围是； ②当时，若无实根，则的取值范围是，，； ③当时，不等式的解集为； ④当时，若存在，满足，则． 其中，所有正确结论的序号为 　　． 16．（2024•普陀区模拟）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是 　　． 17．（2024•杨浦区二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起．若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 　　． 18．（2024•青浦区二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的零点，则实数的取值范围是 　　． 19．（2024•黄浦区校级模拟）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 　　． 20．（2024•松江区校级模拟）已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为 　　． 三．解答题（共11小题） 21．（2024•宝山区三模）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为． （1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）； （2）当变化时，求的最大值及对应的值． 22．（2024•闵行区校级三模）如图所示，为沿海岸的高速路，海岛上码头离高速路最近点的距离是，在距离的处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点到的距离为，已知汽车速度为，快艇速度为．（参考数据： （1）写出运输时间关于的函数； （2）当选在何处时运输时间最短？ 23．（2024•虹口区模拟）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元． （1）试将表示为的函数，并写出的取值范围； （2）问当的长为多少时，能使总造价最小． 24．（2024•浦东新区二模）已知函数，其中． （1）求在，上的解； （2）已知，若关于的方在，时有解，求实数的取值范围． 25．（2024•长宁区校级三模）设函数的定义域为，对于区间，，若满足以下两个性质之一，则称区间是的一个“好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知函数，．分别判断区间，，区间，是否为的“好区间”，并说明理由； （2）已知，若区间，是函数，的一个“好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续的曲线，且对于任意，都有（a）（b），求证：存在“好区间”，且存在，为不属于的任意一个“好区间”． 26．（2024•浦东新区校级模拟）函数． （1）当时，是否存在实数，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数的取值范围． 27．（2024•金山区二模）已知函数，记，，，． （1）若函数的最小正周期为，当时，求和的值； （2）若，，函数有零点，求实数的取值范围． 28．（2024•静安区二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点．现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求： ①； ②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）； ③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道； ④在过桥的路面上骑车不颠簸． （1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； （2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） （3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 29．（2024•松江区校级模拟）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． （1）已知，求的不动点； （2）已知函数在定义域内单调递增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）已知，讨论函数的稳定点个数． 30．（2024•杨浦区校级三模）设函数定义域为．若整数、满足，则称与 “相关”于． （1）设，，写出所有与2“相关”于的整数； （2）设满足：任取不同的整数、，，与均“相关”于．求证：存在整数，，使得、、都与2024“相关”于； （3）是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与 “相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和0的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由． 31．（2024•黄浦区校级模拟）已知为实数．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”． （1）若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由； （2）证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有； （3）已知对任意，，都是的“正向数组”，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 函数的应用（真题4个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年春考9、16、21题 分段函数的应用，函数与方程的关系，函数与方程的综合运用 2023春考9、19题 函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型 2022秋考8题 2022春考21题 分段函数的应用 函数与方程的综合运用 2021年秋考19题 函数的实际应用 2020年秋考11、19题 2020年春考19题 函数的零点与方程根的关系，分段函数的实际应用 根据实际问题选择函数类型 一．函数的零点与方程根的关系（共2小题） 1．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为 　　． 【分析】分和分别求解即可． 【解答】解：当时，，解得； 当时，，解得（舍； 所以的解为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题． 2．（2020•上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件： （1）对任意的，的值为或； （2）关于的方程无实数解， 则的取值范围是　，，，　． 【分析】根据条件（1）可知或1，进而结合条件（2）可得的范围 【解答】解：根据条件（1）可得或（1）， 又因为关于的方程无实数解，所以或1， 故，，，， 故答案为：，，，． 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题． 二．函数与方程的综合运用（共3小题） 3．（2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论　　 （1）存在，；，与有无穷个交点 （2）存在，；，与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立 【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得是周期为1的周期函数，结合一次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，当时，与均为延展函数， 对于①，对于，， 则是周期为1的周期函数，其值域为， 因为，与不会有无穷个交点，所以（1）错； 对于②，当时，存在使得直线可以与在区间的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确． 故选：． 【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题． 4．（2022•上海）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数． （1）设，，为做变换后的结果，解方程：； （2）设，为做变换后的结果，解不等式：； （3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增． 【分析】（1）推导出，由此能求出． （2）推导出，当时，恒成立；当时，，由此能求出的解集． （3）先求出，从而，先求出，从而，由，得，再由在上单调递增，能证明函数在上单调递增． 【解答】解：（1），，为做变换后的结果，， ， 解得． （2），为做变换后的结果，， ， 当时，恒成立； 当时，， 解得，或， 综上，不等式：的解集为，，． （3）证明：先做变换后得到，再做变换后得到， ，， 先做变换后得到，再做变换后得到， ，， ，在上单调递增， ， 对恒成立， 函数在上单调递增． 【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 5．（2024•上海）记（a）（a），，（a）（a），． （1）若，求（1）和（1）； （2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”． 【分析】（1）根据条件，直接求出（1）和（1）即可； （2）由题意知，（a），，记，判断的单调性，求出极值，再对分类讨论，进一步证明结论成立即可； （3）必要性：若为偶函数，则，，（c）（c），，结合条件，得到（c）即可；充分性：若对于任意正实数，均有（c），其中，，（c）（c），，由有最小值，不妨设（a），进一步证明是偶函数即可． 【解答】解：（1）由题意，得（1），，； ． （2）证明：由题意知，（a），， 记，则或2． 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论，当，有，为严格增函数， 因为（a），所以此时（a），，符合条件； 当时，，先增后减，， 因为取等号），所以， 则此时（a），，也符合条件； 当时，，，在，严格增，在，严格减，在，严格增， ， 因为（a），当时，（a），则（a）， 则此时（a），，成立； 综上可知，对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）． （3）证明：必要性：若为偶函数， 则，，（c）（c），， 当，（c），因为，故（c）； 充分性：若对于任意正实数，均有（c）， 其中，，（c）（c），， 因为有最小值，不妨设（a）， 由于任意，令，则，，所以最小元素为（a）． （c）中最小元素为（c），又（c）（c）对任意成立， 所以（a）， 若，则（c）对任意成立是偶函数； 若，此后取，， 综上，任意，（c），即是偶函数． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题． 三．分段函数的应用（共2小题） 6．（2024•上海）已知，求的的取值范围 　，　． 【分析】根据已知求得，再分以及分别求解即可． 【解答】解：根据题意知， 所以当时，，解得，； 同理当时，，解得； 综上所述：，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查分段函数的相关知识，考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题． 7．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为 　1　． 【分析】由题意，利用奇函数的定义可得，故有（1），由此求得的值． 【解答】解：函数，为奇函数，， （1），，即，求得或． 当时，，不是奇函数，故； 当时，，是奇函数，故满足条件， 综上，， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题． 四．根据实际问题选择函数类型（共4小题） 8．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）． （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示） （2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小． 【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中的定义求解即可； （2）利用导函数求的单调性，即可求出最小时的值． 【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得： ， 所以． （2）由题意可得，， 所以， 令，解得， 所以在，单调递减，在，单调递增， 所以的最小值在或7取得， 当时，， 当时，， 所以在时，该建筑体最小． 【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题． 9．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长． （1）求今年起的前20个季度的总营业额； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？ 【分析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项，公差，再利用等差数列的前项和公式求解即可． （2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，则，令，，递推作差可得当时，递减；当时，递增，注意到（1），所以若，则只需考虑的情况即可，再验证出，，即可得到利润首次超过该季度营业额的的时间． 解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，则，所以数列满足，再由，的值即可判断出结果． 【解答】解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列， 则首项，公差， ， 即营业额前20季度的和为31.5亿元． （2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的， 则， 令，， 即要解， 则当时，， 令，解得：， 即当时，递减；当时，递增， 由于（1），因此的解只能在时取得， 经检验，，， 所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的． 解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为， 则， 数列满足， 注意到，，， 今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的． 【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题． 10．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量． （1）若交通流量，求道路密度的取值范围； （2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值． 【分析】（1）由交通流量随着道路密度的增大而减小，知是单调递减函数，进而知，于是只需，解不等式即可； （2）把，代入的解析式中，求出的值，利用可得到关于的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上的最大值，取较大者即可． 【解答】解：（1）按实际情况而言，交通流量随着道路密度的增大而减小， 故是单调递减函数， 所以， 当时，最大为85， 于是只需令，解得， 故道路密度的取值范围为． （2）把，代入中， 得，解得． ， ①当时，， ． ②当时，是关于的二次函数，， 对称轴为，此时有最大值，为． 综上所述，车辆密度的最大值为． 【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题． 11．（2020•上海）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离． （1）若，求、、的值，并写出的函数解析式； （2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？ 【分析】（1）利用题目所给定义表示出，，分类讨论可得； （2）利用题意可得，表示出与坐标轴围成的面积，进而表示出面积不等式，解出不等式即可 【解答】解：（1）投放点，，表示与距离最近的投放点（即的距离， 所以，同理分析，，， 由题意得，，， 则当，即时，； 当，即时，； 综上； （2）由题意得，， 所以，则与坐标轴围成的面积如阴影部分所示， 所以， 由题意，，即， 解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利． 【点评】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题． 一．选择题（共4小题） 1．（2024•普陀区校级模拟）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是　　 A． B． C． D． 【分析】由二分法求函数零点的条件即可得解． 【解答】解：当函数的图象在轴的同一侧时，不能用二分法进行求解， 选项、、的图象均在轴的两侧，可用二分法求解， 只有选项的图象在轴的同一侧，不能用二分法求解． 故选：． 【点评】本题考查用二分法求函数的近似零点，属于基础题． 2．（2024•松江区校级模拟）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在，这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列正确的命题是　　 A．在，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标 D．甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强 【分析】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力． 【解答】解：设甲企业的污水排放量与时间的关系为，乙企业的污水排放量与时间的关系为， 对于选项，在，这段时间内，甲企业的污水治理能力， 乙企业的污水治理能力．由图可知，， 所以，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故选项错误； 对于选项，由图可知，在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率， 但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故选项错误； 对于选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， 故甲、乙两企业的污水排放都达标，故选项错误； 对于选项，由图可知，甲企业在，，，，，这三段时间中， 在，时的污水治理能力最强，故选项正确， 故选：． 【点评】本题考查利用数学解决实际生活问题，考查读图和识图能力，属于中档题． 3．（2024•普陀区校级模拟）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点．给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知可得，则，．然后证明在上恒成立．令，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，即可得出令，根据导函数可得在上单调递减，即可推得． 【解答】解：由已知可得，，则， 且，所以． 又，． 令，，则恒成立， 所以，在上单调递增，所以，所以． 所以，，即． 令，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，且， 根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以在上单调递减． 又，，所以． 因为在上单调递减，，所以． 又，所以，即． 令，，则恒成立， 所以，在上单调递减． 又，， 所以． 综上可得，． 故选：． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，证明在上恒成立．然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系，属于中档题． 4．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，①若函数有最大值，并将其记为（a），则的最大值为，（a）的最小值为；②若函数有零点，并将零点个数记为（a），则函数（a）为偶函数　　 A．①成立 ②成立 B．①成立 ②不成立 C．①不成立 ②成立 D．①不成立 ②不成立 【分析】求函数，的极大值2及对应的值，再按，，讨论取得最大值的条件，函数（a）的最小值判断①；再取，，分别求出函数的零点个数判断②即可． 【解答】解：令，， 求导得，当或时，， 当时，，即函数在， 上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，当时，取得极大值（1）， 令，即，整理得，解得， 当时，函数在，上单调递减，在上单调递增， 由函数有最大值，得，则，（a）（a）； 当时，函数在，上的最大值为2， 若，则，因此当时，（a）； 当时，，，恒成立， 而在，上单调递减，（a）， 显然，有， 因此当时，（a）， 于是， 此时的最大值为，显然（a）在上单调递减，（a），在上单调递减，， 所以函数（a）在，上有最小值，命题①成立； 当时，，由，得 或 解得， 即函数只有一个零点，因此（2），当时，， 由，得或，解得或，即函数有3个零点， 因此，显然（2）， 所以（a）不是偶函数，命题②不成立． 故选：． 【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题． 二．填空题（共16小题） 5．（2024•浦东新区校级模拟）方程的解是　3　． 【分析】解关于对数的方程，求出的值即可． 【解答】解：， ， ，解得：， 故答案为：3． 【点评】本题考查了解对数的运算，考查解对数方程问题，是一道基础题． 6．（2024•奉贤区三模）若函数为奇函数，则　3　． 【分析】根据题意，当时，，求出、的表达式，由奇函数的定义分析可得、、的值，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设， 当时，， 则，， 又由为奇函数，则恒成立， 必有，，， 则． 故答案为：3． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 7．（2024•杨浦区二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 　　． 【分析】根据题意，当时，，求出此时的值域，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，当时，， 当时，有，则有， 又由为奇函数，则时，为值域为． 故答案为：． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域，属于基础题． 8．（2024•闵行区三模）对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义： ①小雨 ②中雨 ③大雨 ④暴雨 小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级 　②　．（只填入雨水等级所对应的序号） 【分析】由圆锥的体积公式，求出雨水的体积，再除以圆的面积，即可求解． 【解答】解：设圆锥形容器中积水水面半径为，则，解得， 所以积水厚度为， 所以． 所以一天的雨水属于中雨． 故答案为：②． 【点评】本题考查圆锥的体积计算，考查分析问题解决问题以及运算求解能力，属于基础题． 9．（2024•静安区二模）我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程．现将一边在轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点到“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 　　． 【分析】由方程得，则曲线上的任意一点求出的最小值为，即可求出心吧面积的最大值． 【解答】解：由，时， 则曲线上的任意一点，， 有， 的最小值为，所以最小值为， 当时，心吧面积的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了两点间的距离公式应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题． 10．（2024•闵行区校级模拟）若，，则满足的的最大值为 　　． 【分析】根据指数函数的图象与性质，判断出在上先减后增，结合为偶函数建立关于的不等式，解之可得的最大值． 【解答】解：当时，，为，上的增函数， 当时，，为上的减函数． 而对任意成立，所以为上的偶函数， 因此，不等式等价于， 即，解得，即实数的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数的图象与性质、函数的单调性与奇偶性、分段函数及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 11．（2024•闵行区校级三模）已知函数在上恰有5个零点，则实数的最大值为 　　． 【分析】根据正弦的二倍角公式可得或，进而可得的零点情况，结合区间即可确定的最大值． 【解答】解：由得，令，可得，解得或， 当，，，当时，或，， 所以当，，的零点按从小到大排列有：，，，，0，，，，， 故在上恰有5个零点，则这5个零点为，，0，，， 故的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及二倍角公式及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 12．（2024•长宁区二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量（单 7831 8225 8338 油费（元 107150 110264 110376 平均每单里程（公里） 15 15 15 平均每公里油费（元 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，，，，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为、、，则　20.68　（精确到． 【分析】根据甲乙两车的空驶率可得空驶率的模型，再将丙车的相关数据代入求解即可． 【解答】解：由题意可知甲车行驶的总里程为：（公里）， 甲车接单行驶的总里程为：（公里）， 所以甲车没有载客行驶的总里程为：（公里）， 所以甲车的空驶率； 同理可得乙车的空驶率为； 由此可得空驶率的模型； 所以丙车的空驶率为． 故答案为：20.68． 【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了学生的计算能力，属于中档题． 13．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸的处，河岸边处与处相距（其中，两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，供水站建在岸边距离处 　20　才能使水管费用最省． 【分析】根据题意建立数学模型，通过适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出最值，可确定供水站的位置． 【解答】解：根据题意可知点在线段上某一适当位置时，才能使总运费最省， 设点距点，则，， ， 又设总的水管费用为元， 由题意得， 令，解得， 在上，只有一个极值点， 根据实际意义，函数在处取得最小值， 此时， 故供水站建在岸边、之间距甲厂处，能使铺设水管的费用最省． 故答案为：20． 【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，导数的综合运用，属于中档题． 14．（2024•闵行区校级三模）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数的取值为 　　． 【分析】函数的零点，即的零点，由于，则零点一共有3个，即可转化为时，有一个根即可，整理成方程以在时有一个根，令，求，判断函数的单调性及取值情况，即可得的取值． 【解答】解：的零点满足， 即的根， 由于， 所以， 则是的一个根； 所以的根三个，则满足当时，有一个根即可， 又时，，所以， 所以在时有一个根，即在时有一个根， 令， 所以， 令，得， 所以时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增； 又趋于0，趋于；比增长的快， 所以趋于，趋于． 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及导数的综合运用，属于中档题． 15．（2024•浦东新区校级四模）已知函数，给出下列四个结论： ①若有最小值，则的取值范围是； ②当时，若无实根，则的取值范围是，，； ③当时，不等式的解集为； ④当时，若存在，满足，则． 其中，所有正确结论的序号为 　②③④　． 【分析】①若有最小值，则，当时，求出函数的最小值，当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，从而列出不等式组，解此不等式组，即可求得结果； ②当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，根据无实根，求出的范围； ③当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，从而得出在单调递减，利用单调性解不等式； ④当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，若存在，满足，则，， 利用分析法和函数的单调性，构造函数，，利用导数研究该函数的单调性，即可证明结论． 【解答】解：①若有最小值，则， 当时，当时，， 当时，在，单调递减，， 当时，在单调递减，， 有最小值； 当时， 当时，在单调递减，， 当时，在，单调递减，， 当时，在单调递减，， ，解得， 综上，有最小值，则的取值范围是，故①错误； ②当时，当时，在单调递增，， 当时，在，单调递减，， 当时，在单调递减，， 若无实根，则的取值范围是，，，故②正确； ③当时，当时，在，单调递减，， 当时，在单调递减，， 在，单调递减， ，， ，解得，故③正确； ④当时，当时，在单调递增，当时，在，单调递减， 若存在，满足， 则，， 要证，即证， 而在单调递增，， 令，， ， 在，单调递增，， 成立， ，故④正确． 故答案为：②③④． 【点评】本题考查分段函数单调性及应用，函数零点，极值点偏移问题，属中档题． 16．（2024•普陀区模拟）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是 　　． 【分析】原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，在下方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解． 【解答】解：原不等式可化为：， 令，，显然时，，递减；时，，递增， 所以，且时，， 同一坐标系中，做出与（过定点的图象： 据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查函数零点个数的判断方法，数形结合思想的应用，属于中档题． 17．（2024•杨浦区二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起．若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 　134　． 【分析】设最下层堆放的钢管为，共堆放了层，可得每一次堆放的钢管数为，由题意可得，即，再根据与的奇偶性不同及，分、和、分别求解即可． 【解答】解：设最下层堆放的钢管为，共堆放了层， 则每一次堆放的钢管数为以为首项，为公差的等差数列， 即， 又因为共有2024根钢管， 所以， 即， 因为与的奇偶性不同， 所以与的奇偶性不同， 又因为， 所以当时，，解得， 此时最上层有119根， 等腰梯形的上底为，下底为，两腰长为， 求得等腰梯形的高为：，满足题意； 当时，，解得， 此时最上层有，不符题意． 综上， 即最下层圆钢根数为134． 故答案为：134． 【点评】本题考查了数列在生活实际中的应用，考查了等差数列的求和公式及通项公式，属于中档题． 18．（2024•青浦区二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的零点，则实数的取值范围是 　　． 【分析】结合函数的性质分析函数的特征，作出函数的图象，关于的方程有两个不同的零点转化为与有两个交点，结合函数图象即可求解． 【解答】解：①当时，函数 单调递减可得：； ②当时，由函数单调递增可得：， 作出函数的图象， 由图象可知：由，可得， 故当 时，函数与的图象有且只有两个交点， 满足关于的方程有两个不同的实根的实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了由方程根的个数求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题． 19．（2024•黄浦区校级模拟）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】通过讨论和1的大小，结合函数图像即可求解结论． 【解答】解：函数， 由，得， 当时，，不等式无解； 当时，由得，此时不合题意． 当时，由得， 若不等式恰有一个整数解，则整数解为， 又，，再结合图像知， ， 综上所述，实数的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查函数性质的综合应用，考查数形结合思想，属于中档题． 20．（2024•松江区校级模拟）已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为 　　． 【分析】根据题意，不妨设，分类讨论当，，三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出和的值，即可得出的值的集合． 【解答】解：由题可知，不妨设， 对于，对任意实数，，方程有解， 当时，方程可化为有解， 所以恒成立，所以； 当时，同上； 当时，方程可化为有解，所以，， 综上得：； 对于，对任意实数，，方程也有解， 当时，方程可化为有解，所以，； 当时，同上； 当时，方程可化为有解， 所以恒成立，所以， 所以的值的集合为． 故答案为：． 【点评】本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设，以及分类讨论与，的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力． 三．解答题（共11小题） 21．（2024•宝山区三模）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为． （1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）； （2）当变化时，求的最大值及对应的值． 【分析】（1）设正方形的边长为，则，，计算得到，代入数据计算得到答案． （2）确定，，计算，根据函数的单调性计算最值得到答案． 【解答】解：（1）设正方形的边长为，则，， 则，，，即， 整理得到， 当时，． （2），，，则，，， 则， 令， 在，上单调递减，故， 故的最大值为，此时，，故． 【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题． 22．（2024•闵行区校级三模）如图所示，为沿海岸的高速路，海岛上码头离高速路最近点的距离是，在距离的处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点到的距离为，已知汽车速度为，快艇速度为．（参考数据： （1）写出运输时间关于的函数； （2）当选在何处时运输时间最短？ 【分析】（1）根据题意先求出和，然后利用勾股定理以及时间距离速度，即可得到答案； （2）对进行求导，利用导数求解函数单调性，从而得到函数的最值，即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意知， ； （2）， 令，得， 当时，，当时，， 所以时，取最小值， 所以当点选在距点时运输时间最短． 【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题． 23．（2024•虹口区模拟）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元． （1）试将表示为的函数，并写出的取值范围； （2）问当的长为多少时，能使总造价最小． 【分析】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得，而切线长需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得的取值范围； （2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可得答案． 【解答】（1）解：过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 在中，，则， 在中，，则， 由题意易得， 所以，； （2），令，得，又，所以， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，总造价最小，最小值为，此时， 所以当米时，能使总造价最小． 【点评】本题考查了三角函数在实际生活中的应用，属于中档题． 24．（2024•浦东新区二模）已知函数，其中． （1）求在，上的解； （2）已知，若关于的方在，时有解，求实数的取值范围． 【分析】（1）由特殊角的正弦函数值，可得所求解； （2）运用二倍角的三角函数公式和辅助角公式，结合正弦函数的图象可得所求取值范围． 【解答】解：（1）， 可得，或，即，或，， 则在，上的解为，； （2） ， 关于的方程，即在，时有解． 由，，可得，，，， 所以，的取值范围是，． 【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，以及方程的根的个数，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 25．（2024•长宁区校级三模）设函数的定义域为，对于区间，，若满足以下两个性质之一，则称区间是的一个“好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知函数，．分别判断区间，，区间，是否为的“好区间”，并说明理由； （2）已知，若区间，是函数，的一个“好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续的曲线，且对于任意，都有（a）（b），求证：存在“好区间”，且存在，为不属于的任意一个“好区间”． 【分析】（1）由“好区间”的定义判断即可； （2）利用导数求出函数的单调区间及极值，根据“好区间”的定义可判断出上满足性质②，再由，，，求解即可； （3）由题意可得在任意区间，上对应的函数值区间长度必大于，从而可得在任意区间，上都不满足性质①，且在上单调递减，即有即存在，分，，证明即可． 【解答】解：（1）， 当，时，，，满足性质①， 所以，是的“好区间”； 当，时，，， 既不满足性质①，也不满足性质②， 所以，不是的“好区间”； （2）， 0 3 0 12 单调递减 极小值3 单调递增 若在区间，上满足性质①，则，，， 而，，， 所以在区间，上不满足性质① 若在区间上满足性质②， 当时，（3）， 所以，，， 当时，因为（3），所以不符合； 综上所述，实数的取值范围是； （3）证明：因为任意，都有（a）（b）． 所以在任意区间，上对应的函数值区间长度必大于， 即在任意区间，上都不满足性质①， 因为对于任意，都有（a）（b）， 所以在上单调递减， 所以不恒成立，即存在， 若， 取，则（a）（b）， 在区间，上对应函数值的区间（b），（a）， （b），（a），， 所以，是一个“好区间”； 若， 取， 则（b）（a）， 在区间，上对应函数值的区间（b），（a）， （b），（a），， ，是一个“好区间”； 所以存在“好区间”； 记， 因为在上单调递减，所以在上单调递减； 又图像是一条连续的曲线， 所以图像也是一条连续的曲线， 先证明有零点， 设， 若，则有零点为， 若，则，，，在区间上有零点； 若，则，，，在区间上有零点； 所以必有零点，记为， 即的“好区间” 都满足性质②， 所以不属于任意一个“好区间”． 【点评】本题属于新概念题，考查了导数的综合应用、分类讨论思想，理解定义是关键，属于中档题． 26．（2024•浦东新区校级模拟）函数． （1）当时，是否存在实数，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数的取值范围． 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先把点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，函数， 当时，，定义域为，，， 假设为奇函数，则（1）， 而（1），，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为，，， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或． 由题意得，所以实数的取值范团且，即的取值范围为且． 【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性的性质，属于中档题． 27．（2024•金山区二模）已知函数，记，，，． （1）若函数的最小正周期为，当时，求和的值； （2）若，，函数有零点，求实数的取值范围． 【分析】（1）由周期公式求解，由，求解； （2）设，将问题转化为，在，有解，结合二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 又因为当时，， 所以，得， 因为，所以取， 得， 所以，； （2）当，时，，， 设． 由题意得，在，有解． 即， 又因为在，上单调递减， 所以，． 【点评】本题考查了三角函数的性质、二次函数的性质及转化思想，属于中档题． 28．（2024•静安区二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点．现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求： ①； ②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）； ③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道； ④在过桥的路面上骑车不颠簸． （1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； （2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米） （3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）． 【分析】（1）以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可得圆的方程，从而得答案； （2）由题意可得点坐标，进而可得圆弧的长度，由，的坐标可得圆弧的长，即可得答案； （3）让桥的侧面所在平面垂直于地平面，从而可得几何体，提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？ 方案1：由求解即可； 方案2：由求解即可． 【解答】解：（1）如图，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系． 则圆的方程为； 由，， 得，． 过点作圆的切线，切点为， 则直线的斜率为，其方程为． 所以直线的斜率为，其方程为， 将其代入，得点的坐标为． 经过点作圆与圆切于点（圆与轴的交点）， 设圆的半径为， 则，即，解得． 所以圆的方程为， 故用函数表示过桥道路为：； （2）由点的坐标为，得， 所以圆弧的长为， 由点的坐标为，点的坐标为，得， 所以圆弧的长为， 故过桥道路的总长度为； （3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面， 则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面，高为10米的柱体； 桥拱右侧铺设的是以曲边形为底面，高为10米的柱体； 提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？ 方案， 所以铺设过桥路需要混凝土为． 方案， 所以铺设过桥路需要混凝土． 【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 29．（2024•松江区校级模拟）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． （1）已知，求的不动点； （2）已知函数在定义域内单调递增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）已知，讨论函数的稳定点个数． 【分析】（1）设，判断该函数单调性，确定其解，即可求得答案； （2）根据函数新定义的含义，结合充分性以及必要性的证明，即可证明结论； （3）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数． 【解答】解：（1）设，则恒成立， 故函数在上单调递增， 又（1），故函数在上有唯一零点， 即有唯一不动点1； （2）证明：充分性：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，充分性成立； 必要性：设为函数的稳定点，即， 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即， 即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令， 则，则在上单调递减， ①当时，恒成立，即在上单调递增， 当无限接近于0时，趋向于负无穷小，且， 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点； ②当时，即时，， 当趋向无穷大时，趋近于0，此时， 存在唯一，使得， 此时在上单调递增，在，上单调递减， 故， 当趋近于0时，趋向于负无穷大，当趋向正无穷大时，趋向于负无穷大， 设，则在上单调递增，且， 又在时单调递增， 故当时，即， 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； 当，即， 此时，方程无解，即无不动点； 当时，即， 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当，有两个稳定点． 【点评】本题考查了函数新定义问题，考查了分类讨论思想、导数的综合运用及逻辑思维能力，属于难题． 30．（2024•杨浦区校级三模）设函数定义域为．若整数、满足，则称与 “相关”于． （1）设，，写出所有与2“相关”于的整数； （2）设满足：任取不同的整数、，，与均“相关”于．求证：存在整数，，使得、、都与2024“相关”于； （3）是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与 “相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和0的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由． 【分析】（1）直接根据定义解不等式即可； （2）根据定义可以确定（1），（2），，中至多有两个非零数，再直接推知结论； （3）对命题进行等价转化，然后使用分类讨论方法即可确定的取值范围，并得到． 【解答】解：（1）若要整数与2“相关”于，即（2）， 由于（2），故这等价于，即， 得到满足条件的全部为，，，0，1． （2）由题意知，（1），（2），，这十个数中，任取其中两个，其乘积都不为正数， 这意味着，这十个数中至多有一个正数，也至多有一个负数， 所以这十个数中至多有两个数不等于零． 假设（1），（2），（3）不全为零， （4），（5），（6）不全为零， （7），（8），（9）也不全为零． 那么这十个数中已经出现了三个不为零的数，矛盾． 所以必定存在整数，4，，，使得， 此时， 所以，，都与2024“相关”于． （3）原条件等价于下列两个命题之一成立： ①存在使得且集合，是非空有限集； ②存在使得，且集合，是非空有限集． 设，则， 从而当时，当时， 所以在，上递增，在，上递减，从而． 对求导可得． 若，则当时，由且知， ； 当时，有， 所以，， 从而，都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立； 若， 则当时，得； 当时，由有， ， 所以在，上递减， 从而对有（1）， 所以对任意都有，从而命题①不成立； 而同时这意味着包含一切非零整数，所以命题②不成立； 若，则当时，由， 得； 当时，由知， 从而， 故，从而一定是有限集． 而， 因为，，所以，从而一定是非空有限集． 同时，上面已经证明，所以此时命题②成立； 若，则当时，有； 当时，有． 所以，，从而，都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立． 综上，的取值范围是，且此时存在使得， 且集合，是非空有限集． 这表明对每个满足条件的，都有． 【点评】本题考查了函数性质的综合应用，考查了函数思想．属于难题． 31．（2024•黄浦区校级模拟）已知为实数．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”． （1）若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由； （2）证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有； （3）已知对任意，，都是的“正向数组”，求的取值范围． 【分析】（1）代入有，根据函数性质得到的正负时不同取值情况即可； （2）假设存在，使得，通过正向数组定义转化得对任意，恒成立，设，再利用函数的性质即可证明假没不成立： （3）代入有恒成立或恒成立，设，求出是的最大值或最小值时的取值范围即可． 【解答】（1）解：若，， 对，，，即， 而当，时， ，， 即，不满足题意， 所以不是的“正向数组“； （2）证明：假设存在，使得， 为的“正向数组“， 对任意，都有， 对任意，恒成立， 令，则在上恒成立， ， 设， 则， 则当时，在上为负，在上为正， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，当，，当，， 即存在，使在上为正，在，上为负，在，上为正， 所以在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增， 又当，，当，，则的值域为， 若，，在上单调递增， 又当，，当，，则的值域为， 当时，，在上单调递增， 又当，，当，，则的值域为，， 由值域可看出，与在上恒成立矛盾． 对任意，都有； （3），都是的“正向数组”， 对任意，，都有， 则恒成立或恒成立， 即恒成立或恒成立， 设， 则， 即是的最大值或最小值， ， 且， 当时，由（2）可得，的值域为，无最大值或最小值， 当时，在上单调递增， 又，则在上为负，在，上为正， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 则是的最小值，满足， 此时对任意，，都有 ， 的取值范围是，． 【点评】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，含参分类讨论求函数的单调区间，函数新定义，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$