专题2.2一元二次不等式与绝对值不等式（考点精讲）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题2.2 一元二次不等式与绝对值不等式的解法 一、【考纲要求】 1.通过函数图象理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的紧密联系，理解一元二次不等式的几何意义； 2.掌握一元二次不等式的一般解法，并能用集合表示，能运用三个“二次”的关系解决相关的数学问题； 3.掌握与一元二次不等式有关的不等式恒成立及问题的解法； 4掌握绝对值的意义以及绝对值不等式的解法. 二、【考向预测】 1.一元二次不等式的解法与应用（高频考点） 2.绝对值不等式的解法 三、【知识清单】 1一元二次不等式的概念 (1)定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； (2)一般形式：，(其中，为常数). (3) 一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，记作这个一元二次不等式的解集. 2 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 3 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. 4绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 5．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法： 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a＜x＜a} ∅ ∅ |x|>a {x|x＞a或x＜－a} {x∈R|x≠0} R (2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 四、【考点分类剖析】 考点一：求一元二次不等式的解集 例1.已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【变式练习1】已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式练习2】关于的不等式：的解集为(   ) A． B． C． D． 【变式练习3】不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【变式练习4】解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 考点二：解含参的一元二次不等式 例1. 不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【变式练习1】不等式的解集为(    ) A． B．或 C． D．不等式的解集与a有关，要分类讨论 【变式练习2】若，则不等式的解集是(    )． A． B． C． D． 【变式练习3】不等式的解集为，则实数的取值范围为 【变式练习4】已知关于x的不等式. (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集. 考点三：三个“二次”之间的关系 例1. 若不等式的解集是 (1)求不等式的解集． (2)已知二次不等式的解集为， 求关于的不等式的解集． 【变式练习1】一元二次不等式的解为，那么的解集为(    ) A． B． C． D． 考点四：一元二次不等式恒成立问题 例1.若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式练习1】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式练习2】若不等式的解集为，则的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【变式练习3】函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 考点四：一元二次不等式应用 例1某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 【变式练习1】某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（单位：元/件）与月销售量（单位：件）之间的关系为，生产件的成本（单位：元）.若每月获得的利润（单位：元）不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式练习2】某产品的总成本（万元）与产量（台）之间满足如下关系式：（，）．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量为多少？ 考点五：绝对值不等式 例1.解下列含绝对值的不等式： (1)； (2)． 【变式练习1】已知集合，，则 ． 【变式练习2】不等式的解集为 . ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 一元二次不等式与绝对值不等式的解法 一、【考纲要求】 1.通过函数图象理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的紧密联系，理解一元二次不等式的几何意义； 2.掌握一元二次不等式的一般解法，并能用集合表示，能运用三个“二次”的关系解决相关的数学问题； 3.掌握与一元二次不等式有关的不等式恒成立及问题的解法； 4掌握绝对值的意义以及绝对值不等式的解法. 二、【考向预测】 1.一元二次不等式的解法与应用（高频考点） 2.绝对值不等式的解法 三、【知识清单】 1一元二次不等式的概念 (1)定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； (2)一般形式：，(其中，为常数). (3) 一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，记作这个一元二次不等式的解集. 2 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 3 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. 4绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 5．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法： 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a＜x＜a} ∅ ∅ |x|>a {x|x＞a或x＜－a} {x∈R|x≠0} R (2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 四、【考点分类剖析】 考点一：求一元二次不等式的解集 例1.已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解法和交集的运算得出即可. 【解析】， 所以， 故选：C 【变式练习1】已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】解出集合、，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【解析】或，或， 是的真子集， 因此，是的必要不充分条件. 故选：B 【变式练习2】关于的不等式：的解集为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解. 【解析】由得， 其解集等价于， 解得. 故选：B 【变式练习3】不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，即可得出结果. 【解析】不等式可以转化为. 等价于，∴， ∴， ∴不等式的解集为. 故选：A 【变式练习4】解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得. （3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解. 【解析】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 考点二：解含参的一元二次不等式 例1. 不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解法求解． 【解析】原不等式可化为，而，故， 图象开口向下， 故原不等式的解集为 故选：C 【变式练习1】不等式的解集为(    ) A． B．或 C． D．不等式的解集与a有关，要分类讨论 【答案】A 【分析】解含有参数的一元二次不等式，求出解集. 【解析】变形为， 显然，故不等式的解集为. 故选：A 【变式练习2】若，则不等式的解集是(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照开口向上一元二次不等式解法，解之即可. 【详解】由 可得或 则不等式的解集是 故选：D 【变式练习3】不等式的解集为，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】分，讨论，当时，根据二次函数性质可解. 【解析】当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【变式练习4】已知关于x的不等式. (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入解不等式即可； （2）整理可得，分、和三种情况，解不等式即可. 【解析】（1）当时，， 即，解得， 故该不等式的解集为. （2）. ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 考点三：三个“二次”之间的关系 例1. 若不等式的解集是 (1)求不等式的解集． (2)已知二次不等式的解集为， 求关于的不等式的解集． 【答案】见解析 【解析】(1)因为等式的解集是}， 所以和是一元二次方程的两根， ，解得， 不等式可化为，即， ，解得， 所以不等式的解集为； (2)由(1)知，二次不等式的解集为， 和是一元二次方程的两根， ，，解得，， 所以不等式可化为：， 即，解得． 所以关于的不等式的解集为． 【变式练习1】一元二次不等式的解为，那么的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【解析】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 考点四：一元二次不等式恒成立问题 例1.若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 【变式练习1】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，讨论二次项系数的取值情况，找出满足不等式无解的的取值集合即可. 【解析】：当时，，此不等式无解； 当，要使原不等式无解，应满足： ， 解得：. 故选：D. 【变式练习2】若不等式的解集为，则的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求. 【解析】①当时，成立 ②当 时，若不等式的解集为， 则不等式在恒成立， 则， 解得： 综上，实数的取值范围是 故选：D. 【变式练习3】函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)把代入，结合二次不等式的求解方法可得答案； (2)讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案； (3)利用韦达定理及限制条件可得答案. 【解析】(1)当时，原不等式等价于，解得，所以的解集为. (2)当时，恒成立； 当时，恒成立，则有，解得， 当时，显然不恒成立. 综上，的取值范围是. (3)有两个实数根，所以，，解得或，， 因为，所以， 解得或， 综上可得或. 考点四：一元二次不等式应用 例1某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 【答案】B 【分析】根据已知条件，先求出该厂每天获得的利润的函数解析式，再结合每天获利不少于1300元，列出不等式求解即可． 【解析】设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)． 由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是20≤x≤45． 故选：B． 【变式练习1】某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（单位：元/件）与月销售量（单位：件）之间的关系为，生产件的成本（单位：元）.若每月获得的利润（单位：元）不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，建立利润函数，列出不等式，可得答案. 【解析】由题意，得，， 令，得，， ，. 故选：D. 【变式练习2】某产品的总成本（万元）与产量（台）之间满足如下关系式：（，）．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量为多少？ 【答案】150台 【分析】根据题意可得，解不等式可得答案. 【解析】根据题意可得，整理得， 方程有两个不相等的实数根，， 由图象得不等式的解集为或， 在这个实际问题中，，所以的最小值为150， 即生产者不亏本时的最低产量为150台． 考点五：绝对值不等式 例1.解下列含绝对值的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式两边同时平方，转化为二次不等式求解； （2）利用零点分类讨论去掉绝对值符号，即可求解. 【解析】（1）由，有，得， 即，由，解得， 所以不等式解集为. （2）不等式， 等价于或或 解得或或，即， 所以不等式解集为. 【变式练习1】已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得. 【解析】由，即，解得， 所以， 由，即，等价于，解得或， 所以， 所以. 故答案为： 【变式练习2】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，结合二次不等式可得，结合绝对值的几何意义分析求解. 【解析】因为，即， 又因为，，则， 整理得，解得或（舍去）， 由，可得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 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