精品解析：上海市宝山区世外学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

上海市宝山世外中学高三开学考数学试卷 2024.08 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，若，则____________． 2. 已知等差数列中，，则数列的通项公式是___________. 3. 双曲线的渐近线方程是___________. 4. 若圆锥的侧面积为，高为4，则圆锥的体积为______ 5. 在的展开式中，的系数为___.（用数字作答） 6. x为实数，且不等式有解，则实数m取值范围是________________. 7. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则__________. 8. 若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为______. 9. 已知正实数满足,则的最小值为__________. 10. 已知不等式的解集为，则函数的单调递增区间为________. 11. 在集合中任取一个偶数和一个奇数构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是___________． 12. 已知为上的奇函数，且当时，，则的驻点为___________． 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知、，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 存，使得 B 当时， C. 当时， D. 对任意的，都有 15. 如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，设分别为线段的中点，将四边形沿着直线进行翻折，使得点不在平面上，在这一过程中，下列关系不能成立的是（ ） A. 直线直线 B. 直线直线 C. 直线直线 D. 直线平面 16. 群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③存在，使得对任意的，有称为单位元； ④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（ ） A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集关于数的加法构成群 C. 实数集关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，. （1）若，求； （2）若，求的面积. 18. 命题甲：关于x的不等式的解集是空集．命题乙：函数为单调递减函数． （1）若命题甲、命题乙中至少有一个真，求a的取值范围； （2）求a的取值范围，使命题甲是命题乙的必要条件． 19. 四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成的角. 20. 已知椭圆的右焦点为，直线. （1）若到直线的距离为，求； （2）若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求； （3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围. 21 给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质． （1）分别判断集合与否具有性质； （2）若集合具有性质，求的值； （3）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市宝山世外中学高三开学考数学试卷 2024.08 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由交集定义可得答案. 【详解】因，，，则，故. 故答案为： 2. 已知等差数列中，，则数列的通项公式是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设公差为d，由基本量代换列方程组，解出，即可得到通项公式. 【详解】设等差数列的公差为d，由题意可得：， 解得：， 所以. 故答案为：. 3. 双曲线的渐近线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由双曲线的方程求解即可 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故答案为： 4. 若圆锥的侧面积为，高为4，则圆锥的体积为______ 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的半径为r，母线长为l，高为h，则侧面积为，再结合，可得的值.然后根据锥体体积公式计算即可. 【详解】 设圆锥的半径为，母线长为，高为 ，有，解得：. 故答案为： . 5. 在的展开式中，的系数为___.（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，得出式子中的系数的表示式，得到结果． 【详解】∵（2x+1）5的通项式式是C5r（2x）5﹣r＝∁5r25﹣rx5﹣r 当5﹣r＝2时，即r＝3时，得到含有x2的项， ∴它的系数是C5322＝40 故答案为40． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项. 6. x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的最小值，只需m大于最小值即可满足题意. 【详解】利用三角不等式，有，当时等号成立 因为有解，只需即可, 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 7. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数性质求解即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 故答案为：. 8. 若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将条件转换为命题“存在”为真命题，对进行分类讨论. 【详解】由题意可知，命题“存在”为真命题. 当时，由可得，合乎题意； 当时，存在，使得成立， 当时，，所以存在成立， 综上所述，当的取值范围为全体实数. 故答案为： 9. 已知正实数满足,则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】因为，展开利用基本不等式求解即可. 【详解】因为正实数满足, 所以, 当且仅当即时等号成立, 所以的最小值为. 故答案为:. 10. 已知不等式的解集为，则函数的单调递增区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出，的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间. 【详解】解：因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根且， 所以，解得， 则， 令，解得， 所以函数的定义域为， 因为的单调递增区间为 ，在定义域上单调递增， 所以的增区间为（开闭均正确）. 故答案为：. 11. 在集合中任取一个偶数和一个奇数构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得满足题意的向量有4个，满足题意的平行四边形有6个，依次计算6个平行四边形的面积即可得答案. 【详解】由题可得满足题意的向量有，又若两向量不共线，且，则以两向量为邻边的平行四边形面积为：. 则以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 综上可知面积不超过4的平行四边形的个数是3. 故答案为：3 12. 已知为上的奇函数，且当时，，则的驻点为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由导数得出在上单调递增，且，再结合奇偶性得出的驻点. 【详解】，令， 则， 当时，；当时，. 则函数在上单调递减，在上单调递增，即. 则，即函数在上单调递增， 且， 再由函数为上的奇函数，可得的驻点为. 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知、，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数在上单调递增即可判断出结论. 【详解】是奇函数且为递增函数，所以，则，即，同理，，则，函数单调递增，得； “”是“”的充要条件. 故选：C. 14. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 当时， C. 当时， D. 对任意的，都有 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何含义可知A错误；通过求解两直线交点可知B错误；分别讨论和的情况，得到C错误；通过计算两直线重合的情况可知D正确. 【详解】对于A，表示过定点，且斜率不为的直线， 集合表示直线上所有的点，，A错误； 对于B，当时，，， 由得：，，B错误； 对于C，当时，，满足； 当，即时，直线与平行， ，解得：； 综上所述：当时，或，C错误； 对于D，若，则且直线与重合， ，方程组无解，，D正确. 故选：D. 15. 如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，设分别为线段的中点，将四边形沿着直线进行翻折，使得点不在平面上，在这一过程中，下列关系不能成立的是（ ） A. 直线直线 B. 直线直线 C. 直线直线 D. 直线平面 【答案】C 【解析】 【分析】画出翻折之后的立体图形，根据点线面之间的位置关系以及平行与垂直的相关定理，可以证明或证伪相关命题. 【详解】翻折之后如图所示： ①因为，，所以且， 因此，故选项A成立； ②连接，因为分别为的中点，所以， 又因为，所以，故选项B成立； ③因为，，所以与不平行，故选项C不成立； ④因为，且平面，平面， 所以平面，故选项D成立. 故选：C 16. 群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③存在，使得对任意的，有称为单位元； ④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（ ） A. 关于数乘法构成群 B. 自然数集关于数的加法构成群 C. 实数集关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 【答案】D 【解析】 【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求. 【详解】A：由且，使，但，不存在，使，不正确； B：由且，都有，但，不存在，使，不正确； C：由且，使，但，不存在，使，不正确； D：对所有的，可设，则， ①满足加法结合律，即，有； ②，使得，有； ③，设，使，正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：对于D，对所有的，可设，求出. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，. （1）若，求； （2）若，求面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可. (2)先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得. 【小问1详解】 由,应用正弦定理得, ,即得. 小问2详解】 因为 则, 又由正弦定理得 . 18. 命题甲：关于x的不等式的解集是空集．命题乙：函数为单调递减函数． （1）若命题甲、命题乙中至少有一个真，求a的取值范围； （2）求a的取值范围，使命题甲是命题乙的必要条件． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求解命题甲、乙分别为真命题时a的取值范围，再求解甲、乙都是假命题a的取值范围，求解对应补集即可； （2）即命题乙为真命题可推出命题甲为真命题，结合命题甲、乙分别为真命题时a的取值范围，分析求解即可. 【小问1详解】 由题意，若命题甲为真命题，即关于x的不等式的解集是空集， 即， 解得：或； 若命题乙为真命题，即函数为单调递减函数， 即，解得：； 若甲、乙都是假命题，则且或，即， 故若命题甲、命题乙中至少有一个真，a的取值范围是. 【小问2详解】 由题意，命题甲是命题乙的必要条件， 即命题乙为真命题可推出命题甲为真命题， 由（1）命题乙为真命题，即，命题甲为真命题，即或， 由于或 故当时，命题乙可推出命题甲，即命题甲是命题乙的必要条件. 19. 四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法及二面角的大小求出的值，再求平面的法向量，根据点到平面的距离求解即可； （2）先求出平面的法向量，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 因为四边形是正方形，平面，平面， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示坐标系， 设，，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取， 取平面的法向量， 因为二面角的大小为， 所以，解得，即， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取， 所以点到平面的距离. 【小问2详解】 由（1）得， 设平面的法向量， 则，取， 设直线与平面所成的角为，， 所以， 所以直线与平面所成的角为. 20. 已知椭圆的右焦点为，直线. （1）若到直线的距离为，求； （2）若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求； （3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程得右焦点为，再根据已知条件及点到直线的距离公式求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，先由韦达定理及弦长公式求，点到直线的距离公式求O到直线的距离，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分和两种情况讨论，易知不合题意，当时，根据题意可得直线的方程为或，代入方程可求点坐标，从而可求直线的方程，联立与椭圆方程，利用即可求出的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以右焦点为， 又因为，所以到直线的距离，解得； 【小问2详解】 设，， 由得， 所以，即，且， 所以 ， 又因为O到直线的距离为， 所以的面积为 ， 解得满足，所以； 【小问3详解】 若，则直线经过点，此时直线和直线的夹角为（舍去）， 若，由直线和直线的夹角为，且得， 直线的方程为或代入得或， 所以直线的方程为或代入椭圆方程得 或， 由或 解得或， 综上得的取值范围为且． 21 给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质． （1）分别判断集合与是否具有性质； （2）若集合具有性质，求的值； （3）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合． 【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质 （2） （3），，或 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足； （2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解； （3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解. 【小问1详解】 集合中的，， 所以集合不具有性质， 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质； 【小问2详解】 若集合具有性质，记，则， 令，则，从而必有， 不妨设，则，且， 令，，则，且，且， 以下分类讨论： 1）当时，若，此时，满足性质； 若，舍；若，无解； 2）当时，则，注意且，可知无解； 经检验符合题意， 综上； 【小问3详解】 首先容易知道集合中有0，有正数也有负数， 不妨设，其中，， 根据题意， 且，从而或， 1）当时，， 并且，， 由上可得，并且， 综上可知； 2）当时，同理可得， 据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个， 分别是，，或. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$