专题8　图形与坐标 2024-2025学年浙教版数学八年级上册专题培优讲义

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题8　图形与坐标 【知识梳理】 本讲的主要知识点是利用有序数对表示平面上点的位置，平面直角坐标系的概念，根据已知点写出坐标，已知点的坐标描述点的位置等基础知识和基本技能．本专题的重点是平面直角坐标系的有关概念以及平面内图形的轴对称和平移． 1．平面上点的位置确定方法 (1)用____________表示． (2)用____________表示． (3)用____________表示． 2．平面直角坐标系的有关概念 (1)在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫做____________，通常画成水平，另一条叫做____________，画成与x轴垂直．这样就在平面内建立了平面直角坐标系，简称____________． (2)各象限、坐标轴和各象限角平分线上点的坐标特征. 3．坐标平面内点的轴对称性 如图，点(m，n)关于x轴的对称点的坐标为(m，－n)，关于y轴的对称点的坐标为(－m，n). 4．坐标平面内点的平移 (1)将点沿水平方向平移：只改变点的横坐标，向右加，向左减． (2)将点沿竖直方向平移：只改变点的纵坐标，向上加，向下减． 5．坐标平面内图形的变换 图形在平面直角坐标系内的运动可通过变化图形上点的坐标来实现． (1)图形中的点P(x，y)，横坐标不变，纵坐标乘－1，则所得的图形与原图形关于x轴对称． (2)图形中的点P(x，y)，纵坐标不变，横坐标乘－1，则所得的图形与原图形关于y轴对称． (3)图形中的点P(x，y)→P(x－1，y＋2)，则所得的图形是将原图形向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 【例题探究】 【例1】　解答下列问题： (1)已知点P(x，y)在第四象限，且|x|＝3，|y|＝2，则点P的坐标是________． (2)已知点P(a－1，a2－9)在x轴的负半轴上，则点P的坐标是________． (3)已知点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且A在第三象限，则点A的坐标是________． (4)把点A(a，－2)向左平移5个单位长度，所得的点与点A关于y轴对称，则a＝________． 【思路点拨】　(1)由P(x，y)在第四象限，可得x>0，y<0．(2)点P在x轴上可得纵坐标为0，即a2－9＝0，先求a的值，再求P的坐标．(3)点P(a，b)到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|．(4)先根据点的坐标平移规律写出将点A(a，－2)向左平移5个单位长度所得的坐标，再由两点坐标关于y轴对称可求得a的值． 【例2】　甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，已共下了7枚棋子，棋盘中心黑子的位置用(－1，0)表示，其右下角黑子的位置用(0，－1)表示．甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是(　　) A．(－1，1) B．(－2，1) C．(1，－2) D．(－1，－2) 【思路点拨】　先确定原点位置，再利用轴对称图形的性质得出答案． 【例3】　如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A′OB′，则点B的对应点B′的坐标是(　　) A．(－2－，) B．(－2－，2－) C．(－3，2－) D．(－3，) 【思路点拨】　作B′H⊥x轴于点H，在Rt△B′HA′中，求出B′H，A′H的长，进而求出OH的长，即可得出点B′的坐标． 【例4】　在平面直角坐标系中，已知A(3，3)，在x轴、y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有(　　) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【思路点拨】　分OA为底边和腰两种情况讨论． 【例5】　如图，已知点A1的坐标为(0，1)，点A2在x轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，交y轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，交x轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，交y轴于点A5；…；按此规律进行下去，则点A2021的坐标为(　　) A．(0，31 011) B．(－31 011，0) C．(0，31 010) D．(－31 010，0) 【思路点拨】　可以考虑下标被4除余数为1的点的坐标规律，即求出点A1，A5，A9，…，的坐标，然后观察坐标的变化规律，即可得出点A2021的坐标． 【例6】　已知A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)． (1)在坐标系中描出各点，画出△ABC. (2)求△ABC的面积． (3)设点P在坐标轴上，且△ABP的面积为△ABC面积的两倍，求点P的坐标． 【思路点拨】　(1)根据坐标，画出图形即可；(2)作CE⊥y轴于点E，CF⊥x轴于点F，根据S△ABC＝S长方形CEOF－S△AEC－S△AOB－S△BCF计算即可；(3)分点P在x轴上和y轴上两种情况讨论求解． 【例7】　如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝－x的图象l是第二、四象限的角平分线． 实验与探究： 由图观察易知，A(－1，3)关于直线l的对称点A′的坐标为(－3，1)，请你写出点B(5，3)关于直线l的对称点B′的坐标：________； 归纳与发现： 结合图形，自己选点再试一试，通过观察点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(m，n)关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为________； 运用与拓广： 已知两点C(6，0)，D(2，4)，试在直线l上确定一点，使这点到C，D两点的距离之和最小，在图中画出这点的位置，保留作图痕迹，并求出最短距离． 【思路点拨】　由实验与探究，可得点P(m，n)关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为(－n，－m)；运用与拓广：作点C关于直线l的对称点C′，连结C′D，交l于点E，连结CE，点E就是到C，D两点的距离之和最小的点，最短距离即为线段C′D的长． 【答案解析】 【知识梳理】 本讲的主要知识点是利用有序数对表示平面上点的位置，平面直角坐标系的概念，根据已知点写出坐标，已知点的坐标描述点的位置等基础知识和基本技能．本讲的重点是平面直角坐标系的有关概念以及平面内图形的轴对称和平移． 1．平面上点的位置确定方法 (1)用有序的实数对表示． (2)用方向和距离表示． (3)用经度和纬度表示． 2．平面直角坐标系的有关概念 (1)在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫做x轴，通常画成水平，另一条叫做y轴，画成与x轴垂直．这样就在平面内建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系． (2)各象限、坐标轴和各象限角平分线上点的坐标特征. 3．坐标平面内点的轴对称性 如图，点(m，n)关于x轴的对称点的坐标为(m，－n)，关于y轴的对称点的坐标为(－m，n). 4．坐标平面内点的平移 (1)将点沿水平方向平移：只改变点的横坐标，向右加，向左减． (2)将点沿竖直方向平移：只改变点的纵坐标，向上加，向下减． 5．坐标平面内图形的变换 图形在平面直角坐标系内的运动可通过变化图形上点的坐标来实现． (1)图形中的点P(x，y)，横坐标不变，纵坐标乘－1，则所得的图形与原图形关于x轴对称． (2)图形中的点P(x，y)，纵坐标不变，横坐标乘－1，则所得的图形与原图形关于y轴对称． (3)图形中的点P(x，y)→P(x－1，y＋2)，则所得的图形是将原图形向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 【例题探究】 【例1】　解答下列问题： (1)已知点P(x，y)在第四象限，且|x|＝3，|y|＝2，则点P的坐标是________． (2)已知点P(a－1，a2－9)在x轴的负半轴上，则点P的坐标是________． (3)已知点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且A在第三象限，则点A的坐标是________． (4)把点A(a，－2)向左平移5个单位长度，所得的点与点A关于y轴对称，则a＝________． 【解题过程】　(1)∵点P(x，y)在第四象限，∴x>0，y<0. 又|x|＝3，|y|＝2，∴x＝3，y＝－2．∴点P的坐标是(3，－2)． (2)∵点P(a－1，a2－9)在x轴的负半轴上，∴a2－9＝0，a－1<0，∴a＝－3或a＝3(舍去)．∴点P的坐标是(－4，0)． (3)∵点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，∴点A的纵坐标的绝对值为1，横坐标的绝对值为3. ∵点A在第三象限，∴点A的坐标是(－3，－1)． (4)将点A(a，－2)向左平移5个单位长度，所得的点的坐标为A′(a－5，－2)． ∵点A′与点A关于y轴对称，∴a＋(a－5)＝0，∴a＝. 【方法归纳】　本题主要考查点的坐标所在象限的符号、点的坐标平移规律、点的坐标的轴对称性，熟练掌握这些概念是解题的关键． 【例2】　甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，已共下了7枚棋子，棋盘中心黑子的位置用(－1，0)表示，其右下角黑子的位置用(0，－1)表示．甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是(　　) A．(－1，1) B．(－2，1) C．(1，－2) D．(－1，－2) 【解题过程】　如图，甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，他放的位置是(－1，1)． 故选A. 【方法归纳】　本题主要考查轴对称图形的概念以及点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键． 【例3】　如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A′OB′，则点B的对应点B′的坐标是(　　) A．(－2－，) B．(－2－，2－) C．(－3，2－) D．(－3，) 【解题过程】　如图，作B′H⊥x轴于点H． 由题意，得OA′＝A′B′＝2，∠B′A′O＝∠BAO＝120°， ∴∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°， ∴AH′＝A′B′＝1，∴B′H＝＝，OH＝3， ∴B′(－3，)． 故选D． 【方法归纳】　求点的坐标，一般先过这个点向x轴或y轴作垂线段构造直角三角形，求出相应线段的长，即可求得该点的坐标． 【例4】　在平面直角坐标系中，已知A(3，3)，在x轴、y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有(　　) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【解题过程】　如图．①当OA为底边时，点P可以有2个位置：P1，P2； ②当OA为腰时，点P可以有6个位置：P3，P4，P5，P6，P7，P8. 所以符合条件的点P共有8个． 故选C. 【方法归纳】　分类讨论是重要的数学思想方法．这类问题的求解，既要有扎实的基础知识，又要有一定的分析问题和综合解决问题的能力，要强化这方面的训练． 【例5】　如图，已知点A1的坐标为(0，1)，点A2在x轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，交y轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，交x轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，交y轴于点A5；…；按此规律进行下去，则点A2021的坐标为(　　) A．(0，31 011) B．(－31 011，0) C．(0，31 010) D．(－31 010，0) 【解题过程】　∵∠A1OA2＝90°，∠A1A2O＝30°，OA1＝1, ∴A1A2＝2OA1＝2. ∵A2A3⊥A1A2，∴∠OA3A2＝30°，∴A1A3＝2A1A2＝4，∴OA3＝3， 同理，OA5＝9，OA9＝81，…， ∴A1(0，1)，A5(0，9)，A9(0，81)，…， 可得A4n＋1(0，9n)(n为自然数)． ∵2 021＝4×505＋1， ∴点A2021的坐标为(0，9505)，即为(0，31 010)． 故选C． 【方法归纳】　本题是平面直角坐标系中的坐标规律探究题，解答本题的关键是得出下标被4除余数为1的点的坐标的规律． 【例6】　已知A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)． (1)在坐标系中描出各点，画出△ABC. (2)求△ABC的面积． (3)设点P在坐标轴上，且△ABP的面积为△ABC面积的两倍，求点P的坐标． 【解题过程】　解：(1)△ABC如图所示． (2)如图，过点C分别作CE⊥y轴于点E，CF⊥x轴于点F. ∴S△ABC＝S长方形CEOF－S△AEC－S△AOB－S△BCF＝12－×2×4－×1×2－×2×3＝4. (3)当点P在x轴上时，S△ABP＝OA·BP＝8， ∴BP＝16．∴P(18，0)或(－14，0)． 当点P在y轴上时，S△ABP＝OB·AP＝8， ∴AP＝8．∴P(0，9)或(0，－7)． 综上所述，满足条件的点P的坐标为(18，0)或(－14，0)或(0，9)或(0，－7)． 【方法归纳】　直角坐标系中图形的面积通常通过添加辅助线将它转化为可求图形面积的和差，解题时要充分利用条件中给出的点的坐标．对第(3)问要注意分类讨论，避免漏解． 【例7】　如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝－x的图象l是第二、四象限的角平分线． 实验与探究： 由图观察易知，A(－1，3)关于直线l的对称点A′的坐标为(－3，1)，请你写出点B(5，3)关于直线l的对称点B′的坐标：________； 归纳与发现： 结合图形，自己选点再试一试，通过观察点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(m，n)关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为________； 运用与拓广： 已知两点C(6，0)，D(2，4)，试在直线l上确定一点，使这点到C，D两点的距离之和最小，在图中画出这点的位置，保留作图痕迹，并求出最短距离． 【解题过程】　实验与探究：点B′的坐标为(－3，－5)． 归纳与发现：对称点P′的坐标为(－n，－m)． 运用与拓广： 如图，作点C关于直线l的对称点C′，连结C′D，交l于点E，连结CE. 由作图可知，EC＝EC′， ∴EC＋ED＝EC′＋ED＝C′D，∴点E为所求． ∵C(6，0)，∴C′(0，－6)． 由勾股定理，可求得点E到C，D两点的距离之和的最小值为＝2. 【方法归纳】　本题的最后一问可以转化为“在直线上求一点，使它到直线同侧两点的距离和最短”的问题，其解题方法为作其中一点关于直线的对称点，然后将对称点与另一点连结，连线与直线的交点即为所求的点． 学科网（北京）股份有限公司 $$