微专题04 有理数新定义、规律探究通关专练-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（北师大版2024）

微专题04 有理数新定义、规律探究通关专练 一、单选题 1．观察下列算式：，通过观察，用你所发现的规律得出的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．8 D．6 2．如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 3．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B． C．510 D．512 4．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 5．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（　　） A．139 B．209 C．109 D．259 6．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 7．现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A． B． C．7 D．13 8．定义一种对正整数n的“”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“运算”的结果是（    ） A．152 B．19 C．62 D．49 9．定义一种关于整数的“”运算：（1）当是奇数时，结果为，（2）当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行．例如：时，第一次经“”运算的结果是3，第二次经“”运算的结果是14，第三次经“”运算的结果是7，第四次经“”运算的结果是26……．若，则第2024次经“”运算的结果是（    ） A．29 B．92 C．23 D．74 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取，则243 105…若，则第2023次“F”运算的结果是（    ） A．1 B．4 C．2 D． 11．如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数中不是“幻生有理数对”的是（　　） A． B． C． D． 12．对于有理数a，b，定义，则计算后的结果是（　　） A． B． C．4 D． 13．定义新运算“*”，规定，则的值为（    ） A．6 B． C． D．18 14．定义一种新运算：．例如．则的值为（    ） A． B．9 C．15 D．27 15．我们定义一种新运算：，例如，则式子的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 16．现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么 ⊕ ． 17．现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ． 18．现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ． 19．对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 20．定义一种新的运算“”，若，则，如：．已知，则 ． 21．定义一种正整数的“T”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，用连续除以2，直到结果为奇数停止，并且运算重复进行．例如，当时，运算过程如下： 若，则第2023次“T”运算的结果是 ． 22．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：，且，则的值为 ． 23．观察，则有；，则有；，则有；按此规律继续写出两个式子： ； ． 24．如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，以此类推，则的值为 ；的值为 ． 25．观察下列等式： ； ； ； … 已知按照一定规律排列的一组数，若 则 （结果用含的代数式表示） 26．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，按照这样的规律继续摆下去，第 个图案有个三角形． 27．观察下列各式：，，，，……，按照上面的规律，计算： ． 28．在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算： ． 29．观察下列式子：；；；；…，按此规律，计算 ． 30．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）； （2） 利用以上规律计算：的结果为 ． 三、解答题 31．观察下列式子： ； ； ； ； (1)猜想： ； ； (2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字． 32．阅读下面的文字，完成后面问题． 我们知道：，，． (1)那么______，______，用含有的式子表示你发现的规律：______； (2)并依此计算：． 33．观察下面三行数 ，9，，81，…；① 1，，9，，…；② ，10，，82，…．③ (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设，，分别为第①②③行的第2023个数，求的值． 34．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； 请猜想　　； (2)试用含有n的式子表示这一规律： 　 　；（n为正整数） (3)请用上述规律计算：①；②． 35．先阅读，再答题 根据你发现的规律，试写出： (1)； (2)________________； (3)计算： 36．观察下列等式 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：______； (2)求的值； (3)求的值. 37．探索规律，观察下面等式，解答问题． ； ； ； ； ； … (1)请猜想 ； (2)请猜想 ；（是整数且） (3)计算：． 38．阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯的老师提出了下面的问题： ？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：． 也可以这样理解：令①， 则②， ①+②得：， 即． 解决问题： (1) ； ； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求：值． 39．阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 40．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 41．对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 42．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 43．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 44．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 45．探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；；；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，____________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________． (2)计算：______． (3)是否存在有理数a，b，使得，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题04 有理数新定义、规律探究通关专练 一、单选题 1．观察下列算式：，通过观察，用你所发现的规律得出的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查乘方及数字的变化规律，总结归纳数字的变化规律是解题的关键． 通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，根据此规律算出第2024个算式的个位数字即可． 【详解】解：∵， ，… ∴底数为2的幂的末位数字依次是2，4，8，6，四个数一循环， ∵ ， ∴的末位数字与的末位数字相同， ∴的末位数字是6． 故选：D． 2．如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察第一个口子中数字的规律是1开头的自然数，第二个口子中的数字是对应自然数的，最上面的口子中的数是下面两个数的和，本题考查了规律探索，熟练掌握规律探索的方法是解题的关键． 【详解】解；根据题意有，， 故选：A． 3．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B． C．510 D．512 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律．观察所给图形，发现各部分数字变化的规律即可解决问题． 【详解】解：观察所给图形可知， 左上角的数字依次为：，，，，…， 所以第n个图形中左上角的数字可表示为：． 右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2， 所以第n个图形中右上角的数字可表示为：． 下方的数字为同一个图形中左上角数字的， 所以第n个图形中下方的数字可表示为：． 当时， ， ， ， 所以． 故选：B． 4．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数的新定义问题，解题的关键是得出新定义的运算法则．根据题意可以得“※”的运算法则为：两数进行“※”运算时，同号得负，异号得正，并把绝对值相加，和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可． 【详解】解： 故选：D． 5．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（　　） A．139 B．209 C．109 D．259 【答案】B 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给表格，发现表格中四个数之间的关系是解题的关键． 观察表格中四个数之间的关系，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：观察所给表格可知， ， ， ， ， 所以． 又因为左下方的数比左上方的数大1， 则 又因为， ， ， ， 所以． 故选：B． 6．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 7．现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义情境下的有理数的加减乘除运算，弄懂新定义的含义是解题的关键．根据新定义的运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 8．定义一种对正整数n的“”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“运算”的结果是（    ） A．152 B．19 C．62 D．49 【答案】A 【分析】根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算， 由于为奇数 应先进行①运算，即（偶数）， 需再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为152，， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， ， 则第2023次“运算”的结果是152． 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律． 9．定义一种关于整数的“”运算：（1）当是奇数时，结果为，（2）当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行．例如：时，第一次经“”运算的结果是3，第二次经“”运算的结果是14，第三次经“”运算的结果是7，第四次经“”运算的结果是26……．若，则第2024次经“”运算的结果是（    ） A．29 B．92 C．23 D．74 【答案】B 【分析】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是根据新定义运算得到数字的基本规律．根据题中所给新定义运算进行求解，即当时，则第一次“”运算的结果为29，第二次“”运算的结果为92，第三次“”运算的结果为23，第四次“”运算的结果为74，第五次“”运算的结果为37，第六次“”运算的结果为116，第七次“”运算的结果为29，….；由此可发现规律为 “”运算的结果按照29、92、23、74、37、116循环，据此问题可求解． 【详解】解：由题意得： 当时，则第一次“”运算的结果为29，第二次“”运算的结果为92，第三次“”运算的结果为23，第四次“”运算的结果为74，第五次“”运算的结果为37，第六次“”运算的结果为116，第七次“”运算的结果为29，….；由此可发现规律为 “”运算的结果按照29、92、23、74、37、116循环下去， ∵； ∴第2024次“”运算的结果为92； 故选：B． 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取，则243 105…若，则第2023次“F”运算的结果是（    ） A．1 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第次运算的结果，通过计算从第四次开始，结果就只有两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“F”运算的结果是：， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：， 第4次“F”运算的结果是： 第5次“F”运算的结果是4， 第6次“F”运算的结果是1， … 观察以上结果，从第4次开始，结果就只有1、4两个数循环出现， 且当次数为偶数时，结果是1，次数为奇数时，结果是4， 而2023次奇数，所以最后结果是4． 故选：B． 11．如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数中不是“幻生有理数对”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将各项列式计算后进行判断即可．理解“幻生有理数对”的定义是解题的关键． 【详解】解：A.，则A不符合题意； B. ，则B不符合题意； C. ，则C符合题意； D.，则D不符合题意． 故选：C． 12．对于有理数a，b，定义，则计算后的结果是（　　） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义下的有理数计算，解题的关键是根据新定义进行计算．原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解∶根据题中的新定义， 得 ． 故选∶C． 13．定义新运算“*”，规定，则的值为（    ） A．6 B． C． D．18 【答案】B 【分析】根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确新定义和有理数混合运算的计算方法． 14．定义一种新运算：．例如．则的值为（    ） A． B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】先求出的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ = = =， ∴ = = = =15． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义下的有理数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．我们定义一种新运算：，例如，则式子的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据运算法则可得：，化简即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义运算，理解运算法则是解题关键． 二、填空题 16．现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么 ⊕ ． 【答案】14 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是读懂新定义，利用新定义计算．读懂新定义，利用新定义计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：14． 17．现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，根据新定义运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 18．现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意中的新定义计算即可得到答案． 【详解】解： ，， ． 故答案为：． 19．对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 【答案】2 【分析】此题考查了新定义运算，根据定义的运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：2 20．定义一种新的运算“”，若，则，如：．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值，乘方运算，根据新定义先求出，代入即可，掌握新定义的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由新定义可知，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 21．定义一种正整数的“T”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，用连续除以2，直到结果为奇数停止，并且运算重复进行．例如，当时，运算过程如下： 若，则第2023次“T”运算的结果是 ． 【答案】1 【分析】根据题意，可以写出前几次输出的结果，然后即可发现数字的变化规律，从而可以得到2023次“T”运算的结果； 【详解】解：由题意可得： 当时， 第1次输出的结果为17， 第2次输出的结果为52， 第3次输出的结果为13， 第4次输出的结果为40， 第5次输出的结果为5， 第6次输出的结果为16， 第7次输出的结果为1， 第8次输出的结果为4， 第9次输出的结果为1， 第10次输出的结果为4， …， 故从第7次开始，这列数以1、4不断循环出现， ， 故第2023次“T”运算的结果是1； 故答案为：1． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，数字的变化规律，解答本题的关键是总结出得到的数据存在的规律． 22．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，则，利用新定义的运算求得，即可求得的值． 【详解】设，则， ， 则的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义的有理数运算，理解新定义是解题的关键． 23．观察，则有；，则有；，则有；按此规律继续写出两个式子： ； ． 【答案】 ，则有 ，则有 【分析】本题考查了数字规律探索，乘方的计算，由题中1，3，5，7，可知，接下来两个为9，11的式子，，，进而求解即可． 【详解】解：，则有； ，则有． 故答案为：，则有；，则有． 24．如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，以此类推，则的值为 ；的值为 ． 【答案】 63 【分析】本题主要考查图形的变化类，由点的分布情况得出，据此求解可得． 【详解】解：由图知，，，，…， ∴， ． 故答案为：63，． 25．观察下列等式： ； ； ； … 已知按照一定规律排列的一组数，若 则 （结果用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．由题意可得，再将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 26．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，按照这样的规律继续摆下去，第 个图案有个三角形． 【答案】 【分析】此题考查图形的变化规律，由题意可知：第（1）个图案有个三角形，第（2）个图案有个三角形，第（3）个图案有个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形，进而得出方程解答即可．找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题． 【详解】解：∵第（1）个图案有个三角形， 第（2）个图案有个三角形， 第（3）个图案有个三角形， 第（4）个图案有个三角形， …， ∴第n个图案有个三角形． 根据题意可得：， 解得：， ∴第个图案有个三角形， 故答案为：． 27．观察下列各式：，，，，……，按照上面的规律，计算： ． 【答案】 【分析】根据式子的规律得出，进而化简式子，根据有理数的加减进行计算，最后求绝对值即可求解． 【详解】解：∵，，，，……， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键． 28．在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的化简，有理数的加减运算，根据绝对值的性质：正数绝对值等于它本身，负数绝对值等于它的相反数，进行计算即可，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【详解】解： ， 故答案为：． 29．观察下列式子：；；；；…，按此规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的规律探究，根据已知的式子中的数的特点得到分母是相差3的两个整数相乘，分子为3，结果等于分母中的两个数的倒数相减，进而表示出该规律．由此进行其他的应用计算． 【详解】解：， ， ， ， …， 可得： ， ∴ ． 故答案为：． 30．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）； （2） 利用以上规律计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】根据题目中的式子，可以得到和，，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得，，， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 三、解答题 31．观察下列式子： ； ； ； ； (1)猜想： ； ； (2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字． 【答案】(1)，； (2)，4 【分析】本题考查了找规律，以及含乘方的有理数混合运算，解题的关键在于根据示例找出运算规律． （1）由题易得运算规律为 ，再分别表示和即可； （2）先将表示为题干规律形式，在寻找的个位数规律即可解题． 【详解】（1）解：由题可知：运算规律为 ， ， ， 故答案为：，； （2）解：根据题规律可得：， ，，，，，，，， 的个位数变化规律为2、4、8、6，4个数字为一个循环， ， 的个位数字为6， 的个位数字为4． 32．阅读下面的文字，完成后面问题． 我们知道：，，． (1)那么______，______，用含有的式子表示你发现的规律：______； (2)并依此计算：． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了列代数式，数字类规律探索，解题的关键是根据式子的规律进行简便的计算． （1）根据式子的规律直接写出答案； （2）每个算式变成相减的形式后，结果的分子是，所以用所有的式子去乘，便能找到规律进行计算． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，． （2）解： ． 33．观察下面三行数 ，9，，81，…；① 1，，9，，…；② ，10，，82，…．③ (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设，，分别为第①②③行的第2023个数，求的值． 【答案】(1)第①行的数是按进行排列． (2)第②行的数等于第①行的相应的数乘，第③行的第n个数是：， (3)1 【分析】此题主要考查了数字变化规律，比较简单，观察得出每行之间的关系是解题的关键． （1）观察可看出第一行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：； （2）观察②，③两行的数与第①行的联系，即可得出答案； （3）分别求得第①②③行的2023个数，得出x，y，z代入求得答案即可． 【详解】（1）解：∵，，，…， ∴即第①行的数是按进行排列． （2）∵，，，… ∴第②行的第n个数是：， 即第②行的数等于第①行的相应的数乘， ∵，，，… ∴第③行的第n个数是：， 即第③行的数等于第①行相应的数加1； （3）∵，，， ∴． 34．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； 请猜想　　； (2)试用含有n的式子表示这一规律： 　 　；（n为正整数） (3)请用上述规律计算：①；②． 【答案】(1)100 (2) (3)①2500；②1023669 【分析】本题主要考查数字的变化规律和图形的变化类及实数的运算，根据图形得出等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方是解题的关键． （1）根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此可得； （2）利用（1）中的规律可得； （3）①； ②由，，两式相减可得． 【详解】（1）解：观察，发现规律：，，，， ， ④． 故答案为：100． （2）由（1）知，， 故答案为：； （3）①令， 解得：， ． ②， ， 上式减去下式可得：． 35．先阅读，再答题 根据你发现的规律，试写出： (1)； (2)________________； (3)计算： 【答案】(1)9；11 (2) (3) 【分析】本题考查数字规律的探索，结合题意分析规律是解题的关键． （1）根据题中规律得出第5个等式即可得出结果； （2）根据题意总结出规律即可； （3）结合（2）中规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第5个等式为， 故答案为：9；11； （2）由题意可得，第n个等式：， 故答案为： （3） ， ． 36．观察下列等式 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：______； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的计算，找规律，利用规律求值． （1）仿照题目内容，写出第5个等式即可； （2）找到规律再计算即可； （3）利用规律，求和即可． 【详解】（1）按以上规律写出第5个等式：， 故答案为：； （2）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …， ∴第n个等式：， ∴ ； （3） ． 37．探索规律，观察下面等式，解答问题． ； ； ； ； ； … (1)请猜想 ； (2)请猜想 ；（是整数且） (3)计算：． 【答案】(1)121 (2) (3)12500 【分析】本题考查了有理数的混合运算及数字类变化规律，掌握有理数的运算法则以及得出规律是解题的关键． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）由（1）中发现的规律即可解决问题． （3）在式子的前面添加，再用（2）中的结论即可解决问题． 【详解】（1）解：由题中所给等式可知， 从1开始的连续个奇数的和等于的平方， ， ， 故答案为：121． （2）解：， 故结合（1）中发现的规律可得：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 38．阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯的老师提出了下面的问题： ？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：． 也可以这样理解：令①， 则②， ①+②得：， 即． 解决问题： (1) ； ； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求：值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用新定义计算解题即可； （2）根据,且,可得,,再根据当时, ；当时, ,即可求解； （3）由于由可得根据是正数可求，再代入求值即可. 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）∵,且 ∴, ∴ ， 故的值为； （3）∵为正数, ， ， ， 则(负值舍去)， ∴ ∴ ． 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，关键是通过观察得出题目中的规律，并用公式表示出来，注意公式的灵活应用． 39．阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)2.5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值． （1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可； （2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 40．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3；243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ． 41．对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)10 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算： （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求，再计算即可． 【详解】（1）根据题中的新定义得： ； （2） ． 42．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 43．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 44．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)正，负，平方相加；平方 (3)存在，当，时，；当，时， 【分析】本题考查了新定义的运算及规律探究，根据已知等式正确归纳出运算法则是解题关键． （1）根据已知新定义运算法则计算即可； （2）根据题干已知运算等式，归纳运算法则即可； （3）由判断得到或，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ① ； ② ； （2）解：由题意得 归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的平方． 故答案：正，负，平方相加；平方． （3）解：存在，理由如下 ， 或； ， ， 是整数， ①当，时， 此时，，符合题意； ； ②当，时， ， 此时，，不符合题意； ③当，时， ， 此时，，符合题意； ； ④当，时， ， 此时，，不符合题意； 综上所述：当，时，；当，时，． 45．探究规律，完成相关题目． 定义“（环加）”运算：；；；；；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，____________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________． (2)计算：______． (3)是否存在有理数a，b，使得，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；都得这个数的绝对值； (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据定义得出法则即可； （2）根据法则计算即可； （3）根据法则和非负数的性质，即可证得． 【详解】（1）解：归纳⊕运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和进行运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；都得这个数的绝对值； （2） （3）当时，， 根据法则：，根据非负数的性质，只有时，． 【点睛】本题考查了新定义运算，理解题意是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$