专题4　直角三角形 2024-2025学年浙教版数学八年级上册培优专题练习

浙教版数学八年级上册培优专题练习 专题4　直角三角形 A组 1．下列命题的逆命题是真命题的是(　 ) A．对顶角相等 B．若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形 C．两个全等的三角形面积相等 D．两直线平行，同旁内角互补 2．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(　 ) A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH C．AB，CD，GH D．AB，CD，EF 第2题图 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AB＝10，AD＝2，则CD的长度是(　 ) A．2 B．3 C．4.8 D．4 第3题图 4．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点．若梯子底端由点B向左水平滑动到点D，则滑动过程中OM的变化规律是(　 ) A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 第4题图 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为______． 第5题图 6．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面______尺高． 第6题图 7．“赵爽弦图”是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切关系．在学完我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图后，我校某同学想在逐梦运动场规划出一块活动场地，如图所示，现规划土地由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，则EF的长是______m. 第7题图 8．如图，△ABC中，D为AC边中点，E为BC延长线上一点，连结ED并延长，使DF＝DE，连结BF. 第8题图 (1)依题意补全图形． (2)连结BD，若CE2＋BF2＝AB2，请猜想BD与DE的数量关系，并加以证明． 9．如图，在正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上； ②连结三个格点，使之构成一个直角三角形，小华在正方形网格中作出了Rt△ABC. 请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等． 第9题图 10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连结CD，过点A，C分别作AB，CD的垂线，两垂线交于点E，连结DE. 第10题图 (1)求证：△CDE是等腰直角三角形． (2)若AD＝2，BD＝3，求DE的长． B组 1．在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B等于(　 ) A．35° B．55° C．65° D．145° 2．如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F.若求△DEF的周长，则只需知道(　 ) A．AB的长 B．FE的长 C．DE的长 D．DF的长 第2题图 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，则∠EBF的度数为(　 ) A．19° B．33° C．34° D．43° 第3题图 4．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠CBA＝∠DCA＝∠EDA＝∠FEA＝90°，以 A点为圆心，AF长为半径作圆弧与数轴交于点P.若点A表示的数为0，点B表示的数为1，则点P表示的数为(　 ) A．－ B．－ C．－ D．－3 第4题图 5．将四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM中较长的直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为(　 ) A．12S B．10S C．9S D．8S 第5题图 6．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝______． 第6题图 7．如图，点B，C，D在同一直线上，BC＝CD，AB＝AC＝5，AO⊥BC于点O，AO＝3，P为线段DB上一个动点，点P从点D向终点B运动(不包括D，B)，当△ACP为等腰三角形时，DP的长为____________． 第7题图 8．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O. 第8题图 (1)求证：△ABC≌△DCB. (2)△OBC是何种三角形？证明你的结论． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB. 第9题图 (1)求∠B的度数． (2)求证：BC＝3CE. 10．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α， (1)如图1，当α＝30°时，过点A作AD⊥AB交BC于点D.若AD＝4 cm，则BC的长为______ cm. (2)如图2，当α＝45°时，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD＝2CE. (3)当0°<α<90°时，AB＝4，BC＝5，BE为∠ABC的角平分线，CE⊥BE于点E，连结AE.若S△ABC＝m，求△ACE的面积．(用含m的式子表示) C组 1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　 ) A．直角三角形的面积 B．最大正三角形的面积 C．较小两个正三角形重叠部分的面积 D．最大正三角形与直角三角形的面积和 第1题图 2．已知一个直角三角形的两直角边上的中线长分别为5和2，那么这个三角形的斜边长为(　 ) A．10 B．4 C． D．2 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边BC上一动点，连结AD.以AD为底边，在AD的左侧作等腰直角三角形△ADE，点F是边AC上的定点，连结FE，当AE＋FE取最小值时，若∠AFE＝α，则∠AEF为(　 ) A．α B．α C．90°＋α D．180°－2α 第3题图 4．如图，已知△ABC为等边三角形，边长为6，点D，E分别是边AB，BC上的动点，点D从点A开始沿射线AB方向运动，同时点E从点B开始沿射线BC方向运动，点D运动速度始终是点E运动速度的2倍，以DE为边向右侧作等边三角形DEF.点G是BC边的中点，连结GF，则GF的最小值为______． 第4题图 5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点P是BC边上除点B，C外的任意一点，则AP2＋BP·CP＝______． 第5题图 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边三角形ABE和等边三角形ACD，DE与AB交于点F，求证：EF＝FD. 第6题图 7．如图，AD为线段BC的垂直平分线，在线段AD上取一点E，使得∠ACE＝20°，在线段CE上取一点F，使得∠FBC＝10°，连结BE，AF.若∠ABC＝50°，求证：BE⊥AF. 第7题图 8．如图，自△ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD＝BF，CD＝CE．求证：AE＝AF. 第8题图 9．△ABC是等边三角形，D是边BC(端点除外)上一动点，连结AD. (1)如图1，以AD为边作等边△ADE，连结CE. ①求证：BD＝CE. ②若AB＝4，F为AC的中点，连结EF，当EF的长取最小值时，求CD的长． (2)如图2，M是AB延长线上的点，BM＝CD，N为AD的中点，连结NC，NM，求证：CN⊥MN. 　 10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：BD2＝AB2＋BC2． 第10题图 【答案解析】 A组 1．下列命题的逆命题是真命题的是(　D) A．对顶角相等 B．若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形 C．两个全等的三角形面积相等 D．两直线平行，同旁内角互补 2．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(　B) A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH C．AB，CD，GH D．AB，CD，EF 第2题图 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AB＝10，AD＝2，则CD的长度是(　D) A．2 B．3 C．4.8 D．4 第3题图 4．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点．若梯子底端由点B向左水平滑动到点D，则滑动过程中OM的变化规律是(　B) A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 第4题图 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为5． 第5题图 6．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面4.55尺高． 第6题图 7．“赵爽弦图”是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切关系．在学完我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图后，我校某同学想在逐梦运动场规划出一块活动场地，如图所示，现规划土地由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，则EF的长是14m. 第7题图 8．如图，△ABC中，D为AC边中点，E为BC延长线上一点，连结ED并延长，使DF＝DE，连结BF. 第8题图 (1)依题意补全图形． 解：(1)补全图形如答图所示． 答图 (2)连结BD，若CE2＋BF2＝AB2，请猜想BD与DE的数量关系，并加以证明． (2)BD＝DE，理由如下：连结BD，AF，∵D为AC边中点，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴AF＝CE.∵CE2＋BF2＝AB2，∴AF2＋BF2＝AB2，∴∠AFB＝90°.∴∠FBE＝90°.∵DE＝DF，∴BD＝EF＝DE. 9．如图，在正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上； ②连结三个格点，使之构成一个直角三角形，小华在正方形网格中作出了Rt△ABC. 请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等． 第9题图 解：如图.(画法不唯一) 10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连结CD，过点A，C分别作AB，CD的垂线，两垂线交于点E，连结DE. 第10题图 (1)求证：△CDE是等腰直角三角形． (1)证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∠B＋∠CAB＝90°. 又∵EC⊥CD，AE⊥AB， ∴∠ECA＋∠ACD＝90°，∠EAC＋∠CAB＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE，∠B＝∠EAC. 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD，∴CE＝CD. 又∵∠ECD＝90°，∴△ECD为等腰直角三角形． (2)若AD＝2，BD＝3，求DE的长． (2)解：由(1)知，△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝3. 又∵∠EAD＝90°，AD＝2， ∴DE＝＝. B组 1．在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B等于(　B) A．35° B．55° C．65° D．145° 2．如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F.若求△DEF的周长，则只需知道(　A) A．AB的长 B．FE的长 C．DE的长 D．DF的长 第2题图 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，则∠EBF的度数为(　B) A．19° B．33° C．34° D．43° 第3题图 4．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠CBA＝∠DCA＝∠EDA＝∠FEA＝90°，以 A点为圆心，AF长为半径作圆弧与数轴交于点P.若点A表示的数为0，点B表示的数为1，则点P表示的数为(　B) A．－ B．－ C．－ D．－3 第4题图 5．将四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM中较长的直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为(　C) A．12S B．10S C．9S D．8S 第5题图 6．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝20． 第6题图 7．如图，点B，C，D在同一直线上，BC＝CD，AB＝AC＝5，AO⊥BC于点O，AO＝3，P为线段DB上一个动点，点P从点D向终点B运动(不包括D，B)，当△ACP为等腰三角形时，DP的长为3或或13． 第7题图 8．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O. 第8题图 (1)求证：△ABC≌△DCB. (1)证明：在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)． (2)△OBC是何种三角形？证明你的结论． (2)解：△OBC是等腰三角形．证明如下： ∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DCB， ∴OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB. 第9题图 (1)求∠B的度数． (1)解：∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°， ∴∠CAF＋∠ACF＝∠ACF＋∠ECF＝90°， ∴∠ECF＝∠CAF. ∵∠EAB＝∠DCB，∴∠CAD＝2∠DCB. ∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝BD， ∴∠B＝∠DCB，∴∠CAB＝2∠B. ∵∠B＋∠CAB＝90°，∴∠B＝30°. (2)求证：BC＝3CE. (2)证明：∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°， ∴AE＝BE，CE＝AE，∴BE＝2CE，∴BC＝3CE. 10．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α， (1)如图1，当α＝30°时，过点A作AD⊥AB交BC于点D.若AD＝4 cm，则BC的长为 cm. 解：(1)12. (2)如图2，当α＝45°时，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD＝2CE. 答图1 (2)证明：如答图1，延长CE与BA延长线交于点F，∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠BAC＝∠DEC.∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠DCE.∵AB＝AC，∴△BAD≌△CAF(ASA)，∴BD＝CF.∵BD平分∠ABC，CE⊥DB，∴CE＝EF，∴BD＝2CE. (3)当0°<α<90°时，AB＝4，BC＝5，BE为∠ABC的角平分线，CE⊥BE于点E，连结AE.若S△ABC＝m，求△ACE的面积．(用含m的式子表示) 答图2 (3)如答图2，延长CE与BA延长线交于点F，作CH⊥AB于点H，由(2)可知△BEF≌△BCE，∴CE＝FE，BC＝BF＝5，∴S△ACE＝S△AFE＝S△ACF.又∵AB＝4，∴AF＝1，∵S△ABC＝AB·CH＝m，∴CH＝m，∴S△ACF＝AF·CH＝×1×m＝m，∴S△ACE＝S△ACF＝m. C组 1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　C) A．直角三角形的面积 B．最大正三角形的面积 C．较小两个正三角形重叠部分的面积 D．最大正三角形与直角三角形的面积和 第1题图 2．已知一个直角三角形的两直角边上的中线长分别为5和2，那么这个三角形的斜边长为(　D) A．10 B．4 C． D．2 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边BC上一动点，连结AD.以AD为底边，在AD的左侧作等腰直角三角形△ADE，点F是边AC上的定点，连结FE，当AE＋FE取最小值时，若∠AFE＝α，则∠AEF为(　D) A．α B．α C．90°＋α D．180°－2α 第3题图 4．如图，已知△ABC为等边三角形，边长为6，点D，E分别是边AB，BC上的动点，点D从点A开始沿射线AB方向运动，同时点E从点B开始沿射线BC方向运动，点D运动速度始终是点E运动速度的2倍，以DE为边向右侧作等边三角形DEF.点G是BC边的中点，连结GF，则GF的最小值为． 第4题图 5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点P是BC边上除点B，C外的任意一点，则AP2＋BP·CP＝25． 第5题图 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边三角形ABE和等边三角形ACD，DE与AB交于点F，求证：EF＝FD. 第6题图 证明：过点E作EH⊥AB于点H，则EH＝AD. ∴∠EHF＝∠DAF＝90°， ∠ADF＝∠HEF， ∴△EFH≌△DFA(AAS) ∴EF＝FD. 7．如图，AD为线段BC的垂直平分线，在线段AD上取一点E，使得∠ACE＝20°，在线段CE上取一点F，使得∠FBC＝10°，连结BE，AF.若∠ABC＝50°，求证：BE⊥AF. 第7题图 证明：∵AD为线段BC的垂直平分线， 易求∠ABE＝∠FBE＝20°， ∠BAE＝∠BFE＝40°. ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE(AAS)， ∴BA＝BF， ∴△BAF是等腰三角形， ∴BE是△BAF的顶角的角平分线， ∴BE⊥AF. 8．如图，自△ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD＝BF，CD＝CE．求证：AE＝AF. 第8题图 答图 证明：如答图，连结PA，PB，PC，则有PA2＋BF2＝PB2＋AF2，PB2＋CD2＝PC2＋BD2，PC2＋AE2＝PA2＋CE2.三式相加，得AE2＋CD2＋BF2＝AF2＋CE2＋BD2.将BD＝BF，CD＝CE，代入上式，得AE＝AF. 9．△ABC是等边三角形，D是边BC(端点除外)上一动点，连结AD. (1)如图1，以AD为边作等边△ADE，连结CE. ①求证：BD＝CE. ②若AB＝4，F为AC的中点，连结EF，当EF的长取最小值时，求CD的长． 解：(1)①由△ADE，△ABC都是等边三角形，易证△EAC≌△DAB，∴BD＝CE.②∵△EAC≌△DAB，∴∠ACE＝∠ABD＝60°.∵AB＝4，F为AC的中点，∴FC＝2.当FE⊥CE时，EF的长取最小值，此时，∠CFE＝30°，CE＝FC＝1，∴CD＝BC－BD＝BC－CE＝4－1＝3. 答图 (2)如图2，M是AB延长线上的点，BM＝CD，N为AD的中点，连结NC，NM，求证：CN⊥MN. 　　(2)证明：如答图，过点A作AP∥BC交CN的延长线于点P，连结PM，MC，易证△APN≌△DCN(AAS)，∴AP＝DC＝BM，PN＝CN.又易证∠PAC＝∠MBC，∴△PAC≌△MBC(SAS)，∴PC＝MC，∠PCA＝∠MCB，∴∠PCM＝60°，∴△PCM是等边三角形．∵PN＝CN，∴CN⊥MN. 10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：BD2＝AB2＋BC2． 第10题图 证明：如答图，过点B作AB的垂线，并截取BE＝BC， 答图 连结AE，CE，AC. ∵∠ADC＝60°，AD＝DC， ∴△ACD是等边三角形， ∴CD＝CA，∠ACD＝60°. ∵∠EBA＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CBE＝60°． 又∵BE＝BC，∴△BCE是等边三角形， ∴CB＝CE，∠BCE＝60°. ∵∠ACD＝60°，∴∠DCB＝∠ACE， ∴△DCB≌△ACE(SAS)，∴BD＝AE. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2. 又∵AE＝BD，BE＝BC，∴BD2＝AB2＋BC2. 学科网（北京）股份有限公司 $$