22.1 二次函数的图像和性质（检测卷）-2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷

2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷【第2章《二次函数》】 22.1 二次函数的图像和性质 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.52（较难） 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•海曙区校级期末）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2024•游仙区模拟）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2分）（2023秋•青阳县期末）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2024•珠晖区一模）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2024•市南区三模）如图为二次函数．．则下列结论正确的有①②； ③为任意实数，则；④； ⑤若，且，则．　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2分）（2024•乌当区一模）将的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2023秋•武汉期末）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2024•城厢区校级一模）已知点，，，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 9．（2分）（2024•远安县模拟）已知两个二次函数，的图象如图所示，那么函数，，，为常数）的大致图象可能为　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2024•长清区一模）定义：在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2023秋•鼓楼区期末）请写出一个二次函数表达式，使其图象的对称轴为轴：　　． 12．（2分）（2024•二道区校级模拟）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 　　． 13．（2分）（2023秋•靖宇县期末）已知抛物线过、、三点，则、、的大小关系是　 　（用“”连接）． 14．（2分）（2024•二道区校级模拟）抛物线的图象与直线有且只有一个公共点时，　　． 15．（2分）（2024•武汉模拟）已知关于的函数，有下列结论： ①当时，随增大而减小； ②函数的图象是轴对称图形； ③点，，，是函数的图象上不同的两点，则； ④函数的最小值为． 其中正确的结论是 　　．（填写序号） 16．（2分）（2024•龙沙区二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是 　　． 17．（2分）（2024•乌兰浩特市模拟）如图，已知坐标平面上有一顶点为的抛物线，点坐标为，若此抛物线又与直线交于、两点，且为正三角形，则可求得此抛物线与轴的交点坐标为 　　． 18．（2分）（2024•鼓楼区校级模拟）直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则　　． 19．（2分）（2022秋•朝阳区校级期末）如图，平行于轴的直线分别交抛物线与于、两点，过点作轴的平行线交于点，直线，交于点，则　　． 20．（2分）（2021•郧西县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•大观区校级二模）已知二次函数的图象经过、两点． （1）求该函数解析式； （2）已知点，、，都在该函数图象上； ①若，，比较与的大小，并说明理由； ②若，求的最小值． 22．（6分）（2024•丛台区校级二模）抛物线与直线交于、两点，且． （1）求和的值（用含的代数式表示； （2）当时，抛物线与轴的另一个交点为． ①求△的面积； ②当时，则的取值范围是 　　． （3）抛物线的顶点，求出与的函数关系式；当为何值时，点达到最高． （4）在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当时，直接写出“美点”的个数 　　． 23．（8分）（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为． （1）求、、三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过、、三点，其中，该函数图象与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． ①若点的坐标为，则　　； ②求的取值范围； ③求的最大值． 24．（8分）（2024春•丰城市校级月考）如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则　　； （2）当抛物线是“美丽抛物线”时，则　　； （3）若抛物线是“美丽抛物线”，求，之间的数量关系． 25．（8分）（2024•鹤山市一模）抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标． （2）如图，在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为，把该胶片绕点顺时针旋转，得到矩形胶片以及对应的图象． ①求旋转过程中扫过的面积； ②求图象所在的抛物线的解析式． 26．（8分）（2024•唐山二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）写出抛物线的对称轴，并求的值； （2）平行于轴的直线交抛物线于点，（点在点的左边），交线段于点．当为线段的中点时，求点的坐标； （3）将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； （4）是抛物线上任意一点（不与点重合），点的横坐标为．过点作轴于点，为轴上的一点，纵坐标为．以，为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 27．（8分）（2024•钢城区校级三模）抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）如图1，线段下方抛物线上是否存在一点，使若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，是抛物线的顶点，是抛物线第二象限上的点，连接，．当时，求点的坐标． 28．（8分）（2024•芝罘区二模）如图，抛物线过，，其对称轴交轴于点，是对称轴上一动点， 于点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断的形状，并证明； （3）是否存在点的位置，使与相似？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷【第2章《二次函数》】 22.1 二次函数的图像和性质 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.52（较难） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•海曙区校级期末）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 解：二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， ，且到对称轴距离越大，函数值越大， ； 故选：． 2．（2分）（2024•游仙区模拟）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 解：①由图象可知：，， 对称轴为直线：， ， ，故①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，则与的函数值相等， 当时，，故③错误； ④当时，， ，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选：． 3．（2分）（2023秋•青阳县期末）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是　　 A． B． C． D． 解：将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的函数解析式为：，即． 故选：． 4．（2分）（2024•珠晖区一模）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 解：二次函数， ，开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ， ， ，，， ， ， 故选：． 5．（2分）（2024•市南区三模）如图为二次函数．．则下列结论正确的有①②； ③为任意实数，则；④； ⑤若，且，则．　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：①抛物线开口方向向上，则． 抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即． 抛物线与轴交于轴负半轴，则， 所以． 故①错误； ②抛物线对称轴为直线， ，即， 故②正确； ③抛物线对称轴为直线， 函数的最小值为：， 为任意实数时，，即， 故③正确； ④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧， 当时，， ， 故④正确； ⑤， ， ， ， 而， ，即， ， ， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②③④⑤，共4个； 故选：． 6．（2分）（2024•乌当区一模）将的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为　　 A． B． C． D． 解；将的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式是，即． 所以其顶点坐标是． 由于该函数图象开口方向向下， 所以，所得函数的最大值是． 故选：． 7．（2分）（2023秋•武汉期末）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 解：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 点、、到对称轴的距离分别为2、1、3， ． 故选：． 8．（2分）（2024•城厢区校级一模）已知点，，，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 解：由可得， ， 整理，得：， 且， 当时，则， 即， 解得， ． 当时，则，此时无解； 由上可得，， 故选：． 9．（2分）（2024•远安县模拟）已知两个二次函数，的图象如图所示，那么函数，，，为常数）的大致图象可能为　　 A． B． C． D． 解：根据二次函数，的图象可得， ， 则函数，，，为常数）是二次函数，函数的开口向下， 故选：． 10．（2分）（2024•长清区一模）定义：在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 解：由题意方程组只有一组实数解， 消去得， 由题意得△， ， ，即， 方程可以化为， 即， ， ，， 点在第一象限， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 随的增大而增大， 时，， 时，， ． 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2023秋•鼓楼区期末）请写出一个二次函数表达式，使其图象的对称轴为轴：　（答案不唯一）　． 解：图象的对称轴是轴， 函数表达式（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2分）（2024•二道区校级模拟）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 　或　． 解：， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为， 当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 13．（2分）（2023秋•靖宇县期末）已知抛物线过、、三点，则、、的大小关系是　　（用“”连接）． 解： 过、、三点， ，，， ， ， ， 故答案为：． 14．（2分）（2024•二道区校级模拟）抛物线的图象与直线有且只有一个公共点时，　4　． 解：由题意，的图象与直线有且只有一个公共点， 令，得方程． △． ． 故答案为：4． 15．（2分）（2024•武汉模拟）已知关于的函数，有下列结论： ①当时，随增大而减小； ②函数的图象是轴对称图形； ③点，，，是函数的图象上不同的两点，则； ④函数的最小值为． 其中正确的结论是 　①③④　．（填写序号） 解：， 其图象如下： 当时，随增大而减小；故①符合题意； 函数的图象不是轴对称图形；故②不符合题意； 点，，，是函数的图象上不同的两点，当时， 而抛物线的对称轴为直线， ， 当时， 即， 解得：， 当即， 解得：， ， ；故③符合题意； 当时，函数最小值为， 函数的最小值为，故④符合题意； 故答案为：①③④ 16．（2分）（2024•龙沙区二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上．按此规律类推，第2024个正方形的边长是 　　． 解：根据题意，，即直线是第一象限的角平分线，则解析式为， 联立， 解得或． 故， ，，即第1个正方形边长为． ， 直线的解析式中的系数与直线的解析式中系数相等，且经过． 直线的解析式为， 联立， 解得或． 故， ，，即第2个正方形边长为． ， 直线的解析式中的系数与直线的解析式中系数相等，且经过， 直线的解析式为， 联立， 解得或． 故． ，，即第3个正方形边长为． 按此规律类推，第个正方形的边长为． 第2024个正方形的边长是． 故答案为：． 17．（2分）（2024•乌兰浩特市模拟）如图，已知坐标平面上有一顶点为的抛物线，点坐标为，若此抛物线又与直线交于、两点，且为正三角形，则可求得此抛物线与轴的交点坐标为 　　． 解：顶点点坐标为， 可设抛物线的解析式为：； 设，， ， 过作于点，则，， 为正三角形， ， 点坐标为， ，， 抛物线的解析式为， ， ， ， 当时，， 抛物线与轴的交点为， 故答案为：． 18．（2分）（2024•鼓楼区校级模拟）直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则　1或．　． 解：由，可得直线与抛物线交于点， ①直线与轴重合满足题意，则直线与轴交点为，如图， ，， 为等腰直角三角形， ， 点坐标为， 将代入得， 解得． ②设直线解析式为， 令， △， 当时满足题意． ， 把代入得， 直线与轴交点坐标为，，即， 作交直线于点，过点作轴于点， ， ， ，， ， 又， ， ，， ， 点坐标为，． 将，代入得， 解得． 故答案为：1或． 19．（2分）（2022秋•朝阳区校级期末）如图，平行于轴的直线分别交抛物线与于、两点，过点作轴的平行线交于点，直线，交于点，则　　． 解：设点坐标为，， 则，解得， 点，，， 则， 点，， ． 轴， 点的横坐标与点的横坐标相同，为， ， 点的坐标为，． ， 点的纵坐标为， ， ， 点的坐标为，， ， ． 故答案为：． 20．（2分）（2021•郧西县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为　2　． 解：， 则抛物线的顶点坐标为， 当点在抛物线的顶点时，最小，最小值为2， 四边形是矩形， ， 对角线的最小值为2， 故答案为：2． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•大观区校级二模）已知二次函数的图象经过、两点． （1）求该函数解析式； （2）已知点，、，都在该函数图象上； ①若，，比较与的大小，并说明理由； ②若，求的最小值． 解（1）解：把、代入中得：， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：①，理由如下： ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，函数值越大， ，， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值0． 22．（6分）（2024•丛台区校级二模）抛物线与直线交于、两点，且． （1）求和的值（用含的代数式表示； （2）当时，抛物线与轴的另一个交点为． ①求△的面积； ②当时，则的取值范围是 　　． （3）抛物线的顶点，求出与的函数关系式；当为何值时，点达到最高． （4）在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当时，直接写出“美点”的个数 　　． 解：（1）将点代入直线， ， ， 将点代入抛物线， ， ， 综上，，． （2）①当时，， 抛物线的解析式为：， 令，则或， ， 令，解得：或， ， ． ②当时， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为：． （3）抛物线， 抛物线的顶点为， ， ， 当时，的最大值为0，此时点达到最高． （4）当时，抛物线，直线， 由得，，， 抛物线和直线的交点是和， 当时，在和上的边界上，当横坐标是整数时，纵坐标也是整数， “美点”共有：个． 23．（8分）（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为． （1）求、、三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过、、三点，其中，该函数图象与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． ①若点的坐标为，则　6　； ②求的取值范围； ③求的最大值． 解：（1）二次函数的图象的顶点为， ； 令，解得或， ，； （2）①由题知，该函数过点，，， 函数的解析式为：， 函数的对称轴为直线， ，， 点，关于对称轴对称， ， ， 故答案为：6； ②方法一、点在线段上， ， 点到对称轴的距离小于2， 设该二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为， ， ， 根据对称轴的性质，得， ； 方法二、 设二次函数的解析式为：， 将，，两点代入，得， ， ， ， 二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，， ，两点关于对称轴对称，点， ， 点在线段上，且与端点不重合， ，即， 时，过点，，三点的二次函数不存在， 且； ③，， ． ， 且， 时，有最大值，最大值为4． 24．（8分）（2024春•丰城市校级月考）如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则　　； （2）当抛物线是“美丽抛物线”时，则　　； （3）若抛物线是“美丽抛物线”，求，之间的数量关系． 解：（1）， 抛物线顶点坐标为， 点坐标为， 点坐标为，点坐标为， 将代入得， 解得， 故答案为：； （2）， 抛物线顶点坐标为， 点坐标为， 点坐标为，， 将，代入得 解得（舍或， 故答案为：4． （3）抛物线经过，， ， 解得， 故，之间的数量关系为：． 25．（8分）（2024•鹤山市一模）抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标． （2）如图，在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为，把该胶片绕点顺时针旋转，得到矩形胶片以及对应的图象． ①求旋转过程中扫过的面积； ②求图象所在的抛物线的解析式． 解：（1）把点，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的顶点的坐标为． （2）如图，①连接，． 由，，得，． 在中，． 由旋转性质可知，与围成的图形，和与围成的图形全等，二者面积相等， 旋转过程中扫过的面积，即图中，与半圆围成的图形面积，等于以为直径的半圆的面积， ②由旋转性质可知，，， ， 点的坐标为． 设图象所在抛物线的解析式为， 代入点，得，解得， 图象所在抛物线的解析式为． 26．（8分）（2024•唐山二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）写出抛物线的对称轴，并求的值； （2）平行于轴的直线交抛物线于点，（点在点的左边），交线段于点．当为线段的中点时，求点的坐标； （3）将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； （4）是抛物线上任意一点（不与点重合），点的横坐标为．过点作轴于点，为轴上的一点，纵坐标为．以，为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 解：（1）由题意，过， ． ． 抛物线为． 抛物线的对称轴是直线． （2）由题意，当为线段的中点时， 的横坐标为． 抛物线为， 令，则． ． 又， 直线为． 当时，． ． 的纵坐标是3． ． 或（舍去）． 故为，． （3）由题意，对称轴是直线，， ，即． 将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得，， 线段的两个三等分点坐标为，， 设平移后的抛物线解析式为， 抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分， ． ． 平移后的抛物线解析式为，其顶点为， 而抛物线的顶点为， 平移前，后抛物线的顶点之间的距离为． 抛物线平移的最短路程为． （4）由题意，轴， ， 当时，点在点上方，如图1， ， ， 解得． ， ． 当时，点在点上方，如图2， ， 解得或． ， ． 综上所述：的取值范围是或． 27．（8分）（2024•钢城区校级三模）抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）如图1，线段下方抛物线上是否存在一点，使若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，是抛物线的顶点，是抛物线第二象限上的点，连接，．当时，求点的坐标． 解：（1）由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： ， 则， 分别过点、作的平行线、，分别交轴于点、， 则的表达式为：，则点， 则， ， 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：或2， 即点或； （3）由抛物线的表达式知，点， 则，且和轴负半轴的夹角为， 而，故，延长到使，连接，则为等腰三角形， 则， 则， 过点作于点， 则， 由点、、的坐标得：，，， 即， 则， 则， 则， 故直线的表达式为：， 联立和上式得：， 解得：， 即点的坐标为：，． 28．（8分）（2024•芝罘区二模）如图，抛物线过，，其对称轴交轴于点，是对称轴上一动点， 于点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断的形状，并证明； （3）是否存在点的位置，使与相似？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意，， 则， 解得：， 函数关系式为； （2）直角三角形，理由： 证明：由题意，，，， ， ， ， ， ， 即， 是直角三角形； （3）存在，理由： 由题意，， 则， ，， ，， 则， 与相似， 则或， 如图，当时， 设交轴于点，作于点， 在中，，， 则， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 即点的坐标为； 当时， 则和轴重合，此时，点和点重合， 故点的坐标为：； 综上，点的坐标为 或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$