第07讲 确定圆的条件（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第07讲 确定圆的条件（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点2．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型强化 题型一．确定圆的条件 1．（2024•邗江区校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是　　 A．① B．② C．③ D．均不可能 2．（2023•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是　　． 3．（2022秋•淮安区期中）平面直角坐标系中，点、、、在上． （1）在图中清晰标出点的位置； （2）点的坐标是　　． 题型二．三角形的外接圆与外心 4．（2023秋•南京期末）如图，内接于，若，，则的半径为　　 A．1 B．2 C． D． 5．（2024•灌南县二模）的边，边，的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 　　． 6．（2024•鼓楼区模拟）如图，四边形中，，，过、、三点的圆交于点，交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 题型三、求三角形外心坐标 7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 8．（21-22九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 9．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，，，，请解答下列问题： (1)画出绕点顺时针旋转后得到的，使与对应，并写出点的坐标 (2)直接写出外接圆圆心的坐标 题型四、求特殊三角形外接圆的半径 10．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，是的三边长，且． (1)求，，的值； (2)求外接圆的半径． 分层练习 一、单选题 1．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法正确的个数有（    ） ①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4） 6．如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 7．下列语句中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆 C．三角形外心是三角形三个内角平分线的交点 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 8．如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 10．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（  ）    A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1) 二、填空题 11．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 12．如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．    14．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 15．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是的中点，连接，若，则 ． 16．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 17．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 18．如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为 ． 三、解答题 19．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 20．已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由． 21．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上． （1）在图中清晰标出点P的位置； （2）点P的坐标是_________. 22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ； (2)求外接圆的面积； (3)若点E的坐标，点E在外接圆 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 23．对于一个三角形，设其三个内角度数分别为，和，若x，y，z满足，我们定义这个三角形为美好三角形. (1)△ABC中，若，，则△ABC (填”是”或”不是”)美好三角形; (2)如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，，，⊙O直径为，求证：△ABC为美好三角形; (3)已知△ABC为美好三角形，，求的度数. 24．（1）如图1，请只用无刻度直尺找出的外心点；并直接写出其外接圆半径 　　； （2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心．    25．在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3） （1）画出△ABC的外接圆⊙P，写出点P的坐标并指出点D、点E与⊙P的位置关系； （2）若在x轴上有一点F，且∠AFB=∠ACB，则点F的坐标为　 　． 26．阅读下列材料： 已知实数m，n满足 ，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y满足 ，求值； (2)已知的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足，外接圆的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 确定圆的条件（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点2．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型强化 题型一．确定圆的条件 1．（2024•邗江区校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是　　 A．① B．② C．③ D．均不可能 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 2．（2023•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是　　． 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案为：． 【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 3．（2022秋•淮安区期中）平面直角坐标系中，点、、、在上． （1）在图中清晰标出点的位置； （2）点的坐标是　　． 【分析】点的坐标是弦，的垂直平分线的交点． 【解答】解：弦的垂直平分线是，弦的垂直平分线是，因而交点的坐标是． 【点评】理解圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键． 题型二．三角形的外接圆与外心 4．（2023秋•南京期末）如图，内接于，若，，则的半径为　　 A．1 B．2 C． D． 【分析】连接，并延长交于点，连接，由圆周角定理可得与的度数，再由勾股定理即可解答． 【解答】解：连接，并延长交于点，连接， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 的半径． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． 5．（2024•灌南县二模）的边，边，的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 　5　． 【分析】根据题意先解一元二次方程，由勾股定理得是直角三角形，且斜边长为10，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案． 【解答】解：， ， 解得：，， ， 是直角三角形，且斜边长为10， 直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点， 的外接圆半径为， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握其性质是解决此题的关键． 6．（2024•鼓楼区模拟）如图，四边形中，，，过、、三点的圆交于点，交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，求得，于是得到，根据矩形的判定定理得到四边形为矩形； （2）根据勾股定理得到，连接，，根据圆内接四边形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， 四边形为矩形； （2）解：，，， ， 连接，， 四边形是圆内接四边形， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地找出辅助线是解题的关键． 题型三、求三角形外心坐标 7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 的外心坐标为， 故选：D． 8．（21-22九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【知识点】求三角形外心坐标、用勾股定理解三角形 【分析】由题意可得，该圆为外接圆，根据垂径定理确定外接圆的圆心，即可求解． 【详解】解：由题意可得：完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆， 作线段的垂直平分线，如图， 可得外接圆的圆心坐标为， 半径 故答案为： 【点睛】此题考查了三角形的外接圆，涉及了垂径定理，解题的关键是确定外接圆的圆心． 9．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，，，，请解答下列问题： (1)画出绕点顺时针旋转后得到的，使与对应，并写出点的坐标 (2)直接写出外接圆圆心的坐标 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为． (2) 【知识点】求三角形外心坐标、画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】（1）根据旋转的性质作出点A、B绕点C顺时针旋转后得到的点、，顺次连接、、C即可得到，根据点在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）在网格中找到线段、的垂直平分线的交点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为． （2）外接圆圆心的坐标为， 由网格可知线段、的垂直平分线相交于点，即外接圆圆心的坐标为， 故答案为： 【点睛】此题考查了旋转的作图、三角形外接圆圆心的确定等知识，熟练掌握旋转的作图和外接圆圆心是解题的关键． 题型四、求特殊三角形外接圆的半径 10．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】C 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，在中，利用勾股定理求出的长，然后根据直角三角形外接圆的直径等于斜边的长即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴外接圆的半径， 故选：C． 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，是的三边长，且． (1)求，，的值； (2)求外接圆的半径． 【答案】(1)，，； (2)外接圆的半径是． 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、判断三边能否构成直角三角形、因式分解的应用 【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数之和为0，即可求解； （2）先证明是直角三角形，再根据直角三角形外接圆的圆心即为斜边中点的特点即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 即 ∴，，； （2）解：∵，，； ∴ ∴是直角三角形，且为斜边， 如图所示，取斜边上的中点，，则即为外接圆的半径    ∴ 【点睛】本题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，直角三角形的外接圆，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆的相关知识求解即可． 【详解】解：同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故①错误； 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故②错误； 直径是圆中最长的弦，故③正确； 经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，故④正确， 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆心角，圆弧，弦等圆的相关知识，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识． 2．在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用三角形的外心特征、等弧的定义、等圆的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故①正确； 若两条弧的度数相等，且半径相等，则它们是等弧，故②错误； 直径是圆中最长的弦，故③正确； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，故④错误， 正确的共有2个， 故选B． 【点睛】本题考查了圆的认识的知识以及三角形的外心，了解圆的有关定义是解答本题的关键，难度不大． 3．下列说法正确的个数有（    ） ①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是圆的基本性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键． 由圆心角，弧，弦之间的关系可判断①，由三角形的外心的性质可判断②，由圆的对称轴是直线可判断③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，从而可得答案． 【详解】解：①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，说法正确，故符合题意； ②由于三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，所以三角形的外心到三角形的三边距离相等说法错误，故不符合题意； ③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴，说法正确，故符合题意； ④由于过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，所以过三点可以画一个圆说法错误，故不符合题意． 故选：B． 4．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 5．如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4） 【答案】C 【分析】利用网格特点作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC外接圆的圆心． 【详解】解：如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 6．如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键． 7．下列语句中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆 C．三角形外心是三角形三个内角平分线的交点 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的有关概念、三角形的外心，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据等弧的概念，确定圆的条件以及三角形及其外心之间的关系解答即可． 【详解】解：在同圆或等圆中，能够重合的弧才是等弧，故选项A错误，不符合题意； 不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项B错误，不符合题意； 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故选项C错误，不符合题意； 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 8．如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】连接，，延长交于D， ∵等边三角形是， ∴，，， ∴， ∴ 由勾股定理得：， ∴ 则的面积是 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 9．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（  ）    A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1) 【答案】C 【详解】试题分析：根据勾股定理可知A、B、C点到2的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以. 故选C. 二、填空题 11．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 12．如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块． 【答案】① 【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径． 所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①． 故答案为：①． 【点睛】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的的条件是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据网格特点找出和的垂直平分线即可找出点P的位置即可． 【详解】解：分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，如图，   则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线的性质，正方形的性质，利用外心的定义找出点P的位置是解题的关键． 14．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可．本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或 15．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是的中点，连接，若，则 ． 【答案】4 【分析】连接，由点O是的外心，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵O是的外心，， ∴， ∴是中位线， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与圆心，三角形中位线定理，正确作出辅助线并熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键． 16．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，先求出解一元二次方程的根，再分和是直角三角形的两直角边和是直角边，是斜边两种情况解答，根据直角三角形的外接圆的直径即为斜边长即可求解，明确直角三角形的外接圆的直径即为斜边长并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 当和是直角三角形的两直角边时， 直角三角形的斜边， ∴此直角三角形的外接圆的直径为； 当是直角边，是斜边时， 此直角三角形的外接圆的直径为； 综上，此直角三角形的外接圆的直径为或， 故答案为：或． 17．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或． 18．如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，设，则，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得，在和中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，最后根据直角三角形的外接圆的性质求解即可得． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵，，是的中点， ∴，， ∴， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 又∵， ∴的外接圆半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、一元二次方程的应用、三角形外接圆的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 三、解答题 19．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键. （1）由“”可证 （2）分别作的垂直平分线，两条直线交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可画出的外接圆，由勾股定理可求的长， 即可求解. 【详解】（1）)证明：， ， 又 ， 在 和 ， ， ； （2） ∵，， ∴， ， ∴， 的外接圆半径 ， 故答案为： 20．已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】菱形；理由见解析 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的外心的性质以及菱形的判定，掌握四条边都相等的四边形是菱形是解题的关键．根据，得到，根据全等三角形的判定定理得到，得到，根据三角形外心的性质得到，根据菱形的判定定理得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的外心， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 21．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上． （1）在图中清晰标出点P的位置； （2）点P的坐标是_________. 【答案】（1）见解析；（2）（6，6）. 【分析】点P的坐标是弦AB，CD的垂直平分线的交点，据此可以得到答案． 【详解】解：弦AB的垂直平分线是y=6，弦CD的垂直平分线是x=6， 因而交点P的坐标是（6，6）． 【点睛】考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，理解圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ； (2)求外接圆的面积； (3)若点E的坐标，点E在外接圆 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【答案】(1) (2) (3)圆内 【分析】（1）作线段及线段的垂直平分线，交点即为圆心D；再根据D的位置可得其坐标； （2）连接，利用勾股定理求出，再根据面积公式计算即可； （3）利用勾股定理求出的长，由此判断即可． 【详解】（1）解：如图，作线段及线段的垂直平分线，交点即为圆心D； ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴外接圆的面积为； （3）解：∵，， ∴， ∵半径，而， ∴点E在外接圆内； 【点睛】此题考查三角形外接圆的圆心的确定，勾股定理，点与圆的位置关系，圆的面积的计算，正确确定三角形外接圆的圆心是解题的关键． 23．对于一个三角形，设其三个内角度数分别为，和，若x，y，z满足，我们定义这个三角形为美好三角形. (1)△ABC中，若，，则△ABC (填”是”或”不是”)美好三角形; (2)如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，，，⊙O直径为，求证：△ABC为美好三角形; (3)已知△ABC为美好三角形，，求的度数. 【答案】（1）不是；（2）见解析；（3）∠C＝78°或72° 【分析】（1）利用美好三角形的定义得出△ABC的形状进而求出即可； （2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形状进而得出答案； （3）利用美好三角形的定义进而分别得出∠C的度数． 【详解】（1）解：∵△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°， ∴∠C＝60° ∵402+602≠802， ∴△ABC不是美好三角形； 故答案为不是； （2）证明：连接OA、OC， ∵AC＝2，OA＝OC＝， ∴△OAC是直角三角形，即∠AOC＝90°， ∴∠B＝45°， ∵∠C＝60°， ∴∠A＝75°， ∵即三个内角满足关系：452+602＝5625＝752， ∴△ABC是美好三角形； （3）解：设∠C＝x°，则∠B＝（150﹣x）°， 若∠C为最大角，则x2＝（150﹣x）2+302， 解得x＝78， 若∠B最大角，则（150﹣x）2＝x2+302， 解得x＝72， 综上可知，∠C＝78°或72° 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论、三角形的外接圆与外心和解直角三角形，解题的关键是掌握圆周角定理及其推论、三角形的外接圆与外心和解直角三角形. 24．（1）如图1，请只用无刻度直尺找出的外心点；并直接写出其外接圆半径 　　； （2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心．    【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点； （2）在弧上任取三点，，，连接，，分别作弦，的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心，于是得到结论． 【详解】解：（1）如图（1）所示，点即为所求；外接圆半径；    故答案为：； （2）如图（2）所示：即为所求．      【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键． 25．在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3） （1）画出△ABC的外接圆⊙P，写出点P的坐标并指出点D、点E与⊙P的位置关系； （2）若在x轴上有一点F，且∠AFB=∠ACB，则点F的坐标为　 　． 【答案】（1）图见解析，P（-1，0），点D在圆上，点E在圆外；（2）或 【分析】（1）在直角坐标系内描出各点，可通过勾股定理两点距离公式计算AB，BC，AC得出三角形ABC为直角三角形，以AB中点P（-1，0）为圆心，PA为半径画出△ABC的外接圆，根据勾股定理可判断点D在⊙P上，点E在⊙P外即可； （2）根据∠ACB=90°，AB为⊙P的直径，可得⊙P与x轴的交点为点F，设出点F（m，0），求出AF与BF，利用勾股定理建立一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1）， ∴AB=，AC=4，BC=2， ∵AC2+BC2=16+4=20=AB2， ∴△ABC为直角三角形， 以AB中点P（-1,0）为圆心，以AP=为半径画圆， 如图所示： ∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）， ∴DP=， ∴点D在⊙P上； ∴EP=＞， ∴点E在⊙P外， （2）∵∠ACB=90°，AB为直径， ∴⊙P与x轴的交点为F， 设点F（m，0）． ∴FB2+FA2=AB2，AF=，BF=， ∴， 整理得， 解得， 点F坐标为或． 故答案为或． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，勾股定理，画三角形外接圆，利用直径所对圆周角为直角，结合勾股定理建立一元二次方程是解题关键． 26．阅读下列材料： 已知实数m，n满足 ，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y满足 ，求值； (2)已知的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足，外接圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，解一元二次方程得到 ，根据，得到，即可得到答案； （2）设，解一元二次方程得到，根据勾股定理求出c，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 整理得：， 解得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则原方程变形为 ， 整理得， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴外接圆的半径 ． 【点睛】本题考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$