1.2 集合间的基本关系（七大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．2 集合间的基本关系 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 3 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 3 题型二：韦恩图及其应用 4 题型三：由集合间的关系求参数的范围 6 题型四：集合间的基本关系 7 题型五：判断两集合是否相等 7 题型六：根据两集合相等求参数 8 题型七：空集的性质 9 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一．集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点诠释： （1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． （2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）． 知识点二．真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 知识点三．空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 【典型例题】 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 【典例1-1】（2024·江苏南京·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【典例1-2】（2024·高一·广东梅州·开学考试）集合的真子集的个数是（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【方法技巧与总结】 （分类讨论是写出所有子集的方法） 1、分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． 2、若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 【变式1-1】（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【变式1-2】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【变式1-3】（2024·高一·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二：韦恩图及其应用 【典例2-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【方法技巧与总结】 Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【变式2-1】（2024·高一·河南新乡·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 题型三：由集合间的关系求参数的范围 【典例3-1】（2024·高一·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【典例3-2】（2024·高一·上海·课堂例）已知集合，且，且.求实数k的取值范围. 【方法技巧与总结】 （根据集合之间关系，求参数的值或范围） 1、求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． 2、涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 【变式3-1】（2024·高一·上海·课堂例）已知集合，.是否存在实数，使得？若存在，求a的值；若不存在，说明理由. 【变式3-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知，若，求a的取值范围． 【变式3-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【变式3-4】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型四：集合间的基本关系 【典例4-1】（2024·高三·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②⫋，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4-2】（2024·高一·全国·课前预习）已知是正数，是正整数，是实数，那么之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）． 【变式4-1】（2024·高三·河北唐山·阶段练习）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，，下列说法正确的是（    ） A．不存在实数使得 B．当时， C．当时， D．存在实数使得 题型五：判断两集合是否相等 【典例5-1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高一·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【方法技巧与总结】 判断两集合是否相等，关键在于确认它们是否拥有完全相同的元素，即两个集合中的每一个元素都能在另一个集合中找到，且元素的数量也相同。不考虑元素的排列顺序，只关注元素的存在性和数量。若满足这些条件，则两个集合相等。 【变式5-1】（2024·高一·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（2024·高一·湖北宜昌·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 题型六：根据两集合相等求参数 【典例6-1】（2024·高三·湖南常德·阶段练习）若集合，则 ． 【典例6-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程的解组成的集合，且集合A与集合B是同一个集合，则a＝ ；b＝ ． 【变式6-1】（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【变式6-2】（2024·高一·全国·竞赛）已知，若集合，则 . 【变式6-3】已知集合，其中，若，则 ． 【方法技巧与总结】 根据两集合相等求参数，关键在于利用集合相等的定义：两个集合相等当且仅当它们拥有完全相同的元素。这意味着，我们可以通过比较两个集合的元素，建立等式或不等式关系，进而求解参数。求解过程中，需要确保集合中的元素满足相等条件，从而解出参数的值。 题型七：空集的性质 【典例7-1】（2024·高一·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例7-2】（2024·广东·一模）下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 空集是特殊的集合，它不包含任何元素。空集具有独特的性质：它是任何集合的子集，包括它自身。空集与任何集合的并集仍是该集合本身，空集与任何集合的交集仍是空集。 【变式7-1】（2024·高一·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·高一·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 【变式7-3】（2024·高一·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2 集合间的基本关系 目录 【题型归纳目录】 3 【思维导图】 3 【知识点梳理】 3 【典型例题】 4 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 4 题型二：韦恩图及其应用 6 题型三：由集合间的关系求参数的范围 8 题型四：集合间的基本关系 10 题型五：判断两集合是否相等 13 题型六：根据两集合相等求参数 14 题型七：空集的性质 16 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一．集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点诠释： （1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． （2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）． 知识点二．真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 知识点三．空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 【典型例题】 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 【典例1-1】（2024·江苏南京·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【解析】由题意，得,故集合A子集个数为个. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高一·广东梅州·开学考试）集合的真子集的个数是（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【解析】由题可得：，所以集合的真子集个数为； 故选：D 【方法技巧与总结】 （分类讨论是写出所有子集的方法） 1、分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． 2、若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 【变式1-1】（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【解析】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 【变式1-2】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 【变式1-3】（2024·高一·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】，又，， 故集合为包含元素和，且为的子集， 故集合可以为：，则集合的个数是个. 故选：B. 题型二：韦恩图及其应用 【典例2-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得． 故选：C 【典例2-2】（2024·高一·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】，又， 所以⫋，选项B符合， 故选：B. 【方法技巧与总结】 Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【变式2-1】（2024·高一·河南新乡·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得： 由题意得， 所以N是M的真子集． 故选：B 【变式2-2】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】化简集合，判断集合没有包含关系，即可得出答案.，集合没有包含关系 故选：A 题型三：由集合间的关系求参数的范围 【典例3-1】（2024·高一·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【解析】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 【典例3-2】（2024·高一·上海·课堂例）已知集合，且，且.求实数k的取值范围. 【解析】因为， 当，即时，，满足条件； 当，即时， 有，解得，此时； 综上所述，实数的取值范围为，故的范围为. 【方法技巧与总结】 （根据集合之间关系，求参数的值或范围） 1、求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． 2、涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 【变式3-1】（2024·高一·上海·课堂例）已知集合，.是否存在实数，使得？若存在，求a的值；若不存在，说明理由. 【解析】因为，，， 所以1是的根，即，解得， 当时，，符合， 故存在，使得. 【变式3-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知，若，求a的取值范围． 【解析】①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； ③若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得； 综上所述，或. 【变式3-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【解析】（1）若，如图所示， 则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示， 则，解得， 综上，m的取值范围为． 【变式3-4】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 题型四：集合间的基本关系 【典例4-1】（2024·高三·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②⫋，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以⫋，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 【典例4-2】（2024·高一·全国·课前预习）已知是正数，是正整数，是实数，那么之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合的关系如图： 故选：B. 【方法技巧与总结】 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）． 【变式4-1】（2024·高三·河北唐山·阶段练习）已知集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由, 得, 所以，故C正确； 对于A,故A错误； 对于B,,故B错误； 对于D,故D错误. 故选：C. 【变式4-2】（2024·高一·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 【变式4-3】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，，下列说法正确的是（    ） A．不存在实数使得 B．当时， C．当时， D．存在实数使得 【答案】AD 【解析】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确. 选项B：当时，，不满足，故选项B错误. 若，则 ①当时，有，； ②当时，有此方程组无实数解； 所以若，则有，故选项C错误，选项D正确. 故选：AD. 题型五：判断两集合是否相等 【典例5-1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，，， 只有B表示，其它A、C、D均表示，B与众不同． 故选：B 【典例5-2】（2024·高一·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合； D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 【方法技巧与总结】 判断两集合是否相等，关键在于确认它们是否拥有完全相同的元素，即两个集合中的每一个元素都能在另一个集合中找到，且元素的数量也相同。不考虑元素的排列顺序，只关注元素的存在性和数量。若满足这些条件，则两个集合相等。 【变式5-1】（2024·高一·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 【变式5-2】（2024·高一·湖北宜昌·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项：与不是同一个点，A选项错误； B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误； C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确； D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误； 故选：C. 题型六：根据两集合相等求参数 【典例6-1】（2024·高三·湖南常德·阶段练习）若集合，则 ． 【答案】 【解析】因为，可得，所以， 当时，，显然不成立； 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程的解组成的集合，且集合A与集合B是同一个集合，则a＝ ；b＝ ． 【答案】 －3 2 【解析】因为集合A与集合B是同一个集合，且， 所以，即1，2是方程的两个实数根， 所以，解得. 故答案为：，2 【变式6-1】（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【解析】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高一·全国·竞赛）已知，若集合，则 . 【答案】2 【解析】因为，所以，于是可得或， 由得，而无解，所以， 所以=2. 故答案为：2 【变式6-3】已知集合，其中，若，则 ． 【答案】 【解析】，即，又，所以， 解得，当时，，与元素的互异性矛盾，所以． 时，符合要求， 故答案为： 【方法技巧与总结】 根据两集合相等求参数，关键在于利用集合相等的定义：两个集合相等当且仅当它们拥有完全相同的元素。这意味着，我们可以通过比较两个集合的元素，建立等式或不等式关系，进而求解参数。求解过程中，需要确保集合中的元素满足相等条件，从而解出参数的值。 题型七：空集的性质 【典例7-1】（2024·高一·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 【典例7-2】（2024·广东·一模）下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，的表示格式不对，元素与集合间用，不能用等号，故A不正确； 对于B选项,正确，因为事任何集合的子集； 对于C选项, 因为事任何集合的子集,所以有，故C不正确； 对于D选项,由于空集中没有任何元素，所以事错误的，故D不正确， 故选B. 【方法技巧与总结】 空集是特殊的集合，它不包含任何元素。空集具有独特的性质：它是任何集合的子集，包括它自身。空集与任何集合的并集仍是该集合本身，空集与任何集合的交集仍是空集。 【变式7-1】（2024·高一·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 【变式7-2】（2024·高一·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 【答案】C 【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 【变式7-3】（2024·高一·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误； 对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确； 对于C，因为是集合中的元素，故C正确. 故选：A. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1．2 集合间的基本关系 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一：集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 知识梳理 知识点二：真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B 读作：A真包含于B 知识梳理 知识点三：空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 03 典型例题 【例1】（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【解析】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 典型例题 【变式1-1】（2024·高三·辽宁丹东·开学考试）已知集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】集合， 其真子集有：，，，，，，，共7个． 故选：C 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 典型例题 【变式1-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）满足集合为的真子集且的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【解析】因为集合 ⫋ ， 则集合可以为，，，，，，共7个， 故选：B 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 典型例题 【例2】（2024·高一·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为，所以C正确． 故选：C 题型二：韦恩图及其应用 典型例题 【变式2-1】（2024·高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}， 所以N⊆M， 所以选B． 故选：B 题型二：韦恩图及其应用 典型例题 【变式2-2】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）． 【答案】② 【解析】．由N＝{x|x2+x＝0}， 得N＝{﹣1，0}． ∵M＝{﹣1，0，1}， ∴N⊊M， 故答案为②． 题型二：韦恩图及其应用 典型例题 【例3】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合． （1）若，为常数，求实数m的取值范围． （2）若，为常数，求实数m的取值范围． （3）若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 题型三：由集合间的关系求参数的范围 典型例题 【变式3-1】（2024·高一·河北沧州·期中）已知集合， ，若，求实数m的取值范围． 【解析】由， 当，则，满足题设； 当，则； 综上，． 题型三：由集合间的关系求参数的范围 典型例题 【变式3-2】（2024·高一·湖南衡阳·阶段练习）已知集合 ． （1）若，求的取值范围． （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为． （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为． 题型三：由集合间的关系求参数的范围 典型例题 【例4】（多选题）（2024·高一·全国·随堂练习）下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为集合中的元素在集合中，因此这两个集合是包含关系，不是属于关系，因此选项A不正确； 因为集合与集合中的元素相同，所以这两个集合相等，因此选项B正确； 因为集合中的元素都在集合中，因此正确，故选项C正确； 因为集合中的元素不是空集，所以不正确，因此选项D不正确， 故选：AD 题型四：集合间的基本关系 典型例题 【变式4-1】（多选题）（2024·高一·全国·课堂例题）下列各对集合M，N中，满足M是N的子集的是（    ） A．， B．， C．M＝{x|x是正方形}，N＝{x|x是矩形} D．， 【答案】BC 【解析】对于A，因为是数集，是点集， 所以M不是N的子集，所以A错误， 对于B，因为，， 所以M是N的子集，所以B正确， 对于C，因为M＝{x|x是正方形}，N＝{x|x是矩形}，正方形是特殊的矩形， 所以M是N的子集，所以C正确， 对于D，因为，， 所以N是M的子集，所以D错误． 故选：BC 题型四：集合间的基本关系 典型例题 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合， ，，则下列的关系正确的是（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【答案】B 【解析】由， 而为奇数，为整数，又， 所以⫋ 故选：B． 题型四：集合间的基本关系 典型例题 【例5】（2024·高一·全国·假期作业）下列各组中的 表示同一集合的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【解析】A．中有两个元素，中有一个元素， ； B．有序数对 ； C． ； D．的元素是实数，的元素是有序数对， ． 故选：C 题型五：判断两集合是否相等 典型例题 【变式5-1】（2024·高一·云南大理·阶段练习）下列各组集合中，M与N表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，，，故A错误； 对于B，是数集，是点集，，故B错误； 对于C，，，，故C正确； 对于D，是点集，不是点集，，故D错误． 故选：C． 题型五：判断两集合是否相等 典型例题 【变式5-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）下列各组集合中表示同一集合的是 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由集合为点集，集合为数集，所以不是同一集合； 根据集合的表示方法，可得集合和集合表示同一个集合； 由集合表示数集，集合为点集，所以不是同一集合； 又由集合和元素不相同，所以不是同一集合． 故选：B． 题型五：判断两集合是否相等 典型例题 【例6】（2024·高一·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 【答案】 【解析】由题意得， 则，解得． 故答案为：． 题型六：根据两集合相等求参数 典型例题 【变式6-1】（2024·高一·湖南郴州·阶段练习）已知，，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，，且， 则，解得， 因此，． 故答案为：． 题型六：根据两集合相等求参数 典型例题 【变式6-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，若，则c的值为 ． 【答案】 【解析】①若，消去b得， 当时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故，，即，此时集合B中的三个元素也相同， ∴舍去，即此时无解． ②若，消去得，同理， ∴，经检验满足题意 题型六：根据两集合相等求参数 典型例题 【例7】（多选题）（2024·高一·江苏·课后作业）给出下列选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】BCD 【解析】对于，不是的元素，故不正确； 对于，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确； 对于，是的元素，故正确； 对于，是任何非空集合的真子集，有一个元素，是非空集合，故正确． 故答案为：． 题型七：空集的性质 典型例题 【变式7-1】已知集合，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵， ∴， 解得， 因此实数k的取值范围是． 故答案为：． 题型七：空集的性质 典型例题 【变式7-2】（2024·高一·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 【答案】② 【解析】由数集的定义知：，，则①③错； 由空集性质和集合关系知：，，则②对，④错． 故答案为：② 题型七：空集的性质 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 2．（2005·天津·高考真题）设集合的真子集个数为（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 3．（2012·湖北·高考真题）已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2001·北京·高考真题）集合M={1,2,3,4,5}的子集的个数是( ) A．15 B．16 C．31 D．32 5．（2007·山西·高考真题）设a,b∈R，集合，则=(    ) A．1 B．-1 C．2 D．-2 B C D D C $$