专题07 有理数及其运算单元过关（基础版）-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题07 有理数及其运算单元过关（基础版） 考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36100公里的地球同步轨道．将36100用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 2．如果向东走3m，记作＋3m，那么向西走4m，记作（    ） A．＋4m B．7m C． D． 3．在，，，四个数中，比小的正数是（    ）． A． B． C． D． 4．互不相等的三个有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C．若：，则点B（    ） A．在点A，C右边 B．在点 A，C左边 C．在点A，C之间 D．以上都有可能 5．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，且，则点C表示的数是（　　） A．6 B．4 C．2 D．0 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C．2-3=-1 D． 7．下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．点A、B、C是数轴上的三个点，且．若点A表示的数是，点B表示的数是1，则点C表示的数是（    ）． A．9 B．10 C． D．10或 9．如果两个有理数的和为负数，积为正数，那么这两个有理数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．是一正一负 D．无法确定 10．下列说法中错误的是（　　） A．如果a＞0，b＜0且a+b＞0，则|a|＞|b| B．如果a＜0，b＞0，则a-b＜0 C．如果a+b＜0，且a，b同号，那么a＞0，b＞0 D．如果a＜0，b＜0且|a|＞|b|，则a-b＜0 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算的结果是 ． 12．2020 年是新中国历史上极不平凡的一年．面对严峻复杂的国际形势、艰巨繁重的国内改革发展稳定任务特别是新冠肺炎疫情的严重冲击，以习近平同志为核心的党中央统揽全局，保持战略定力，准确判断形势，精心谋划部署，果断采取行动，付出艰苦努力，及时作出统筹疫情防控和经济社会发展的重大决策．根据《中华人民共和国2020年国民经济和社会发展统计公报》公布的数据，2020年全年国内生产总值达1010000亿余元，比上年增长2.3%．用科学记数法表示 1010000亿元为 亿元． 13．已知：且a、b异号，则的值= ． 14．在，，，，，和0这七个数中，最大的数是 ，最小的数是 ． 15．对于任意一个四位正整数，若千位数字与百位数字差的绝对值等于十位数字与个位数字差的绝对值，那么称这个数为“等差数”．最小的“等差数”为 ． 16．观察下面这列数：…，则这一列数的前101项的和为 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．把数，，，表示在数轴上，并用“＜”号把这些数连接起来． 19．将下列各数填在相应的括号里： 3、﹣7、﹣、5.6、0、﹣8、15、 分数集合：{　 　}； 整数集合：{　 　}； 非负数集合：{　 　}； 正整数：{　 　}． 20．新规定的一种运算法则：，例如． (1)求的值； (2)若，求x的值； (3)若，求x的值． 21．某一出租车一天下午以市民之家为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、-3、-5、+4、-8、+6． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离市民之家出发点多远？在市民之家的什么方向？ (2)若每千米的价格为3元，司机一个下午的营业额是多少？ 22．（1）计算：． （2）下面是两位同学在学习有理数运算后的一段对话．    在小学，只有当大于或等于时，才能做，例如：，．    学习了有理数后，当小于时，也能做．例如：． 请你完成下面的运算，并填写运算过程中的依据． 解： (依据：　 　) 　 　 =　 　． 23．请你观察： （1）从上述运算得到启发，请你填空：_______； （2）计算：． 24．已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（ab+100）2+|a﹣20|＝0，P是轴一个动点． （1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离． （2）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，……．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合？ 25．（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36． 用此方法，可求得1+2+3+…+20=　 　（直接写结果）． （2）观查下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：①1+3+5+…+49=　 　； ②1+3+5…+（2n+1）=　 　． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 有理数及其运算单元过关（基础版） 考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36100公里的地球同步轨道．将36100用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：36100=， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．如果向东走3m，记作＋3m，那么向西走4m，记作（    ） A．＋4m B．7m C． D． 【答案】C 【分析】此题考查数的正负性，理解正负数表示一对相反意义的量是解题的关键．本题向东记为“+”，则向西记为“”，从而可得答案. 【详解】解：∵向东走3m，记作m， ∴向西走4m，记作， 故选：C． 3．在，，，四个数中，比小的正数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把四个数中的负数排除，再比较正数的大小即可求出答案． 【详解】 和是负数，可以排除， ，故比小的正数是， 故答案为：C． 【点睛】本题考查有理数比较大小，题解题意是解题关键． 4．互不相等的三个有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C．若：，则点B（    ） A．在点A，C右边 B．在点 A，C左边 C．在点A，C之间 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】逐项分析，符合的选项是正确的，即可作答． 【详解】解：A、点B在点A，C右边，则，，那么，故该选项是错误的； B、点B在点 A，C左边，则，，那么，故该选项是错误的； C、点B在点A，C之间，第一种情况：点B在点A左边和C右边，则，；第二种情况：点B在点C左边和A右边，则，，故该选项是正确的； D、结合A、B选项，故该选项是错误的； 故选：C 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，熟练运用绝对值的性质化简以及掌握分类讨论是解题的关键，难度适中． 5．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，且，则点C表示的数是（　　） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【分析】先判断原点的位置，再求点C表示的数即可． 【详解】解：点A，B表示的数互为相反数， 又 ， 原点在A点右侧第2个单位长度处， B点表示的数是2， C点表示的数是4， 故选：B． 【点睛】本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上的点的特征，两点间距离的求法，相反数的定义是解题关键． 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C．2-3=-1 D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方、加减运算法则进行计算即可． 【详解】A.，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方、加减运算，熟练掌握乘方和加减运算法则是解题的关键． 7．下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的概念，涉及了绝对值化简等，熟练掌握相关知识是解题的关键．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：A、，，不互为相反数，不符合题意； B、，，不互为相反数，不符合题意； C、，，互为相反数，符合题意； D、，，不互为相反数，不符合题意； 故选：C． 8．点A、B、C是数轴上的三个点，且．若点A表示的数是，点B表示的数是1，则点C表示的数是（    ）． A．9 B．10 C． D．10或 【答案】D 【分析】根据题意可得，从而得到，然后分两种情况：当点C在 点右侧时；当点C在 点左侧时，进行求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是1， ∴ ， ∵， ∴ ， 当点C在 点右侧时， 点C表示的数是 ， 当点C在 点左侧时， 点C表示的数是 ， ∴点C表示的数是10或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离计算方法，并会利用分类讨论的思想是解题的关键． 9．如果两个有理数的和为负数，积为正数，那么这两个有理数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．是一正一负 D．无法确定 【答案】B 【分析】首先根据两数相乘，同号得正，异号得负，由积为正数，可得这两个有理数都是正数或都是负数；然后根据这两个有理数的和为负数，可得这两个有理数都是负数． 【详解】解：∵这两个有理数的积为正数， ∴这两个有理数都是正数或都是负数； ∵这两个有理数的和为负数， ∴这两个有理数都是负数． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，以及有理数的加法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两数相乘，同号得正，异号得负． 10．下列说法中错误的是（　　） A．如果a＞0，b＜0且a+b＞0，则|a|＞|b| B．如果a＜0，b＞0，则a-b＜0 C．如果a+b＜0，且a，b同号，那么a＞0，b＞0 D．如果a＜0，b＜0且|a|＞|b|，则a-b＜0 【答案】C 【分析】A.绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号，根据和大于0即可判断绝对值的大小，可以据此判断此项； B.依照有理数的减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，此项负数-正数=负数，可以据此判断此项； C.同号相加，取相同符号，并把绝对值相加，根据两数的和，以及同号，即可据此判断此项； D．有理数的减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，可以据此判断此项． 【详解】解析：A：如果a＞0，b＜0且a+b＞0，则|a|＞|b|，正确，故不符合题意； B：一个负数减去一个正数等于一个负数加一个负数结果是负，正确，故不符合题意； C：如果a+b＜0，且a，b同号，那么a＜0，b＜0，错误，故符合题意； D：∵a-b=a+（-b），a＜0，b＜0 ∴-b＞0， ∵|a|＞|b|， ∴a-b＜0，正确，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减法法则，解题的关键是熟记法则，正确判断符号． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的加法，关键是根据绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值解答．根据有理数的加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．2020 年是新中国历史上极不平凡的一年．面对严峻复杂的国际形势、艰巨繁重的国内改革发展稳定任务特别是新冠肺炎疫情的严重冲击，以习近平同志为核心的党中央统揽全局，保持战略定力，准确判断形势，精心谋划部署，果断采取行动，付出艰苦努力，及时作出统筹疫情防控和经济社会发展的重大决策．根据《中华人民共和国2020年国民经济和社会发展统计公报》公布的数据，2020年全年国内生产总值达1010000亿余元，比上年增长2.3%．用科学记数法表示 1010000亿元为 亿元． 【答案】1.01×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1010000=1.01×106． 故答案为：1.01×106． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13．已知：且a、b异号，则的值= ． 【答案】7或-7 【分析】先根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据a、b异号讨论a、b的值，代入a-b进行计算即可． 【详解】解：∵|a|=3，|b|=4， ∴a=±3，b=±4， ∵a、b异号， ∴当a=3时，b=-4，此时原式=3-（-4）=3+4=7， 当a=-3时，b=4，此时原式=-3-4=-7， 故答案为：7或-7． 【点睛】本题考查了有理数的减法和绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 14．在，，，，，和0这七个数中，最大的数是 ，最小的数是 ． 【答案】 【分析】根据正、负数和0比较大小的方法：“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，另外对于题中的三个正数，把化为再和比较，即可把这七个数从小到大排列起来，即可找出这七个数中最大的和最小的． 【详解】解：∵， ∴最大的数是：，最小的数是：． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了正、负数及0的大小的比较，关键是能理解正、负数和0比较大小的方法，并能根据方法灵活进行判断大小． 15．对于任意一个四位正整数，若千位数字与百位数字差的绝对值等于十位数字与个位数字差的绝对值，那么称这个数为“等差数”．最小的“等差数”为 ． 【答案】1001 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算，根据“等差数”的定义，且为最小的等差数，得到千位数字为1，百位数字为0，十位数字为0，进而得到个位数字为1，即可． 【详解】解：∵最小的“等差数”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴最小的“等差数”为：． 故答案为：1001． 16．观察下面这列数：…，则这一列数的前101项的和为 ． 【答案】102 【分析】本题考查一列数的前几项和，涉及一列数的规律、有理数加减运算，根据一列数的特征，找到规律后求和即可得到答案，找到这列数的规律是解决问题的关键． 【详解】解：对于这列数…，奇数项为正数、偶数项为负数，且每一项的绝对值的规律可表示为，其中为正整数， 第100项的数是负数，为； 第101项的数是正数，为； 从第2项开始，相邻两项的和为2， 这一列数的前101项的和为 ， 故答案为：． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）0.7；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用加减运算计算即可； （2）先算括号里面，再算括号外面； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （4）先算括号里面的，再算括号外面的即可； 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键． 18．把数，，，表示在数轴上，并用“＜”号把这些数连接起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】将各数表示在数轴上，根据右边的数总比左边的数大比较大小即可． 【详解】解：将各数表示在数轴上如图所示： 由数轴可知，． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，会利用数轴表示数的大小是解答的关键． 19．将下列各数填在相应的括号里： 3、﹣7、﹣、5.6、0、﹣8、15、 分数集合：{　 　}； 整数集合：{　 　}； 非负数集合：{　 　}； 正整数：{　 　}． 【答案】见解析 【分析】利用有理数的分类法则求解即可． 【详解】解：分数集合：{﹣，5.6，﹣8，}； 整数集合：{3，﹣7，0，15}； 非负数集合：{3，5.6，0，15，}； 正整数：{3，15}． 【点睛】本题考查有理数的分类，理解并熟练掌握有理数的分类规则是解题关键． 20．新规定的一种运算法则：，例如． (1)求的值； (2)若，求x的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给新定义代入数值求值即可； （2）根据题目所给新定义代入数值得出方程求解即可； （3）根据题目所给新定义代入数值得出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴， 即， 解得：； （3）∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了定义新运算以及解一元一次方程，读懂题意，理解题目中的新定义是解本题的关键． 21．某一出租车一天下午以市民之家为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、-3、-5、+4、-8、+6． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离市民之家出发点多远？在市民之家的什么方向？ (2)若每千米的价格为3元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)3千米，在市民之家正东方向 (2)105元 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单价乘以路程，可得答案． 【详解】（1）解：+9+（-3）+（-5）+4+（-8）+6=3， 答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离市民之家出发点3km，在市民之家的东方向； （2）解：（+9+|-3|+|-5|+4+|-8|+6）×3=35×3=105元， 答：司机一个下午的营业额是105元． 【点睛】本题考查了正数和负数的应用，利用了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则是解题关键． 22．（1）计算：． （2）下面是两位同学在学习有理数运算后的一段对话．    在小学，只有当大于或等于时，才能做，例如：，．    学习了有理数后，当小于时，也能做．例如：． 请你完成下面的运算，并填写运算过程中的依据． 解： (依据：　 　) 　 　 =　 　． 【答案】（1）；（2）减去一个数等于加上这个数的相反数；； 【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答； （2）利用有理数的减法法则进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）2 ； （2） 依据：减去一个数等于加上这个数的相反数 ， 故答案为：减去一个数等于加上这个数的相反数；；． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23．请你观察： （1）从上述运算得到启发，请你填空：_______； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）参照所给的方法进行求解即可； （2）参照所给的方法进行求解即可； 【详解】解：， ， ， ； 故答案为： （2）， ， ， ； 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是对裂项相消求和法的理解与应用． 24．已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（ab+100）2+|a﹣20|＝0，P是轴一个动点． （1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离． （2）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，……．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合？ 【答案】（1）见解析，A、B之间的距离是30；（2）P能与A点重合，在第20次重合；P不能与B点重合． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性求出a，b的值即可得解； （2）分别算出前四次对应点的数字，即可得到规律求解； 【详解】解：（1）∵（ab+100）2+|a﹣20|＝0，（ab+100）2≥0，|a﹣20|≥0， ∴ab+100＝0，a﹣20＝0． ∴a＝20，b＝﹣10． 在数轴上标出A、B的位置如下图： ∴AB＝20﹣（﹣10）＝30，即A．B之间的距离是30； （2）P能与A点重合，在第20次重合；P不能与B点重合．理由： ∵动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度， ∴第一次移动后点P对应的数字为﹣1； ∵第二次向右移动3个单位长度， ∴第二次移动后点P对应的数字为2； ∵第三次向左移动5个单位长度， ∴第三次移动后点P对应的数字为﹣3； ∵第四次向右移动7个单位长度， ∴第四次移动后点P对应的数字为4； ••••， 由此可以发现点P移动后对应的数字依次为：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8••••••， ∵20在这个数列中，﹣10不在这个数列中， ∴P能与A点重合，在第20次重合；P不能与B点重合． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用、数轴两点间的距离、数轴动点问题，准确计算是解题的关键． 25．（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36． 用此方法，可求得1+2+3+…+20=　 　（直接写结果）． （2）观查下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：①1+3+5+…+49=　 　； ②1+3+5…+（2n+1）=　 　． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）图见解析， 【分析】（1）利用题干中所给方法解答即可； （2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32，•••n个数时和为n2，由此可得①为25个数，和为252=625；②为（n+1）个数，和为(n+1)2； （3）按要求画出示意图，依据图形写出计算结果． 【详解】解：（1）1+2+3+•••+20=（1+20）×20=21×10=210； 故答案为：210； （2）由点阵图可知：一个数时和为1=12， 2个数时和为4=22， 3个数时和为9=32， •••， n个数时和为n2． ①∵1+3+5+…+49中有25个数， ∴1+3+5+…+49=252=625． ②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)个数， ∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2． 故答案为：625；(n+1)2； （3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1， 第一次将正方形分割为和两部分， 第二次将正方形的分割为和两部分， •••，以此类推， 第2020次分割后，剩余的面积为， 那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是： ， ∴， 左右两边同除以2得： ． ∴原式． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，数形结合的思想方法．前两小题考查学生数与形相结合，难度不大，仔细观查规律，即可求解，第三小题对学生构建数与形的要求较高，考查学生的发散性思维． 学科网（北京）股份有限公司 $$