22.2 一元二次方程的解法（课件PPT）-【齿轮同步】2024-2025学年九年级全一册数学活页好题（华东师大版）

数 学 2025华师 1 22 第二十二章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 2 解形如 的一元二次方程 1.一元二次方程 的解是( ) C A. B. C.， D.， 2.解下列方程: （1） 的解是_______________. （2） 的解是___________________. , ， 3 解形如 的一元二次方程 3.方程 的根是( ) C A. B. C. D.， 4.若方程可以用直接开平方法解，则 的取值范围是_______. 4 5.解下列方程： （1） . 解：直接开平方，得 . ， . （2） . 解：移项，得 . 直接开平方，得 . ， . 5 6.若关于的方程的一个根是2，则 的值为( ) D A. B. C.或 D.或 7. 自由落体公式是 为重力加速度， ，若物体下落的高度为 ，则下落的时间约为__ ． 6 8.如图是一个计算程序，当输出的值时，输入的值 为_______． 6或 6 9.解下列方程. （1） . 解：两边同除以5，得 . 直接开平方，得 ， 即， . （2） . 解：直接开平方，得或 . ， . 7 10. 对于实数，，定义运算 已知 ，求 的值． 解：①若，则，解得 （舍去）． ②若，则，解得 . ， . 综上所述，的值为 . 8 $$ 数 学 2025华师 1 22 第二十二章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第2课时 因式分解法 2 因式分解法的理论依据 1.我们解一元二次方程 时，可以运用因式分解法，将此方 程化为，从而得到两个一元一次方程： 或 ，进而得到原方程的解为， ．这种解法体现的数 学思想是( ) A A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想 2.(2023濮阳期末)一元二次方程 的解是( ) D A. B. C. D.， 3 3.已知某一元二次方程的两根分别为, ，则这个方程可能 为( ) A A. B. C. D. 4 用提公因式法解一元二次方程 4.方程 的解是_______________． ， 5 5.用提公因式法解下列方程： （1） . 解：方程左边分解因式，得 . 或 . ， . （2） . 解：方程左边分解因式，得 . 或 . ， . 6 （3） . 解：方程变形为 . 方程左边分解因式，得 . 或 . ， . 7 6.小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下. 小敏：两边同除以，得，解得 ． 小霞：移项，得 ，提取公因式，得 或，解得 ， ． 你认为她们的解法是否正确？写出你的解答过程． 解：小敏的解法错误，小霞的解法也错误. 解答过程：移项，得 . 提取公因式，得 ． 或，解得， ． 8 用公式法（平方差公式和完全平方公式）解一元二次方程 7.方程 的根是( ) B A. B. C. D. 8.当______时，代数式 与4的值相等. 0或4 9 9.关于的两个方程与有一个解相同，试求 的值． 解：，解得， . 由分式方程可知， . 两个方程相同的解是 . ，解得 . 经检验， 是原分式方程的解. ． 10 10.［学科内融合］若实数,是一元二次方程 的两个 根，且，则一次函数 的图象不经过( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.［学科内融合］已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 的两根，则该等腰三角形的底边长为___. 2 12.王涛利用电脑设计了一个程序：当输入实数对 时，会得到一个 新的实数，例如:输入 时，就会得到实数8（即 ）．若输入实数对时得到实数，则 _______． 0或 11 13.用因式分解法解下列方程： （1） . 解：方程变形为 . ， . （2） . 解：方程变形为 . 方程左边分解因式，得 . 或 . ， . 12 14.小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 解一元二次方程： ． 解：原方程可化为 ．① 合并同类项，得 ．② ．③ ．④ （1）小明的解法是从第____步开始出现错误的，此题的正确结果是 __________________. ① ，. 13 （2）用因式分解法解方程： ． [答案] 移项，得 . 提公因式，得 . 或 . ， ． 14 15. 阅读材料：由多项式乘法 ，将该式从右到左使用，即可得到 “十字相乘法”进行因式分解的公式： ． 例如：分解因式： ． （1）尝试： 分解因式：（___）.（ ___）． 2 4 15 （2）应用： 请用上述方法解方程： ① ; [答案] ， ，解得， . ② . [答案] , ,解得, . 16 （3）如图，在中，，，且 的长是方程 的一个根，求等腰三角形 的面积． 17 [答案] 由方程，得，解得 ， ． 的长是方程 的一个根， 或 ． ，， ， ，即 ． 过点作于点，如解图所示，则 ． 在中，由勾股定理，得 . ． 18 $$ 数 学 2025华师 1 22 第二十二章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第3课时 配方法 2 配方法 1.下列二次三项式是完全平方式的是( ) C A. B. C. D. 3 2.［教材P27练习T1变式］填空，将左边的多项式配成完全平方式： （1）（___）（___） . （2）（____）（___） . （3）（___）（__） . （4）（___）（___） ． 9 3 16 4 4 2 4 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 3.将一元二次方程化成形如 的形式，则 的值为( ) A A.7 B.3 C. D.10 4.(2023北京密云区期末)用配方法解一元二次方程 时，将原 方程配方成的形式，则 的值为___． 5 5 5.用配方法解方程： . 解：原方程可化为 . 配方（两边同时加上25），得 ，即 . 直接开平方，得 . ， ． 6 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 6.方程 的根是( ) A A. B. C., D.以上选项都不正确 7 7.下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是 ____.（填序号） ④ 8.用配方法解方程: . 解：两边同除以2，得 . 移项、配方，得，即 . 直接开平方，得 . ， ． 9 配方法的应用 9.(2023长沙期末)代数式 的最小值为( ) C A. B.0 C.1 D.2 10 10.比较与 的大小． （1）尝试（用“ ”“”或“ ”填空） ①当时，___ ； ②当时，___ ； ③当时，___ ． （2）归纳：若取任意实数，与 有怎样的大小关系？试说明理由． [答案] .理由如下： ， ． 11 11.若方程 的左边可以写成一个完全平方式，则 的值为( ) B A. B.或6 C.或 D.2或 12. 对于任意实数，，定义 ，已 知，则实数 的值是_______. 13.将一元二次方程化成 的形式，则 ____． 3或 12 14.用配方法解下列方程: （1） . 解：方程两边同除以2,移项，得 . 配方，得，即 ． 直接开平方，得 ． ， ． 13 （2） . 解：原方程可化为 . 配方，得，即 . 直接开平方，得 . ， ． 14 15. 利用完全平方公式 和 的特点可以解决很多数学问题,下面给出两个例子. 例1 分解因式： . . 15 . ， 当时，代数式有最小值，最小值是 ． 例2 求代数式 的最小值. （1）分解因式： . 解：原式 . 仔细阅读上面例题，解决下列问题： 17 （2）当,分别为何值时，多项式 有最小值？ 并求出这个最小值. 解：原式 . ， ， 当，时， 有最小值，最小值是3. 18 （3）已知的三边长,, 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值． 19 解： ， . . ，，即， . ， . 为正整数， 最大取6. 周长的最大值为 . 20 $$ 数 学 2025华师 1 22 第二十二章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第4课时 公式法 2 一元二次方程的求根公式 1.用公式法解一元二次方程时，首先要确定，， 的值， 下列选项中，正确的是( ) B A.，， B.，， C.，， D.，， 3 2.(2023娄底期中) 是下列哪个一元二次方程的根( ) D A. B. C. D. 3.在一元二次方程中， 的值是 ____． 64 4 用公式法解一元二次方程 4.解下列方程时，最适合用公式法的是( ) D A. B. C. D. 5 5.小明在解方程 时出现了错误，其解答过程如下： ，， ，（第一步） .（第二步） .（第三步） ， .（第四步） 小明的解答过程开始出错的步骤是________. 第三步 6 6.用公式法解下列方程： （1） . 解：，， ， . ，即， . 7 （2） . 解：，， ， . ， 即， . 8 （3） ． 解：将原方程化为一般形式，得 . ，， . . , 即， ． 9 7.已知是一元二次方程的较小的根，则下列选项对 的 估值正确的是( ) A A. B. C. D. 8. 若实数范围内定义一种运算“*”，使 ，则方程 的解为( ) D A. B.， C.， D.， 10 9.［学科内融合］如图，在 中， ，，．以点 为 圆心，长为半径画弧，交线段于点 ， 以点为圆心，长为半径画弧，交线段 B A.线段的长 B.线段的长 C.线段的长 D.线段 的长 于点．下列哪条线段的长度是方程 的一个根( ) 11 10.对于两个不相等的实数，，我们规定，表示， 中的较 大值，如：，，按照这个规定，方程， 的解为_ ____________________． 或 11.已知，且，则 _ ____． 12 12.用适当的方法解下列方程: （1） . 解：移项，得 . 配方，得,即 . 解得， . （2） . 解：移项，得 . 方程左边因式分解，得 . 或 . ， ． 13 （3） . 解：，， ， . , 即， ． 14 13.［教材P46复习题变式］已知关于 的一元二次方程 的一个根是 . （1）求 的值． 解：的一个根是 ， ，即 . 解得， （不符合题意，舍去）. . 15 （2）方程是否还有其他根？如果有，试求出来． 解：有. 当时，原方程化为,即 . ,,， ， . ， . 另一个根是 ． 16 14. 如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成如右图所示 的矩形，设 ，求这个正方形的面积. 17 ，即 ,解得 （负值已舍去）. 正方形的面积 ． 答：这个正方形的面积为 . 18 $$ 数 学 2025华师 1 22 第二十二章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第5课时 一元二次方程根的判别式 2 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程 的根的判别式的值是( ) A A.4 B.2 C.0 D. 2.已知关于的方程的根的判别式的值为12，则 的值 是____. 3 用根的判别式判断根的情况 3.已知关于的一元二次方程 ，则下列关于该方程根的判 断正确的是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数与实数 的取值有关 4.给出下列方程：； ； ； ,其中有两个相等的实数根的是 ____.（填序号） ④ 4 5.判断下列方程的根的情况. （1） . 解： ， 该方程没有实数根. （2） . 解： ， 该方程有两个相等的实数根. 5 （3） . 解：原方程可化为 . ， 该方程有两个不相等的实数根. 6 利用根的判别式确定字母的值（或取值范围） 6.若关于的方程没有实数根，则 的值可能是( ) D A. B.0 C.1 D. 7.若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数 根，则 的取值范围是_____________． 且 7 8.(2024湛江期末)已知关于的一元二次方程 ． （1）若方程有一个根是，求 的值． 解：把 代入一元二次方程， 得，解得 . （2）求 的取值范围，使得方程有两个实数根. 解： . 方程有两个实数根， ，解得 ． 当 时，方程有两个实数根． 8 9. 对于实数，，定义运算“”为 ，例如 .若关于的方程 有两个 相等的实数根，则 的值为( ) A A.0或1 B.0或3 C.0或 D.0或 10.已知关于的一元二次方程，其中， 在数 轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 9 11.［学科内融合］若关于的一元二次方程 有两个 不相等的实数根，则一次函数 的大致图象可能是( ) B A. B. C. D. 10 12. 请填写一个常数，使得关于的方程 ___________________ 有两个不相等的实数根． 13.若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为______． 14.若关于的方程和 有公共根，则常数 的值是____． 1（答案不唯一） 8或9 11 15.已知关于的方程 ． （1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围. 解： 关于的方程 有两个不相等的实数根， 且，即且，解得 且 . 的取值范围是且 . 12 （2）若方程有实数根，求 的取值范围． 解：当，即时，方程为一元一次方程 ，解得 ，符合题意. 当，即 时，方程为一元二次方程.由题意，得 ， 解得，此时且 . 综上所述，若方程有实数根，则的取值范围为 ． 13 16. 如图，在菱形中，，，分别是菱形 的两条对角线长和边长，这时我们把关于的形如 的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题： 14 （1）填空： ①当，时， _______； ； 【提示】，，分别是菱形的两条对角线长和边长， ， ，， ， 即 . 15 ②用含，的代数式表示 ____________. . 【提示】由题意，知， ， . 16 （2）求证：关于 的“菱系一元二次方程” 必有实数根． 证明： ， . ， . 关于的“菱系一元二次方程” 必有实数根． 17 $$ 数 学 2025华师 1 22 第二十二章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第6课时 一元二次方程的根与系数的关系 2 一元二次方程的根与系数的关系 1.设方程的两根分别是，，则 的值为( ) A A.3 B. C. D. 2.已知，是一元二次方程 的两个实数根，则 ( ) C A.4 B. C. D.3 3.(2024天津河北区期末)已知方程的两根分别为和 ， 则 的值为____. 3 一元二次方程的根与系数的关系的应用 4.关于的一元二次方程 的一个根是1，则另一个根是 ( ) A A.3 B. C. D. 5.已知，是一元二次方程的两根，则 __； ____；____； ____. 6.若 ， 是关于的一元二次方程 的两实数根，且 ，则 的值为____. 3 11 4 7.方程是关于 的一元二次方程，该方程的两个实数 根分别为， ． （1）求 的取值范围． 解：根据题意，得，解得 . （2）若，求 的值． 解：根据题意，得， . ， ，解得 ． 的值为 . 5 8.关于的方程 为常数)的根的情况，下列结论中正 确的是( ) C A.两个正根 B.两个负根 C.一个正根，一个负根 D.无实数根 9. 已知实数， 是一个一元二次方程的两根，且 ， ，写出一个满足以上所有条件的一元二次方程： _____________________________． （答案不唯一） 6 10.点，在数轴上的位置如图所示，点对应的数是，点 对应的数是 ，，且，是方程的两根，则 的值为 ___． 11.关于的方程有两个实数根 ， ，且 ，则 ___． 3 7 12.已知关于的一元二次方程有， 两实数根． （1）若，求及 的值. 解：根据题意，得，解得 . ，， ， ，， . 8 （2）是否存在实数，满足 ？若存在，求出实 数 的值；若不存在，请说明理由. 解：存在． ， ， 即 . 整理，得，解得， . 经检验,， 为原分式方程的解. 由（1），得，又， ． 9 $$