第13章 轴对称章节复习 讲义 2024-2025学年人教版八年级数学上册

第14讲 轴对称章节复习 例1、在平面直角坐标系中，点，点关于轴对称，点的坐标是，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 针对性训练1 1．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标为　　 A． B． C． D． 例2、如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 针对性训练2 1．如图，已知等腰三角形，．若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 例3、已知与是两个大小不同的等腰直角三角形． （1）如图①所示，连接，，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由； （2）如图②所示，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由． 针对性训练3 1．如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接、，交于点． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求证：过点、的直线垂直平分线段． 例4、如图，平分，，垂足为点，． 求证：是等腰三角形 ． 针对性训练4 1．如图，在中，，，平分交于点． 求证：． 例5、如图，在中，，、是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是　　 A． B． C． D． 针对性训练5 1．如图所示，正方形的边长为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 ． 【巩固练习】 1．的一个内角的大小是，且，那么的外角的大小是　　 A． B．或 C．或 D．或 2．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于　　 A． B．或 C．或 D．或或 3．如图，已知中，，，在直线或上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 4．已知的三边长分别为，，，且，则一定是（ ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．底边长为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．在中，，则与之间的大小关系是　　 A． B． C． D． 6．如图，在直角三角形中，，，，则 度． 7．如图，凸五边形中，，，则 。 A． B． C． D． 8．如图，点在上，点在上，且，，，则 ． 9．如图，是边长为6的等边三角形，于，于，于，则 ． 10．如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④当在内绕顶点旋转时（点不与、重合），．上述结论中始终正确的个数为 。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，一个六边形的6个内角都是，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是　 　． 12．两个全等的含，角的三角板和三角板如图所示放置，，，三点在一条直线上，连接，取的中点，连接，．试判断的形状，并说明理由． 13．如图，内，，，，分别在，上，并且，分别是，的平分线，求证：． 14．如图，已知：在中，，，为中点，于，延长交于．求证： 15．如图，是边长为的等边三角形，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个角，角的两边分别交于，交于，连接，形成一个三角形， 求证：的周长等于2． 16．如图所示，在中，，，又，、都是外等边三角形，点在上，且． （1）证明：△△； （2）证明：△△； （3）从、△、△、的面积关系上，能得出什么结论？ 答案： 例1、在平面直角坐标系中，点，点关于轴对称，点的坐标是，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：点，点关于轴对称，点的坐标是，点的坐标是，故选：． 针对性训练1 1．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】解：点向右平移3个单位长度得到的的坐标为，即， 则点关于轴的对称点的坐标是，故选：． 例2、如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，， 的垂直平分线交于，，，， ．故选：． 针对性训练2 1．如图，已知等腰三角形，．若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， 以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，， ，，，故选：． 例3、已知与是两个大小不同的等腰直角三角形． （1）如图①所示，连接，，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由； （2）如图②所示，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1），， 证明：与是等腰直角三角形，，， 在和中，，，，， ，，； （2），， 证明：设与交于，由题意得，， ， ，， 在和中，，，，， ，，， ，即． 针对性训练3 1．如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接、，交于点． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求证：过点、的直线垂直平分线段． 【解答】解：（1）； 在和中，，，； （2）连接．，， 由（1）可知，，， ，点、均在线段的垂直平分线上，即直线垂直平分线段． 例4、如图，平分，，垂足为点，． 求证：是等腰三角形 ． 【解答】证明：，， 平分，，， ， ，， ， ，是等腰三角形 ． 针对性训练4 1．如图，在中，，，平分交于点． 求证：． 【解答】证明：，，， 平分交于点，，，， ，，，，． 例5、如图，在中，，、是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图连接，，，，，， ，、、共线时，的值最小，最小值为的长度，故选：． 针对性训练5 1．如图所示，正方形的边长为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为　6　． 【解答】解：设与交于点，连接， 点与关于对称，，最小． 即在与的交点上时，最小，为的长度； 正方形的边长为6，． 又是等边三角形，．故所求最小值为6． 【巩固练习】 1．的一个内角的大小是，且，那么的外角的大小是　　 A． B．或 C．或 D．或 【解答】解：①若，则，，的外角为． ②若，则的外角为．故选：． 2．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于　　 A． B．或 C．或 D．或或 【解答】解：①如图，，，， ，，． ②如图，，，， ，，． ③如图，，，， ，，．故选：． 3．如图，已知中，，，在直线或上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【解答】解：如图，第1个点在延长线上，取一点，使； 第2个点在延长线上，取一点，使；第3个点在延长线上，取一点，使； 第4个点在延长线上，取一点，使；第5个点在延长线上，取一点，使； 第6个点在上，取一点，使；符合条件的点有6个点．故选：． 4．已知的三边长分别为，，，且，则一定是（ ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．底边长为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：已知等式变形得：ac+abbc=b+cb+c−a,即a(b+c)2−a2(b+c)=bc(b+c)， ∵b+c≠0,∴a(b+c)−a2=bc,即ab+ac−a2−bc=0，分解因式得：−a(a−b)+c(a−b)=0,即(a−b)(−a+c)=0， 可得a=b或a=c，则△ABC一定为等腰三角形， 5．在中，，则与之间的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，延长到，使，连接， 在中，，，是的外角，， ，，， 在中，，即．故选：． 6．如图，在直角三角形中，，，，则　45　度． 【解答】解：，， ，， ， 故答案为：45． 7．如图，凸五边形中，，，则 。 B． B． C． D． 【解答】解：连接，易得梯形， ，且，；进而可得． 在中，；．故选：． 8．如图，点在上，点在上，且，，，则　　． 【解答】解：设； 又；而，则 ．故填． 9．如图，是边长为6的等边三角形，于，于，于，则　2　． 【解答】解：由是等边三角形得， 又于，于，于，， 为等边三角形，，， ，，，，解得：． 10．如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④当在内绕顶点旋转时（点不与、重合），．上述结论中始终正确的个数为 。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：是等腰直角三角形，， ，，是中点，， 、都是的余角，， 在与中，，，同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到，是直角，是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到，则，故③正确； ④，，，， ，④错误；故选：． 11．如图，一个六边形的6个内角都是，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是　42　． 【解答】解：如图，延长并反向延长，，． 六边形的每个内角都是，，是等边三角形， 六边形的周长．故答案为：42． 12．两个全等的含，角的三角板和三角板如图所示放置，，，三点在一条直线上，连接，取的中点，连接，．试判断的形状，并说明理由． 【解答】解：是等腰直角三角形．理由如下：连接． ，，， ，，，是等腰直角三角形． 又为的中点，，（三线合一）， ，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 在和中，，，． ，， 又，． 是等腰直角三角形． 13．如图，内，，，，分别在，上，并且，分别是，的平分线，求证：． 【解答】证明：延长到，使，连接．则． ，分别是，的平分线，，， ，，．， 又，． 在与中，，，；，． 即，． 14．如图，已知：在中，，，为中点，于，延长交于．求证： 【解答】证明：过、分别做的垂线，垂足分别为、． 设，那么，，，， 又，，， ， ，，． 15．如图，是边长为的等边三角形，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个角，角的两边分别交于，交于，连接，形成一个三角形， 求证：的周长等于2． 【解答】证明：如图，在延长线上截取， 是等边三角形，是顶角的等腰三角形， ，，，，， 在和中，，， 得，，，， 在和△中，，△，， 故的周长． 16．如图所示，在中，，，又，、都是外等边三角形，点在上，且． （1）证明：△△； （2）证明：△△； （3）从、△、△、的面积关系上，能得出什么结论？ 【解答】解：（1），，都是等边三角形， ，，，． ，，是等边三角形，，． ，，． 在和中，， ，，，． 在和中，，， ，，，，，，． 在△和△中，，△△； （2）△△，，，，． 在△和△中△△； （3）、△、△、的面积为：． 理由：△△，△△，，． ，，， 在和△中，△，． ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$