2.8 直角三角形全等的判定 课件 2024-2025学年 浙教版数学八年级上册

SSS SAS ASA AAS 我们学过的判定三角形全等的方法？ 温故而知新！ 如图，Rt△ABC中，∠C =90°， 直角边是____、_____，斜边是______. C B A AC BC AB 前面学过的四种判定三角形全等的方法, 对直角三角形是否适用？ 温故而知新！ A B C A′ B′ C′ 1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 温故而知新！ 如图，已知AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？ 我们知道，证明三角形全等不存 在SSA定理. A B C D E F 温故而知新！ 4 问题： 如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠B=∠E=90°， 且AC=DF，BC=EF，现在能 判定△ABC≌△DEF吗？ A B C D E F 1 温故而知新！ 任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°。再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °，B′C′=BC，A ′B ′=AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ A B C 作图探究 精彩来自发现 画图思路 （1）先画∠M C′ N=90° A B C M C′ N 精彩来自发现 （2）在射线C′M上截取B′C′=BC M C′ A B C N B′ M C′ 精彩来自发现 （3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′ M C′ A B C N B′ A′ 精彩来自发现 （4）连接A′B′ M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 精彩来自发现 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. AB=A′B′, BC=B′C′, 精彩来自发现 第2章 特殊三角形 2.8 直角三角形全等的判定 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由. （1）一个锐角和这个角的对边对应相等.（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等.（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等. （ ） （4）两直角边对应相等. （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ） HL × SAS AAS AAS 试一试，我能行！ 例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD. 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. AB=BA, AC=BD ， 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路. 典型例题 变式1： 如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） A B D C AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS 典型例题 如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC. 求证：AC=BD. 变式2 HL AC=BD Rt△ABD≌Rt△BAC 典型例题 例2 如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE. 典型例题 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF， AC=DF ， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF. ∵ ∠DEF+∠F=90°， ∴∠B+∠F=90°. 典型例题 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB , ∴ PD= PE. 几何语言： 猜想: 思考：这个结论正确吗？ 精彩来自发现 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP， PD= PE， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 精彩来自发现 性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 精彩来自发现 例4：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20 000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 典型例题 1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 试一试，我能行！ A F C E D B 2.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BF=DE. 试一试，我能行！ 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF. A F C E D B G 变式训练1 AB=CD, AF=CE. Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). BF=DE Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS). ∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE FG=EG BD平分EF 随堂即练 试一试，我能行！ 如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗? 变式训练2 C AB=CD, AF=CE. Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). BF=DE Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS). ∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE FG=EG BD平分EF 随堂即练 试一试，我能行！ 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 分析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合． 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm. 头脑风暴 (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm. 故当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等． 方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 随堂即练 直角三角形全等的判定 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 前提条件 在直角三角形中 角平分线 性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 课堂小结 $$