特训01 第23题-相似三角形（基础过渡练+上海考点练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训01 第23题-相似三角形（基础过渡练+上海考点练） 目录 01 1-13题基础过渡练 02 14-25上海考点练 一、解答题 1．（2024九年级·上海·专题练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，求证：AD·AB＝AE·AC 2．（2021九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 3．（2024九年级·上海·专题练习）如图，在中，是边上的一点，若，求证：. 4．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，在中，平分，交于点，过点作，交于点．求证：． 5．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图, ,. 求证： (1)； (2)． 6．（2024九年级·上海·专题练习）如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. 求证：. 7．（17-18九年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，. (1)和相似吗？ (2)小明说：“”，你同意吗？ 8．（2024九年级·上海·专题练习）如图所示，在矩形中，是上一点，于点． 求证：． 若，，求的长． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 10．（2024·山东潍坊·二模）如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 11．（20-21九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，是斜边上的高． 求证：（1）； （2）． 12．（2024九年级·上海·专题练习）已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E． 求证：（1）△ADE∽△FDB； （2）CD2=DE•DF． 13．（2023·福建福州·一模）如图，等边三角形的边长为3，点P为上的一点，点D为上的一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 15．（23-24八年级下·上海·期末）如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 16．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求证；． 17．（2024九年级下·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，为上一点，，． (1)求证：； (2)如果、、分别是、、的中点，连接、、、．求证：． 18．（2024九年级下·上海·专题练习）已知：如图，在中，点、分别在边、上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)求证：． 19．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图，在中，点是边上一点，，分别与、相交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：． 20．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形中，点分别在边上，且，分别交于点．    (1)求证：； (2)． 21．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 22．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，是的中线，，点在边上，． (1)求证：； (2)求证：． 23．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知在中，，点D在边上，，，E，F分别是垂足． (1)求证：； (2)连接，求证：． 24．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接交边于点． (1)如果，求证： (2)如果，的面积为1，求四边形的面积． 25．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在等腰中，，分别是上的点，满足 (1)若，求证； (2)若，，求的长； (3)过作平行线交延长线于，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 第23题-相似三角形（基础过渡练+上海考点练） 目录 01 1-13题基础过渡练 02 14-25上海考点练 一、解答题 1．（2024九年级·上海·专题练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，求证：AD·AB＝AE·AC 【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：先根据相似三角形的判定定理可求出△AED∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可解答． 试题解析：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△AED∽△ABC，∴，∴AD•AB=AE•AC． 2．（2021九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【答案】见解析 【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题． 【解析】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键． 3．（2024九年级·上海·专题练习）如图，在中，是边上的一点，若，求证：. 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定，由题意可得，进而根据相似三角形的性质，可得，推论即可得出结论. 【解析】证明：∵， ∴， ∴， 即. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，灵活运用相关性质是解题的关键. 4．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，在中，平分，交于点，过点作，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证得是解题关键． 【解析】证明：∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴．． ∴． 5．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图, ,. 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出答案即可； （2）根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 即：， ∵， ∴； （2）证明：由 (1) 可知， 则有， ∴． 6．（2024九年级·上海·专题练习）如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E. 求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，故BC=CE；根据平行线的性质及BC=CE可得出结论． 【解析】解：证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD． 又∵BE∥CD， ∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD． ∵∠ACD=∠BCD， ∴∠CBE=∠CEB． ∴BC=CE． ∵BE∥CD， ∴， 又∵BC=CE， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质． 7．（2024九年级·上海·专题练习）如图，在中，. (1)和相似吗？ (2)小明说：“”，你同意吗？ 【答案】(1)和相似，理由见解析 (2)同意，理由见解析 【分析】（1）先由等边对等角得出，再根据三角形外角的性质及已知条件证明出，又是公共角，从而证明出和相似； （2）由可得，再化为乘积的形式即可得出． 【解析】（1）解：和相似．理由如下： ∵， ∴， 又∵． ∴． ∵在和中， ， ∴． （2）解：我同意小明的说法．理由如下： ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 8．（2024九年级·上海·专题练习）如图所示，在矩形中，是上一点，于点． 求证：． 若，，求的长． 【答案】(1)详见解析;(2)3. 【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形可得出∠ADC=∠C=90°，再根据相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△DCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由（1）可知DF：AF=CE：DC，再结合已知条件即可求出CE的长． 【解析】证明： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∴， 即； ∵； ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形与三角形的性质. 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【解析】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 10．（2024·山东潍坊·二模）如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得． （2）结合相似三角形的判定证明，则可得． 【解析】（1）证明：， ． ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ． ， ， ， ， ， 11．（20-21九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，是斜边上的高． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）欲证明，只要证明△ACD∽△ABC即可． （2）欲证明．，只要证明△CDB∽△ADC即可． 【解析】证明：（1）∵∠A＝∠A，∠CDA＝∠ACB＝90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ∴ （2）在与中 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 12．（2024九年级·上海·专题练习）已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E． 求证：（1）△ADE∽△FDB； （2）CD2=DE•DF． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）利用相似三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质即可解决问题； 【解析】证明：（1）∵DE⊥AB， ∴∠ADE=∠BDF=90°， ∵∠ACB=∠ECF=∠FDB=90°， ∴∠E+∠CFE=90°，∠B+∠DFB=90°， ∵∠CFE=∠DFB， ∴∠E=∠B， ∴△ADE∽△FDB． （2）∵△ADE∽△FDB， ∴=， ∴AD•DB=DE•DF， ∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴AD=BD=CD， ∴CD2=DE•DF． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13．（2023·福建福州·一模）如图，等边三角形的边长为3，点P为上的一点，点D为上的一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出． （1）由等边三角形和得，，在中，，由此可得．因此，则； （2）由（1）的结论可得，从而可以求出线段的长． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵等边三角形边长为3，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级下·上海·期末）如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键． （1）通过证明，可得结论； （2）通过证明，可得，可得结论． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 16．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求证；． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，从而推出，得到，即可得证； （2）证明，得出，证明，再由相似三角形的性质即可得解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（2024九年级下·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，为上一点，，． (1)求证：； (2)如果、、分别是、、的中点，连接、、、．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将变形为，由，根据三角形的内角和定理推导出，即可证明； （2）根据三角形的中位线定理得，，，，，可证明四边形是平行四形，则，再证明，得，所以． 【解析】（1）证明：如图1， ， ， ， ， ，， ， ． （2）如图2，、、分别是、、的中点， ，，，，， ，， 四边形是平行四形， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线边形的判定等知识，证明四边形是平行四形及是解题的关键． 18．（2024九年级下·上海·专题练习）已知：如图，在中，点、分别在边、上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）根据可得，，则，，根据相似三角形的性质结合题意可推出，由等角的补角相等得，以此即可证明； （2）由（1）可知，由相似三角形的性质得，，易证明，由相似三角形的性质得，以此即可求解． 【解析】（1）， ， ， ， ，， ， ， ，即， ； （2）， ，， ， ， ， ， ． 19．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图，在中，点是边上一点，，分别与、相交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）通过证明，可得，由平行线的性质可得，且，可证； （2）由相似三角形的性质可得，且，可证，可得，由平行线分线段成比例可得，可得结论． 【解析】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，连接DG， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形中，点分别在边上，且，分别交于点．    (1)求证：； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论； （2）如图，过作于，得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过作于， 故，    则是等腰直角三角形， 由（1）知，， 即． 21．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质; （1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合平行四边形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，等量代换即可得解． 【解析】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ； （2）如图， 在中，，， ，， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ． 22．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，是的中线，，点在边上，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质， （1）根据，得到，进而得到，再结合，从而可得结论； （2）先证明，可得，可得，再证明，可得，可得，从而可得答案． 熟练的证明三角形相似是解本题的关键． 【解析】（1）证明：， ， ， 又， ， ； （2）， ． ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ， ， 由①②可得，． 23．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知在中，，点D在边上，，，E，F分别是垂足． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题． （1）证明，得到，即可解决问题； （2）如图，设与的交点为，先证明，得，则，进而可证明，得到，这是解决该问题的关键性结论；证明，结合，得到，列出比例式即可解决问题． 解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 【解析】（1）如图，∵，， ∴，而， ∴， ∴， ∴； （2）如图，设与的交点为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 又∵， ∴， ∴；而， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接交边于点． (1)如果，求证： (2)如果，的面积为1，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质可得出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论； （2）证明，得出，求出，，则可得出答案． 【解析】（1）证明：和都是等边三角形， ，， 又， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ． 25．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在等腰中，，分别是上的点，满足 (1)若，求证； (2)若，，求的长； (3)过作平行线交延长线于，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（）先证明，得到，再由得到，根据三线合一即可求证； （）证明即可求解； （）由得到，由得到，，代入转化即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即， ∴； （3）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$