湖南省 长沙市2024-2025学年七年级上学期数学第一次月考压轴题专题

湖南长沙七年级第一次月考压轴题 一 数列求和 1.. 观察下列等式 ，，； （1）猜想并写出：___________； （2）求下列式子的计算结果： （3）探究并计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干所给方法可直接进行求解； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）类比（1）中所给结论可进行求解． 【小问1详解】 解：； 故答案为； 小问2详解】 解：原式 ； 故答案为； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 2. （1）的最小值等于________； （2）的最小值等于________； （3）________． 【答案】（1）6；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据表示数轴上点到和4两个点距离之和，因此当时，有最小值，求出最小值即可； （2）由，可求4个，3个，1个，2个，3个3的中间数为，当时，式子有最小值； （3）将进行变形为，然后再进行计算即可． 【详解】解：（1）∵表示数轴上点到和4两个点距离之和， ∴当时，有最小值， ∴． 故答案为：6． （2）∵， ∴表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和， ∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数为， ∴当时，的值最小， 此时 （3） 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的运算，熟练掌握绝对值的意义，将变形为，是解题的关键． 3. (2023.湖南雅礼外国语)阅读材料： 求：， 解：设…① 将等式①两边同时乘2，得： …② 得： 即 请你根据以上材料，解答： （1）计算：； （2）已知数列：，，，，，…． ①它的第100个数是多少？ ②求这列数中前100个数和． 【答案】（1） （2）①它的第100个数是；②这列数中前100个数的和为 【解析】 【分析】（1）令和为S，用S乘3减S即可得解； （2）①根据数列中的数的规律： ，进行计算即可；②令和为S，用S乘3加S即可得解． 【小问1详解】 解：设…①， 将等式①两边同时乘3，得： …② 得： ， 即； 【小问2详解】 解：①由，，，，，…可知： 第个数为：， ∴第100个数为：； ②设…①， 将等式①两边同时乘3，得： …② 得： ， 即． 【点睛】本题考查数字类规律探究．通过题目给出的数据和运算方法，抽象概括出数字规律是解题的关键． 二 新定义 1. 对于一个正整数a，将其各个数位上的数字分别立方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数b，则称b是a的“荣耀数”．例如：a＝123，其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、8、27，则其个位数字分别为1、8、7，那么a的“荣耀数”b为187． （1）16的“荣耀数”为 　 　；2023的“荣耀数”为 　 　； （2）请求出“荣耀数”等于本身，且不大于50的数的个数． 【答案】（1）16；8087；（2）18个 【解析】 【分析】（1）根据“荣耀数”的定义进行计算求解； （2）通过分析立方后等于本身的个位数有0、1、4、5、6、9，然后再根据不大于50的正整数这个条件分析确定符合题意的数的个数． 【详解】解：（1）∵13＝1，63＝216， 其个位数字分别为1、6， ∴16的“荣耀数”为16， ∵23＝8，03＝0，33＝27， 其个位数字分别为8、0、8、7， ∴2023的“荣耀数”为8087， 故答案为：16；8087； （2）立方后其各位数字等于本身的数有0、1、4、5、6、9， 又∵该数为不大于50的正整数， ∴十位数字可以是0、1、4、5， 个位数字可以是0、1、4、5、6、9， ∴符合要求正整数有：1，4，5，6，9，10，11，14，15，16，19，40，41，44，45，46，49，50，共18个． 【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数的乘方运算，理解“荣耀数”的定义，掌握有理数乘方的运算法则，确定出立方后其个位数字等于本身的数有0、1、4、5、6、9是解题关键． 2. 阅读下列材料：若一个三位数，其百位数字减去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么我们称这个三位数为“等差数”，例如246，321… （1）在579，864，396，630这四个数中，不是“等差数”的是 ； （2）已知一个“等差数”的百位数字比十位数字小3，且其各位数字之和是15，求这个“等差数”； （3）喜欢动脑筋小芳在计算与的结果后，发现两个算式的结果均为396，于是，小芳猜想：将任意一个百位数字比十位数字大2的“等差数”的百位数字与个位数字对调后，得到的新“等差数”会比原来的“等差数”小396．请证明小芳的猜想是否正确． 【答案】（1）396 （2）这个“等差数”为258 （3）小芳的猜想正确，见解析 【解析】 【分析】本题以新定义为背景考查了因式分解的应用，考核了学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，表示出“等差数”，能根据条件找出合适的“等差数”． （1）根据“等差数”的定义进行判断即可； （2）设“等差数”的十位数字为，则百位数字为，个位数字为，列出方程并求解即可； （3）设“等差数”的十位数字为，则百位数字为，个位数字为，列出代数式并进行计算，最终求解． 【小问1详解】 ∵， ∴579，864， 630是“等差数”，396不是“等差数”， 故答案为：396； 【小问2详解】 设“等差数”的十位数字为，则百位数字为，个位数字为， ， ， ， 答：这个“等差数”为258． 【小问3详解】 设“等差数”的十位数字为，则百位数字为，个位数字为． 依题意可得： ． 小芳的猜想正确． 3. 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数、的中点数，定义为点、之间的距离，其中表示数、的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： （1）___________，___________； （2）已知，求的值； （3）当时，求的值． 【答案】（1）3，2 （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）分别根据中点的公式和两点之间距离公式计算即可； （2）根据已知等式求出x值，代入计算即可； （3）根据已知等式求出x值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： ； ， 故答案为：3,2； 【小问2详解】 ∵， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查了一元一次方程，两点间的距离，中点数的定义，解题的关键是熟读题干，理解所给公式的意义． 4.定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数为“隔一数对”． 例如:，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． （1）下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①； ②； ③． （2）计算： （3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】（1）①③；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】解：（1）①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②不是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③是“隔一数对”； 故答案为：①③； （2）根据定义，原式 ； （3）根据定义，原式 ． 【点睛】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． 5. 小雅对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． （1）请你根据以上算式将“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 ，异号得 ，并用较大的绝对值 （填“加上”或“减去”） 较小的绝对值；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得 ．（填“这个数本身”或“这个数的绝对值”） （2）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， ①用“乘减法”计算：； ②小雅发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 【答案】（1）正，负，减去，这个数的绝对值 （2）①；②不一定成立，见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①根据（1）中的“乘减法”进行计算即可； ②设，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【小问1详解】 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值； 【小问2详解】 ① ． ②设，，， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴结合律在有理数的“乘减法”中不成立． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． 三 绝对值探索 1. 探索研究： （1）比较下列各式的大小．（用“<”、“>”或“=”连接） ①_______________； ②_______________； ③_______________． （2）观察、分析、归纳，并比较大小：_______________．（填“>”、“<”、“≥”、“≤”或“=”） （3）根据（2）中得出的结论解答下列问题： ①当时，则x的取值范围是_______________； ②如果，求m的值． 【答案】（1）>；=；= （2）≥ （3）；或 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的定义去绝对值即可求解； （2）根据（1）中规律可知，当a，b异号时，，当a，b同号或其中一个为0时，，由此可总结出答案； （3）根据（2）中结论即可得出答案． 小问1详解】 解：①∵ ，， ∴； ②，， ∴； ③，， ∴； 【小问2详解】 解：通过（1）的比较、分析、归纳， 可知当a，b异号时，，当a，b同号或其中一个为0时，， ∴ ； 【小问3详解】 解：①∵， ∴ 根据（2）中得出的结论可知，x为0或负数， ∴ x的取值范围是； ②∵，， ∴ ， ∴ m，n异号． 当m为正数，n为负数时， ， ∴， ∴， ∴，或， 解得或； 当m为负数，n为正数时， ， ∴， ∴， ∴，或， 解得或； 综上所述，m的值为：或． 【点睛】本题考查去绝对值、有理数的大小比较、解一元一次方程等知识，解题的关键是学会寻找规律解决问题，属于常考题型． 2. （1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）5，x，4；（2）或；（3）①的最小值为6；②的最小值为7 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的双值性建立方程求解即可； （3）根据材料正确理解计算即可． 【详解】解：（1）， 表示表示数x和数4这两点的距离， 故答案为：5，x，4； （2）， ， 或， 解得：或； （3）①由探究材料3得，当时，有最小值，最小值为6． ， ∴最小值为6． ②由探究材料3得，这是在求点x到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为7， ． 的最小值为7． 【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． 3（阅读下列材料 ，即当x < 0 时， = −1，用这个结论可以 解决下面问题： （1）已知a ，b是有理数，当ab ≠ 0 时，求 的值； （2）已知a ，b是有理数，当abc ≠ 0 时，求 的值； （3）已知a ，b ，c 是有理数，a + b + c = 0 ， abc < 0 ，求 的值. 四 动点问题 `1. 已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b﹣1）2=0，A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|=|a﹣b|． （1）求线段AB的长|AB|； （2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|=2时，求x的值； （3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当P在A的左侧移动时，下列两个结论： ①|PM|+|PN|的值不变；②|PN|﹣|PM|的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值． 【答案】（1）5；（2）；（3）②；． 【解析】 【分析】（1）应用非负数的性质得，a+4=0，b-1=0，解得a和b的值，进而求得|AB|的值； （2）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题； （3）当P在A的左侧移动时，设点P对应的数为x，列式求出|PN|-|PM|的值即可． 【详解】解：（1）由题意得a+4=0，b-1=0， 解得：a=-4，b=1， 所以|AB|=1-（-4）=5； （2）当P在点A左侧时，|PA|-|PB|=-（|PB|-|PA|）=-|AB|=-5≠2， 当P在点B右侧时，|PA|-|PB|=|AB|=5≠2， ∴上述两种情况的点P不存在， 当P在A、B之间时，|PA|=|x-（-4）|=x+4，|PB|=|x-1|=1-x， ∵|PA|-|PB|=2， ∴（x＋4）－（1－x）＝2， ∴x=； ，， （3）第②个结论正确，|PN|－|PM|=． ∵|PN|-|PM|=（|PB|-|PA|）=|AB|=． 2. (2023.湖南立信中学) 已知点M，N，P是数轴上的三个点，点N对应的数是最小的正整数，点P的位置如图所示． （1）线段的长度为___________． （2）当时，请直接写出点M所表示的数． （3）若点A从点N处出发，以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向匀速运动；点B从点P处出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向匀速运动；点M从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿相同方向匀速运动，当点A与点B重合时，求线段的长度． 【答案】（1）6 （2）或19 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据点N表示的是最小的正整数，得出点N表示的数，然后根据两点间距离求出线段的长度即可； （2）设点M表示的数为m，根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）当点A与点B重合时，设运动时间为t秒，列出关于t的方程，解方程得出t的值，求出点M表示的数，然后求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵点N对应的数是最小的正整数， ∴表示的数为1， ∴， 故答案为：6． 【小问2详解】 解：设点M表示的数为m，根据题意得： ， 解得：或． 【小问3详解】 解：当点A与点B重合时，设运动时间为t秒，则点A运动的路程为，点B运动的路程为t，点M运动的路程为，由题意可列方程为： ， 解得：， ∴， ∴当点A与点B重合时，点M和点P所表示的数为6和7， ∴． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，注意用方程解决问题． 3. 已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________； （2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值； （3）若M为线段的中点，点N为线段的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为；点P表示的数为； （2）点P运动x秒时，与Q重合，则AP＝3x，BQ＝2x，根据，列出方程求解即可； （3）根据动点P在数轴上运动，点到原点的距离等于点到原点的距离相等， 故，由此可得出结论； 【小问1详解】 ∵点A表示的数为8，B在A点左边，， ∴点B表示的数是， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：； 【小问2详解】 设点P运动t秒时，与点Q重合，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点P运动秒时与点Q重合； 【小问3详解】 由（1）知，表示，表示，表示，表示， 为中点， 表示， 为中点， 表示， 点到原点的距离等于点到原点的距离相等， ， 即， 当时，（舍去）， 当时，， 答：当时，点到原点的距离等于点到原点的距离相等． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 4. 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为则两点间的距离就可记作． 回答下列问题： （1）数轴上表示和2的两点之间的距离是 ； （2）小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠数轴，表示2的点与表示的点重合．如果（在的左侧）两点之间的距离为2024，且两点经过上述折叠后重合，则表示的数分别是多少？ （3）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从至5）一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是多少？ 【答案】（1）6 （2）点表示的数是点表示的数是1011 （3）或2或 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及化简绝对值： （1）根据“点表示的数记为，点表示的数记为则两点间的距离就可记作．”直接代入数值，计算作答即可； （2）先根据表示2的点与表示的点重合，得出折叠处表示的数是，再设点表示的数是，则点表示的数是，即可作答． （3）依题意，先算出三条线段的长分别为，再进行分类讨论，即当；或当；或当，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：6； 【小问2详解】 解：∵表示2的点与表示的点重合， ∴折叠处表示的数是， 设点表示的数是，则点表示的数是， ， 解得， 点表示的数是点表示的数是1011； 【小问3详解】 解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是， 到5的距离是6， ， 解得， 三条线段的长分别为， 记三条线段分别为， ①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能是或2或． 5. 如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是　　，点C在数轴上表示的数是　　，线段BC的长＝　　； （2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为多少？ 【答案】（1）﹣10，14，24；（2）点B与点C在数轴上表示的数是；（3） 【解析】 【分析】（1）根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可找出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式可求出线段BC的长度； （2）找出运动时间为t秒时，点B、C在数轴上表示的数，利用两点重合即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）找出运动时间为t秒时，点A、B、C、D在数轴上表示的数，进而即可找出点M、N在数轴上表示的数，利用两点间的距离公式可求出线段MN的长． 【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12， ∴点B在数轴上表示的数是-10； ∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15， ∴点C在数轴上表示的数是14． ∴BC=14-（-10）=24． 故答案为：-10；14；24． （2）当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为t-10，点C在数轴上表示的数为14-2t， ∵B、C重合， ∴t-10=14-2t， 解得：t=8． 此时，， 答：点B与点C在数轴上表示的数是． （3）当运动时间为t秒时，点A在数轴上表示的数为-t-12，点B在数轴上表示的数为-t-10，点C在数轴上表示的数为14-2t，点D在数轴上表示的数为15-2t， ∵0＜t＜24， ∴点C一直在点B的右侧． ∵M为AC中点，N为BD中点， ∴点M在数轴上表示的数为，点N在数轴上表示的数为， ∴MN=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点间的距离、解一元一次方程以及数轴，解题的关键是：（1）根据点与点之间的位置关系找出点B、C在数轴上表示的数；（2）由两点的关系列出一元一次方程；（3）根据点的运动找出运动时间为t秒时，点M、N在数轴上表示的数． 6. 如图，在雅礼洋湖实验学校迎面50米接力比赛中，设运动时间为t秒，一班的A同学在数轴上位置C拿到最后一棒接力棒时，记为，此时二班的B同学已经位于数轴上数10的位置，A同学以每秒8米向左运动，B同学以每秒5米向左运动，两位同学到达D点即停止运动． （1）当秒时，A、B同学在数轴上所表示的数为______、______． （2）①若t秒后A恰好追上B，则______秒． ②记A在数轴上位置为a，B在数轴上的位置为b，在的值为0的这段时间内，B跑步的总路程是多少米？ （3）分别取线段AC、BD中点为E、F，若在点A、B运动期间，为定值（其中m，n为常数），求的值． 【答案】（1）17，5 （2）①5；②5.625米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据速度×时间=距离即可求解； （2）①根据t秒后A恰好追上B时，A同学的路程比B同学的路程多15列方程求解即可； ②分a、b均位于数轴的右侧；a、b位于数轴的左侧；a在原点的左侧，b在原点的右侧，三种情况讨论即可； （3）分别用t表示出E、F在数轴表示的数，然后求出线段，，进而求出，然后代入并化简得出，根据为定值（其中m，n为常数）得出，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，A同学在数轴上所表示的数为，B同学在数轴上所表示的数为； 故答案为：17、5； 【小问2详解】 解：①根据题意，得， 解得； 故答案为：5； ②解：当a、b均位于数轴上原点的右侧时，即，，此时，，的值为2，不满足要求． 当a、b位于数轴上原点的左侧时，即，，此时，，的值为，不满足要求． 当a在原点的左侧，b在原点的右侧时，即，，此时，，的值为0，满足要求． B于2秒后先抵达原点，A于（秒）后抵达原点． A，B在不同侧的总时间为（秒）， 此时B同学跑步的总路程为（米）； 【小问3详解】 解：A在数轴上所表示的数为，B在数轴上所表示的数为， 故， E在数轴上所表示的数为， F在数轴上所表示的数为， 线段长， 因为当A同学运动到D点时停止运动，所以总运动时间为（秒）， 所以，则， 即， 由于为定值，故， 解得． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练的利用方程思想解决数轴上的动点问题是解题的关键． 7.已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a，b，且满足． （1）求a，b的值； （2）点C是数轴上A，B之间的一个点，使得，求出点C所对应的数； （3）在（2）的条件下，点P、Q为数轴上的两个动点，点P从A点以１个单位长度/秒的速度向右运动，点Q同时从B点以2个单位长度/秒的速度向左运动，点P运动到点C时，P、Q两点同时停止运动，设P的运动时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由绝对值的非负性，可得出，，解之可得出a，b的值； （2）设点C所对应的数是c，则，，，根据，可列出关于c的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出点C所对应的数； （3）利用时间=路程÷速度，可求出点P到达终点所需时间，当运动时间为t秒时，点P所对应的数是，Q所对应的数是，进而可得出，，，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可求出t的值． 【小问1详解】 解：∵，且，， ∴，， 解得：，． 故，． 【小问2详解】 解：设点C所对应的数是c，则，，， 根据题意得：， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：． 故点C所对应的数是． 【小问3详解】 解：（秒）． 当运动时间为秒时，点P所对应的数是，Q所对应的数是， ∴，，， ∵， ∴． 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 故当时，t的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的非负性，数轴上的动点问题等，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程． 8. 如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． （1）请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ； （2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒； ① 当时，求t的值； ② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】（1），，4 （2）①或，②不会随着t的变化而改变，见解析 【解析】 【分析】（1）根据点在数轴上的位置写出答案即可； （2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，得到，由得到，解方程即可得到答案； ②由点M到P、Q两点的距离始终保持相等得到点M表示的数是，，，则，即可证明结论． 小问1详解】 解：由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为4； 故答案为：，，4 【小问2详解】 ①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， ②不会随着t的变化而改变，理由如下： 由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，点C表示的数是4，点A表示的数是， ∵点M到P、Q两点的距离始终保持相等， ∴点M表示的数是， ∵， ∴， 即为定值． 【点睛】此题考查了数轴上的点表示数、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，读懂题意，正确列式计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南长沙七年级第一次月考压轴题 一 数列求和 1. 观察下列等式 ，，； （1）猜想并写出：___________； （2）求下列式子的计算结果： （3）探究并计算：． 2. （1）的最小值等于________； （2）的最小值等于________； （3）________． 3.阅读材料： 求：， 解：设…① 将等式①两边同时乘2，得： …② 得： 即 请你根据以上材料，解答： （1）计算：； （2）已知数列：，，，，，…． ①它的第100个数是多少？ ②求这列数中前100个数和． 二 新定义 1. 对于一个正整数a，将其各个数位上的数字分别立方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数b，则称b是a的“荣耀数”．例如：a＝123，其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、8、27，则其个位数字分别为1、8、7，那么a的“荣耀数”b为187． （1）16的“荣耀数”为 　 　；2023的“荣耀数”为 　 　； （2）请求出“荣耀数”等于本身，且不大于50的数的个数． 2. 阅读下列材料：若一个三位数，其百位数字减去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么我们称这个三位数为“等差数”，例如246，321… （1）在579，864，396，630这四个数中，不是“等差数”的是 ； （2）已知一个“等差数”的百位数字比十位数字小3，且其各位数字之和是15，求这个“等差数”； （3）喜欢动脑筋小芳在计算与的结果后，发现两个算式的结果均为396，于是，小芳猜想：将任意一个百位数字比十位数字大2的“等差数”的百位数字与个位数字对调后，得到的新“等差数”会比原来的“等差数”小396．请证明小芳的猜想是否正确． 3. 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数、的中点数，定义为点、之间的距离，其中表示数、的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： （1）___________，___________； （2）已知，求的值； （3）当时，求的值． 4.定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数为“隔一数对”． 例如:，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． （1）下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①； ②； ③． （2）计算： （3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 5. 小雅对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． （1）请你根据以上算式将“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 ，异号得 ，并用较大的绝对值 （填“加上”或“减去”） 较小的绝对值；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得 ．（填“这个数本身”或“这个数的绝对值”） （2）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， ①用“乘减法”计算：； ②小雅发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 三 绝对值探索 1. 探索研究： （1）比较下列各式的大小．（用“<”、“>”或“=”连接） ①_______________； ②_______________； ③_______________． （2）观察、分析、归纳，并比较大小：_______________．（填“>”、“<”、“≥”、“≤”或“=”） （3）根据（2）中得出的结论解答下列问题： ①当时，则x的取值范围是_______________； ②如果，求m的值． 2. （1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 3．（阅读下列材料 ，即当x < 0 时， = −1，用这个结论可以 解决下面问题： （1）已知a ，b是有理数，当ab ≠ 0 时，求 的值； （2）已知a ，b是有理数，当abc ≠ 0 时，求 的值； （3）已知a ，b ，c 是有理数，a + b + c = 0 ， abc < 0 ，求 的值. 四 动点问题 `1. 已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b﹣1）2=0，A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|=|a﹣b|． （1）求线段AB的长|AB|； （2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|=2时，求x的值； （3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当P在A的左侧移动时，下列两个结论： ①|PM|+|PN|的值不变；②|PN|﹣|PM|的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值． 2. 已知点M，N，P是数轴上的三个点，点N对应的数是最小的正整数，点P的位置如图所示． （1）线段的长度为___________． （2）当时，请直接写出点M所表示的数． （3）若点A从点N处出发，以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向匀速运动；点B从点P处出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向匀速运动；点M从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿相同方向匀速运动，当点A与点B重合时，求线段的长度． 3. 已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． （1）当秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________； （2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值； （3）若M为线段的中点，点N为线段的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值． 4. 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为则两点间的距离就可记作． 回答下列问题： （1）数轴上表示和2的两点之间的距离是 ； （2）小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠数轴，表示2的点与表示的点重合．如果（在的左侧）两点之间的距离为2024，且两点经过上述折叠后重合，则表示的数分别是多少？ （3）如图，在数轴上剪下6个单位长度（从至5）一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是多少？ 5. 如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是　　，点C在数轴上表示的数是　　，线段BC的长＝　　； （2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为多少？ 6. 如图，在雅礼洋湖实验学校迎面50米接力比赛中，设运动时间为t秒，一班的A同学在数轴上位置C拿到最后一棒接力棒时，记为，此时二班的B同学已经位于数轴上数10的位置，A同学以每秒8米向左运动，B同学以每秒5米向左运动，两位同学到达D点即停止运动． （1）当秒时，A、B同学在数轴上所表示的数为______、______． （2）①若t秒后A恰好追上B，则______秒． ②记A在数轴上位置为a，B在数轴上的位置为b，在的值为0的这段时间内，B跑步的总路程是多少米？ （3） 分别取线段AC、BD中点为E、F，若在点A、B运动期间，为定值（其中m，n为常数），求的值． 7.已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a，b，且满足． （1）求a，b的值； （2）点C是数轴上A，B之间的一个点，使得，求出点C所对应的数； （3）在（2）的条件下，点P、Q为数轴上的两个动点，点P从A点以１个单位长度/秒的速度向右运动，点Q同时从B点以2个单位长度/秒的速度向左运动，点P运动到点C时，P、Q两点同时停止运动，设P的运动时间为t秒，当时，求t的值． 8. 如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． （1）请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ； （2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒； ① 当时，求t的值； ② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$