专题01 轴对称【六大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题01 轴对称 考点类型 知识串讲 （一）轴对称 （1）轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． （二）轴对称图形 （1）轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） （2）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 （三）尺规作图 （1）过一点作已知线段的垂线 求作：AB的垂线，使它经过点C 作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。 ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。 ③作直线CF，CF即为所求的直线 （1）作已知线段的垂直平分线 作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点 ②连接CD，即为所求 （四）垂直平分线 （1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） （2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 考点训练 考点1：轴对称图形 典例1：下列垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（    ）      A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【变式1】中国“二十四节气”已被正式列入联合国救科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（       ） A．   B．   C．   D．   【变式2】下列五种图形：①线段  ②角  ③平行四边形  ④正方形  ⑤等腰三角形，是轴对称图形的有 ．（填序号） 【变式3】如图，小张和小亮下棋，小张执圆形棋子，小亮执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用表示，两人都将第枚棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放第枚方形棋子的位置可能是 ． 故答案为：． 考点2：轴对称图形的实际应用 典例2：如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式2】如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【变式3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是 .    考点3：垂直平分线的性质 典例3：如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 【变式3】如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 考点4：垂直平分线的判定 典例4：如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是（    ） ①平分；②；③平分；④垂直平分． A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【变式1】如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（    ） A．“筝形”是轴对称图形 B．垂直平分 C．平分一组对角 D．平分一组对角 【变式2】如图，是的角平分线，于点，于点，连接交于点，下列结论：；；；；，正确的是 （填序号）．    【变式3】如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ． 考点5：垂直平分线的实际应用 典例5：如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【变式1】某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（    ） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条角平分线的交点处 C．的三条高线的交点处 D．的三条中线的交点处 【变式2】中共中央国务院关促进农民增加收入若干政策的意见中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在三条边的 的交点处．    【变式3】某同学在使用尺规作图的方法，作过直线l外一点C作已知直线的垂线．他在直线l上取了两点A，B，分别以A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两段弧的另一个交点为D，连接CD，那么直线CD即为直线l的过C点的直线．你认为它的作法对吗？ （填“对”，“错”）；理由： （如果认为对，请填写相应的定理；如果认为错，写关键的理由即可）． 考点6：尺规作图（垂直平分线、垂线） 典例6：要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． (1)作的平分线； (2)求作一点Q，使Q点在上，且． 【变式1】作图题：如图所示， (1)在中：画出边上的高和中线． (2)如图，已知点M、N和，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到的两边的距离相等． 【变式2】如图， 已知， 根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)边上有一点E， 连接AE，如果那么线段是的 ； (填“高”、 “中线”或“角平分线”) (3)在（1）（2）的条件下， 如果，那么 【变式3】根据下列要求进行作图，并写出相应结论． (1)在图1中过点C作三角形边上的高，并写出表示点C到直线的距离的线段． (2)在图1中过点B作一条直线，将三角形分成面积相等的两部分． (3)在图2中点P是三角形内一点，连接，试在线段上找一点D，使得折线将三角形分成面积相等的两部分． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 轴对称 考点类型 知识串讲 （一）轴对称 （1）轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． （二）轴对称图形 （1）轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） （2）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 （三）尺规作图 （1）过一点作已知线段的垂线 求作：AB的垂线，使它经过点C 作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。 ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。 ③作直线CF，CF即为所求的直线 （1）作已知线段的垂直平分线 作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点 ②连接CD，即为所求 （四）垂直平分线 （1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） （2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 考点训练 考点1：轴对称图形 典例1：下列垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（    ）      A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴称图形）是解题关键． 【详解】解：图②和③是轴对称图形， 故选：B． 【变式1】中国“二十四节气”已被正式列入联合国救科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（       ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题考查轴对称图形的识别，解题关键在于识别图形，根据轴对称图形的概念如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，即可解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项A不符合题意． B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意． C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意． D、是轴对称图形，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式2】下列五种图形：①线段  ②角  ③平行四边形  ④正方形  ⑤等腰三角形，是轴对称图形的有 ．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】该题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：线段、角、正方形、等腰三角形是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形． 故是轴对称图形的有①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【变式3】如图，小张和小亮下棋，小张执圆形棋子，小亮执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用表示，两人都将第枚棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放第枚方形棋子的位置可能是 ． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义确定第4枚方形的位置，即可解答．此题主要考查了轴对称图形的性质以及点的坐标，正确得出原点位置是解题关键． 【详解】解：如图：符合题意的点为． 故答案为：． 考点2：轴对称图形的实际应用 典例2：如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6=337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【变式1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2020÷6=336…4， ∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹， ∴第2020次碰到矩形的边时的点为图中的点D； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【变式2】如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【变式3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是 .    【答案】 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点，， ， 当点第次碰到矩形的边时为第个循环组的第次反弹，点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 考点3：垂直平分线的性质 典例3：如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 依据垂直平分，即可得出，进而得到，即可得出的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故选D 【变式2】如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形． 由线段垂直平分线的性质得到，由补角的性质推出，由证明，得到，，又，推出，得到，求出，即可得到． 【详解】解：过作交延长线于，连接， 于点，且， ， ，， ， 于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 【变式3】如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接，过点E作交的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 ，由角平分线的性质得，由得由全等三角形的性质得，同理可得，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可得：， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 考点4：垂直平分线的判定 典例4：如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是（    ） ①平分；②；③平分；④垂直平分． A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直平分线定义，以及角平分线的性质和判定，由，，，可证明，再根据全等三角形的性质，即可解题． 【详解】解：，， 在和中， 有，， ， ，，， 平分，平分， ①②③正确， ，， 垂直平分， ④错误， 故选C． 【变式1】如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（    ） A．“筝形”是轴对称图形 B．垂直平分 C．平分一组对角 D．平分一组对角 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，从而可判断A、B选项正确；通过证明可得，可判定C选项正确；根据轴对称的性质可判定D选项错误． 【详解】解：∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴筝形是轴对称图形，故A、B选项正确； ∵， ∴， ∴， 即平分一组对角，故C选项正确； ∵直线不是筝形的对称轴， ∴不平分一组对角，故D选项错误； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，轴对称的性质，解本题的关键是熟练掌握相关判定定理和性质定理． 【变式2】如图，是的角平分线，于点，于点，连接交于点，下列结论：；；；；，正确的是 （填序号）．    【答案】 【分析】此题主要是综合运用了角平分线的性质定理和线段垂直平分线性质定理的逆定理，根据角平分线的性质，得，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，得点在的垂直平分线上；根据等角对等边，，则点在的垂直平分线上，从而可证得；又因为，为公共边，是角平分线，从而可根据证明，则有，由则有，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用． 【详解】∵为的角平分线，于，于， ∴， ∴点在的垂直平分线上，， ∵， ∴， ∴，故正确； ∴点在的垂直平分线上， ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∴，故错误， 由，， ∴， ∴，故正确； ∵的大小不确定， ∴不能确定，故错误， 综上可知：正确， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ． 【答案】/8厘米 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，，再求出，，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵PQ是BC边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键． 考点5：垂直平分线的实际应用 典例5：如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】C 【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，本题的关键是：①对角平分线、线段垂直平分线作法的运用，②对题意的正确理解． 作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置 ． 【详解】解：作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置，如图所示，点C位置即为所求， 故选：C． 【变式1】某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（    ） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条角平分线的交点处 C．的三条高线的交点处 D．的三条中线的交点处 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的应用，根据线段垂直平分线的性质即可求解，熟练掌握线段垂直平分线到两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：三角形三边的垂直平分线到三个顶点的距离相等， 体育中心的位置应选在三边的垂直平分线的交点处， 故选A． 【变式2】中共中央国务院关促进农民增加收入若干政策的意见中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在三条边的 的交点处．    【答案】垂直平分线 【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题． 【详解】解：因为充电桩到三个出口的距离都相等，即点、、的距离相等， 所以充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处． 故答案为：垂直平分线． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【变式3】某同学在使用尺规作图的方法，作过直线l外一点C作已知直线的垂线．他在直线l上取了两点A，B，分别以A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两段弧的另一个交点为D，连接CD，那么直线CD即为直线l的过C点的直线．你认为它的作法对吗？ （填“对”，“错”）；理由： （如果认为对，请填写相应的定理；如果认为错，写关键的理由即可）． 【答案】 对 到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理可得出答案． 【详解】解：由题意可得：AC=AD，BC=BD， ∵A、B两点都在线段CD的垂直平分线上． ∴直线CD即为直线l的过C点的直线． 故答案为：对，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．掌握这一性质是解题的关键． 考点6：尺规作图（垂直平分线、垂线） 典例6：要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． (1)作的平分线； (2)求作一点Q，使Q点在上，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据角平分线的作法作的平分线即可； （2）作的垂直平分线交于点，即可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求． ． 【变式1】作图题：如图所示， (1)在中：画出边上的高和中线． (2)如图，已知点M、N和，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到的两边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，作角平分线，掌握相关作图步骤和方法是解题的关键． （1）以A为圆心，为半径画弧，交延长线于点F，作的垂直平分线，交于点D，连接，即为边上的高；作的垂直平分线交于点E，连接，即为中线； （2）连接，作的垂直平分线和的角平分线，相交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点P即为所求： 【变式2】如图， 已知， 根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)边上有一点E， 连接AE，如果那么线段是的 ； (填“高”、 “中线”或“角平分线”) (3)在（1）（2）的条件下， 如果，那么 【答案】(1)见解析； (2)中线； (3)． 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）由题意可得则线段是的中线； （3）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：以点为圆心，长为半径作圆，交于点，再以为圆心，大于长为半径作圆交于点，连接交于点，即为所求边上的高，如图： （2）解：如图： ∴线段是的中线， 故答案为：中线． （3）解： ， ， 故答案为：． 【变式3】根据下列要求进行作图，并写出相应结论． (1)在图1中过点C作三角形边上的高，并写出表示点C到直线的距离的线段． (2)在图1中过点B作一条直线，将三角形分成面积相等的两部分． (3)在图2中点P是三角形内一点，连接，试在线段上找一点D，使得折线将三角形分成面积相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，中点的性质，熟练掌握中点的性质的应用，作出辅助线，进行面积的转化是解题的关键； （1）过点C作于点D，即可求出答案， （2）分别以点、为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点、；作直线，交于点，作直线，则即为所求取的中点，即可得出直线将三角形分成面积相等的两部分， （3）与(1)相同方法作分的面积，连接并延长至点；以点为角的顶点作，交于点，连接，则点即为所求；． 【详解】（1）过点C作于点D，则表示点C到直线的距离的线段是． （2）分别以点、为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点、；作直线，交于点，作直线，则即为所求取的中点，即可得出直线将三角形分成面积相等的两部分， （3）与(1)相同方法作分的面积，连接并延长至点；以点为角的顶点作，交于点，连接，则点即为所求； 理由：设与交于点O， ， ， ， E为的中点， ， 折线将三角形分成面积相等的两部分． 学科网（北京）股份有限公司 $$