第07讲 比例线段（5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第07讲 比例线段（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 题型强化 题型一．比例的性质 1．（2023秋•安庆期末）已知，则　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•金安区期末）若，则的值为 　　． 3．（2023秋•亳州期末）已知实数，，满足，试求的值． 题型二．比例线段 4．（2023秋•蚌埠期末）下列各组线段中是成比例线段的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．（2023秋•蒙城县期末）已知，，，是比例线段，其中，，，则线段的长度为 　　． 6．（2023秋•蚌埠期中）已知线段，满足，且． （1）求，的值． （2）若线段是线段，的比例中项，求的值． 题型三．黄金分割 7．（2023秋•金安区校级月考）若点是线段的黄金分割点，，，则等于　　 A． B． C． D． 8．（2022秋•霍邱县期末）已知线段，是线段的黄金分割点，那么　　． 9．（2023秋•贵池区月考）所谓黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是． （1）如图①，在中，，，的平分线交腰于点．请你根据所学知识证明：点为腰时的黄金分割点； （2）如图②，在中，，为斜边上的高，，，若点是的黄金分割点，求的长． 题型四．平行线分线段成比例 10．（2023秋•亳州期末）已知点，分别在边，的延长线上，下列条件中一定能判断的是　　 A． B． C． D． 11．（2022秋•定远县校级期中）如图，是的中线，是上一点，且，的延长线交于，则　　． 12．（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，其中米，米．现欲将其扩建成一个三角形花园，要求在射线上，在射线上，且经过点． （1）米时，求的面积． （2）当的长为多少米时，的面积为1600平方米． 题型五．相似图形 13．（2022秋•定远县校级期中）下列说法中，正确的有　　 ①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．（2023秋•迎江区校级期中）如图，四边形四边形，，，，则　　． 15．（2023秋•贵池区月考）如果四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形并且相似（不全等），我们就把这条对角线称为“完美对角线”． （1）如图1，在四边形中，，，，当时，求证：对角线是四边形的“完美对角线． （2）如图2，在四边形中，平分，当与满足什么关系时，对角线是四边形的“完美对角线”？请说明理由． 分层练习 一、单选题 1．已知，那么下列等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例．如果某面国旗长为2米．则其宽约为（    ） A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米 3．点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．生活中到处可见黄金分割的美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（    ）． A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米 5．若，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如果 ，且b是a和c的比例中项，那么（    ） A． B．12 C． D． 7．如图，直线，，．若，则的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 8．2023年9月，占地约3.23平方千米的合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为的导游图上，它们之间的距离大约相当于（     ） A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度 C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度 9．如图，，直线 被直线所截，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，反比例函数的图象上有A，两点，过点作轴于点，交于点．若，的面积为2，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．线段MN＝2m，点P是线段MN的黄金分割点，若PM＞PN，则PM的长为 ．（用含m的代数式表示） 12．若，则 ． 13．已知6是x和的比例中项，那么x的值为 ． 14．点P是线段的黄金分割点，，若，则 ． 三、解答题 15．已知，且，求的值． 16．已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN的长． 17．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 18．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是AB的一个黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走多少米时恰好站在舞台的黄金分割点上？（结果保留根号） 19．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到米） 20．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，请用无刻度的直尺作图．    (1)在图1中作一个格点，使得． (2)在图2中的线段上找一点D，使得． 21．如图，ACEFBD． (1)求证：+ ＝； (2)若AC＝3，EF＝2，求BD的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0），点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），连接PA，直线AB，PA分别交y轴于点D，E，过P作y轴的平行线交直线于点C． (1)求二次函数的解析式及B点的坐标； (2)求当PC长最大时，线段DE的长． 23．四边形的两条对角线，相交于点O，． (1)如图1，已知． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，若，，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 比例线段（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点5．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 题型强化 题型一．比例的性质 1．（2023秋•安庆期末）已知，则　　 A． B． C． D． 【分析】先利用分比性质得到，然后利用内项之积等于外项之积求解． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 2．（2023秋•金安区期末）若，则的值为 　　． 【分析】将分式化成含有的形式，再代入的值计算即可． 【解答】解：． 【点评】本题考查了分式的求值，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键． 3．（2023秋•亳州期末）已知实数，，满足，试求的值． 【分析】设，则，，，然后把所求式子中的、、分别用含的式子替换，最后约分即可得到答案． 【解答】解：设， ，，， ． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 题型二．比例线段 4．（2023秋•蚌埠期末）下列各组线段中是成比例线段的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论． 【解答】解：， 选项不成比例； ， 选项成比例； ， 选项不成比例； ， 选项不成比例 故选：． 【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 5．（2023秋•蒙城县期末）已知，，，是比例线段，其中，，，则线段的长度为 　32　． 【分析】根据，列式计算即可． 【解答】解：，，，是比例线段，其中，，， ， ， 解得， 故答案为：32． 【点评】本题考查了成比例线段，掌握，是解题关键． 6．（2023秋•蚌埠期中）已知线段，满足，且． （1）求，的值． （2）若线段是线段，的比例中项，求的值． 【分析】（1）利用，即，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【解答】解：（1）， ， 设，， ， ， ， ，； （2）线段是线段，的比例中项， ， 是线段，， ． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． 题型三．黄金分割 7．（2023秋•金安区校级月考）若点是线段的黄金分割点，，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【解答】解：根据黄金分割点的概念得：． 故选：． 【点评】考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值． 8．（2022秋•霍邱县期末）已知线段，是线段的黄金分割点，那么　　． 【分析】直接根据黄金分割的定义求出的长即可． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 9．（2023秋•贵池区月考）所谓黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是． （1）如图①，在中，，，的平分线交腰于点．请你根据所学知识证明：点为腰时的黄金分割点； （2）如图②，在中，，为斜边上的高，，，若点是的黄金分割点，求的长． 【分析】（1）要证明某个点为黄金分割点，可以通过证明边对应成比例，也可证明其为顶角为的黄金三角形，从而证明其是黄金分割点； （3）设、、的对边分别为、、．根据同角的余角相等知，，证得，有，即，同理可得，点为的黄金分割点，有，把，消去即有，构建方程组求出即可． 【解答】（1）证明：在中， ，， 度． 为的角平分线， ， ， 又， ， ， ， ， ， 同理可证，， ， ， 点为腰的黄金分割点； （2）解：设、、的对边分别为、、． ，， ， ， ， ，即， ， 同理可证，， ①， ②， 又为的黄金分割点， ③， 把①、②代入③得：， 、均为正数， ， ， 解得，（负根已经舍去）， ． 【点评】主要考查学生对相似三角形的判定和性质的理解以及对黄金分割与等腰梯形的性质的掌握情况． 题型四．平行线分线段成比例 10．（2023秋•亳州期末）已知点，分别在边，的延长线上，下列条件中一定能判断的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键． 11．（2022秋•定远县校级期中）如图，是的中线，是上一点，且，的延长线交于，则　　． 【分析】作交于，根据三角形中位线定理得到，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，计算得到答案． 【解答】解：作交于， 是的中线， ， ， ， ， 故答案为： 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 12．（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，其中米，米．现欲将其扩建成一个三角形花园，要求在射线上，在射线上，且经过点． （1）米时，求的面积． （2）当的长为多少米时，的面积为1600平方米． 【分析】（1）由，得到，代入数据求得，于是得到结论； （2）设米，则，根据平行线分线段成比例定理得到，得到方程，求出，解一元二次方程即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， ， ， 米； （2）设米，则， ， ， ， ， 由题意得， 化简得 ， 解或． 经检验：或是原方程的根， 的长应设计为60或米． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 题型五．相似图形 13．（2022秋•定远县校级期中）下列说法中，正确的有　　 ①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】利用相似图形的判定进而判断得出即可． 【解答】解：①所有的正三角形都相似，正确； ②所有的正方形都相似，正确； ③所有的等腰直角三角形都相似，正确； ④所有的矩形都相似，对应变的比值不一定相等，故此选项错误； ⑤所有的菱形都相似，对应角不一定相等，故此选项错误． 则正确的有3个． 故选：． 【点评】此题主要考查了相似图形的判定方法，正确把握各图形的性质是解题关键． 14．（2023秋•迎江区校级期中）如图，四边形四边形，，，，则　　． 【分析】根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【解答】解：四边形四边形， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是理解相似多边形的对应角相等． 15．（2023秋•贵池区月考）如果四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形并且相似（不全等），我们就把这条对角线称为“完美对角线”． （1）如图1，在四边形中，，，，当时，求证：对角线是四边形的“完美对角线． （2）如图2，在四边形中，平分，当与满足什么关系时，对角线是四边形的“完美对角线”？请说明理由． 【分析】（1）利用两角对应相等证明，可得结论． （2）如图2中，当时，对角线是四边形的“完美对角线”．证明，可得结论． 【解答】（1）证明：如图1中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是四边形的“完美对角线”． （2）解：如图2中，当时，对角线是四边形的“完美对角线”． 理由：平分， ， ，， ， ， 对角线是四边形的“完美对角线”． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，四边形的“完美对角线”的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 分层练习 一、单选题 1．已知，那么下列等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例．如果某面国旗长为2米．则其宽约为（    ） A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米 【答案】B 【分析】由黄金分割的定义和黄金比代入计算即可 【详解】解：由题意得：国旗的宽约为（米， 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割． 3．点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割比，牢记黄金分割比是解题的关键．根据黄金分割比为求解即可． 【详解】解：∵是线段的黄金分割点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选B 4．生活中到处可见黄金分割的美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（    ）． A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米 【答案】D 【分析】根据线段比例的定义列出a，b的比例关系，再代入b的值求a即可； 【详解】解：∵雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618， ∴， ∵b为2米， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24（米）； 故选：D． 【点睛】此题考查了线段的比例：若a∶b=k，说明a是b的k倍；掌握线段比例的概念是解题关键． 5．若，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，可根据设，再逐个判断即可． 【详解】∵， ∴设，，， ∴，故A选项结论正确，不符合题意； ，，故，故B选项结论正确，符合题意； ，故C选项结论正确，不符合题意； ，故D选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 6．如果 ，且b是a和c的比例中项，那么（    ） A． B．12 C． D． 【答案】B 【分析】利用比例中项的定义得到，然后利用比例的性质求的值．本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得． 故选：B 7．如图，直线，，．若，则的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，据此即可作答，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据题意得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴ 解得， 故选：C． 8．2023年9月，占地约3.23平方千米的合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为的导游图上，它们之间的距离大约相当于（     ） A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度 C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度 【答案】A 【分析】本题考查了比例尺，比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离． 【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得它们之间的图上距离是米厘米． 大约相当于一支粉笔的长度． 故选：A． 9．如图，，直线 被直线所截，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【详解】解：∵， ∴＝，A正确，不符合题意； ＝＝，B错误，符合题意；D正确，不符合题意； ＝，C正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 10．如图，反比例函数的图象上有A，两点，过点作轴于点，交于点．若，的面积为2，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．作轴于点E，轴于点F，轴于点G，设点，，则点，根据点B的坐标可得，根据，可得点A坐标为，根据的面积为2，可得，而，用含a，b的代数式代入即可求出，从而得到k的值． 【详解】解：作轴于点E，轴于点F，轴于点G，如图所示： 设点，，则点， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A坐标为， ∵，且， ∴， ∵ ， 即， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 11．线段MN＝2m，点P是线段MN的黄金分割点，若PM＞PN，则PM的长为 ．（用含m的代数式表示） 【答案】 【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可． 【详解】∵MN＝2m， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质及解一元一次方程，根据题意，得到，转化成一元一次方程求解即可得到答案，熟记比例性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即，则，解得， 故答案为：． 13．已知6是x和的比例中项，那么x的值为 ． 【答案】3 【分析】根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， 即x的值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是熟悉比例中项的定义． 14．点P是线段的黄金分割点，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于，代入求值即可． 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 【详解】解：点P是线段AB的黄金分割点， ， 故答案为：． 三、解答题 15．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，设，用分别表示出、、，再根据，求出的值，即可得到答案．用同一未知数表示出各未知数是解题关键． 【详解】解：设（）， 则，，， ， ， 解得：， ． 16．已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN的长． 【答案】6cm 【分析】根据比例中项的概念得到MN2＝AB•CD，即可求得线段MN的值． 【详解】解：∵线段MN是AB，CD的比例中项， ∴AB：MN＝MN：CD， ∴MN 2＝AB•CD， ∴MN＝， ∵AB＝4cm，CD＝9cm， ∴MN＝＝6（cm）． 【点睛】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键． 17．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设． （1）代入计算即可； （2）构建方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， ； （2）解：， ， ， ，， 18．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是AB的一个黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走多少米时恰好站在舞台的黄金分割点上？（结果保留根号） 【答案】米 【分析】根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【详解】解：由题意知米，， ∴米， ∴米，     答：主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 19．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到米） 【答案】7.6米 【分析】根据黄金分割得出两个距离为米，米，然后比较即可得出结果． 【详解】解：根据黄金比得：米， ∵黄金分割点有2个， ∴， 由于米 答：主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体． 【点睛】题目主要考查线段的黄金分割比，理解题意，熟记黄金分割比是解题关键． 20．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，请用无刻度的直尺作图．    (1)在图1中作一个格点，使得． (2)在图2中的线段上找一点D，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查限定工具作图，平行线分线段成比例的推论，掌握平行线分线段成比例定理的推论是解题的关键． （1）取格点，连接，则即为所作； （2）取格点E，连接交于点D，点D即为所作． 【详解】（1）如图，即为所作；    （2）如图，点D即为所作．    21．如图，ACEFBD． (1)求证：+ ＝； (2)若AC＝3，EF＝2，求BD的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由EFBD得到①，由EFAC得到②，然后把①+②后变形即可得到结论； （2）利用（1）中的结论进行计算． 【详解】（1）证明：∵EFBD， ∴①， ∵EFAC， ∴②， ①+②得， ∴； （2）解：， ， ∴BD＝6． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，掌握分线段成比例是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0），点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），连接PA，直线AB，PA分别交y轴于点D，E，过P作y轴的平行线交直线于点C． (1)求二次函数的解析式及B点的坐标； (2)求当PC长最大时，线段DE的长． 【答案】(1)；点B坐标为 (2) 【分析】（1）分别把点A代入两个解析式中，转化为解二元一次方程组，即可求出两个函数的表达式，再由两个表达式联立成方程组解得交点B的坐标即可； （2）设，则，由，结合配方法求得最大值，解得AF的值，再利用又，得到，最后代入数值解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于A、B两点，点A（1，0）， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为：；一次函数为， 由解得：，， ∴点B坐标为； （2） 设，则， ∴ ∵， ∴当时，PC取得最大值，设PC交x轴于点F，此时， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、配方法求最值、平行线分线段成比例等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23．四边形的两条对角线，相交于点O，． (1)如图1，已知． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，若，，，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）过作于，交于，①根据平行线的判定得出和平行，再根据等腰三角形的性质即可求解；②根据平行线分线段成比例，求出和的比，再根据中位线定理得出和的关系，从而得解； （2）延长到，使得，连接，根据三角形全等得出，从而求得和的关系，再根据勾股定理求出和的关系，从而得解． 【详解】（1）解：过作于，交于，如图： ①证明：设， ， ， ，， ， ， ； ②解：，为中点， ， ， ， ； （2）解：延长至，使得，连接，如图： ，， ， ， ， 又， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ，即，， ， ， ． 在直角中．， ． 【点睛】本题主要考查了相似形综合题，合理运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质是本题解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$