精品解析：广东省深圳市红岭中学（红岭教育集团）2025届高三上学期第一次统一考试数学试卷

红岭中学（红岭教育集团）2025届高三第一次统一考试 数学 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：张卓颖 审题人：李友军 一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 1. 设全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集运算得出集合，再由元素与集合的关系判断． 【详解】因为全集，所以， 根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确． 故选：C． 2. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，求得不等式对应的解集，再根据选项进行选择. 【详解】等价于，即， 因为可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，其它选项均不满足； 所以“”的一个必要不充分条件是． 故选：B． 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数,指数函数单调性，引入中间值，比较，根据指数,对数函数单调性，引入中间值，比较即可. 【详解】根据函数在单调递增，知道， 根据函数在单调递减，知道， 根据函数在单调递减，知道， 综上所得，. 故选：C. 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，即可排除BC，再由可得，即可排除A，从而得到结果. 【详解】当时，，，则，排除选项B和C； 当时，，排除选项A，选项D符合题意. 故选：D 5. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 6. 已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的复合函数的单调性求参即可. 【详解】若，则在上恒成立，不符合条件． 若，则在上单调递增，得解得. 故选：D. 7. 若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，函数在上有一个零点，在上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点， 当时，函数至多两个零点， 因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，令，可得，必有，解得， 所以，，解得； 当时，由，可得或， 所以，，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，在同一坐标系内画出函数与函数的图象，确定两个图象的交点个数并求得所有根之和即可． 【详解】由，得函数的图象关于点对称， 由，得，则函数的图象关于直线对称， 且有，则，于是是以4为周期的周期函数， 又当时，，即函数在上单调递增， 又，根据对称性可知，函数在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 由，得， 则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标， 而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示. 观察图象可知，函数的图象与直线在上有6个交点， 由中心对称的性质知，函数的图象与直线在上有6个交点， 因此函数的图象与直线的所有交点横坐标和为， 所以方程所有根之和为13． 故选：D. 二、选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分．每小题的4个选项中有多个选项是正确的，少选的按比例给分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 9. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，显然，即，则，故B正确； 对于C，若，且，则，故C正确； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得的值，即可判断出A，B选项；再结合勾股定理可以求得的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率. 【详解】如图，由，可设，. 因为，所以. 设，，则，，，解得， 则，， 所以，故A选项正确；，故B选项错误； 在中，由，得，则， 从而的离心率为，故C选项正确. 又，所以直线的斜率为，故D选项正确. 故选：ACD. 11. 用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ） A. 底面椭圆的离心率为 B. 侧面积为 C. 在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为 D. 底面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项． 【详解】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形是圆柱的轴截面，平行四边形是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面， 由圆柱的性质知， 则，设椭圆的长轴长为，短轴长为，则，，， 所以离心率为，A正确； ，垂足为，则， 易知，，又， 所以斜圆柱侧面积为，B正确； ，，，， 椭圆面积为，D正确； 由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为，C错． 故选：ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分．请将答案填写在答题卷相应位置上） 12. 已知，则的解集为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，可得为奇函数，且在定义上单调递减，从而得到，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又， 所以为奇函数，又易知在定义上单调递减， 故由，可得到， 所以，即，解得或， 所以的解集为或， 故答案为：或. 13. 已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出角的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值. 【详解】解析：因为， 根据正弦定理可知，即， 由余弦定理可知，又，故， 又因为，所以， （当且仅当时取等号），即 所以，即面积的最大值为， 故答案为：. 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得只有一个解，从而可得，，设，利用导数求解即可． 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切， 则只有一个解， ，化简得，将其代入得， ，即，. ， 则， 设，则， 在单调递减，， 的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由指对运算可得，进而可得，构造函数，由导数求解即可. 四、解答题（共77分．请将答案填写在答题卷相应位置上，答错位置不给分，要求要有必要的文字叙述和推理说明） 15. 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． （1）求及的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出递推公式，求出，再利用累加法求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，利用分组求和及裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 由，得，， 由数列是一个二阶等差数列，得是以2为首项，1为公差的等差数列， 因此，， 当时，， 满足上式，则， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 ． 16. 如图，平面ABCD，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． （1）求证：平面CPM； （2）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求的值． 【答案】（1）连接EM，由，得， 又，则四边形为平行四边形， 由点E和M分别为AP和BQ的中点，得且， 而，F为CD的中点， 则且，四边形为平行四边形， 则，又平面MPC，平面MPC， 所以平面MPC． （2）. 【解析】 【分析】（1）连接EM，利用平行公理、线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面PQM的法向量，设出点的坐标，利用线面角的向量求法列式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，得直线两两垂直， 以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设为平面PQM的法向量，则， 取，得， 设，即， 则，， 由直线DN与平面PMQ所成的角为，得， 即，整理得，而，解得， 所以. 17. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值. （2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得，， 依题意，，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点， 设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解， 即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在取得极小值同时也是最小值， 当时，；当时，， 画山大致的图象，如图， 在只有一个零点时，， 所以在只有一个零点吋，. 18. 新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分； （1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率： （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率． ②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 【答案】（1） （2）① ，；② 【解析】 【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式即可求解； （2）对于①，结合答案是两个选项或三个选项，利用古典概型即可求解； 对于②，分别计算方案I和方案Ⅱ的数学期望，根据数学期望的大小关系列不等式可得的取值范围. 【小问1详解】 设事件M表示“学生答此题得6分”，即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了， 所以； 【小问2详解】 ①记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， . ②对于方案I：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则的所有可能取值为0，2，3， 则， ， ， 所以； 对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6， 则， ， ， 所以； 要使唯独选择方案I最好，则 解得：，故P的取值范围为． 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求“共轭点对”中点所在直线的方程； （3）设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 【答案】（1） ； （2） ； （3） 由（2）知，直线：，由，解得或， 则，， 设点，，则，两式相减得， 又，于是，则，有，线段PQ被直线l平分， 设点到直线的距离为d，则四边形的面积， 而，则有， 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值， 由消去y得， 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出长轴长即可作答. （2）设，根据“共轭点对”的定义列出方程，化简作答. （3）求出的坐标，设点，，利用点差法得，再求出点P到直线l距离的范围即可推理作答. 【小问1详解】 依题意，椭圆的另一焦点为， 因此 ， 于是， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设“共轭点对”中点B的坐标为，由（1）知，点在椭圆C：上， 依题意，直线l的方程为，整理得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点，，代入椭圆方程，利用点差法证明出线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线的方程为，将其与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的值，即可证明面积小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭中学（红岭教育集团）2025届高三第一次统一考试 数学 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：张卓颖 审题人：李友军 一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 1. 设全集，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 2. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 6. 已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分．每小题的4个选项中有多个选项是正确的，少选的按比例给分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 9. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 直线的斜率为 11. 用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ） A. 底面椭圆的离心率为 B. 侧面积为 C. 在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为 D. 底面积为 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分．请将答案填写在答题卷相应位置上） 12. 已知，则的解集为_______． 13. 已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______． 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 四、解答题（共77分．请将答案填写在答题卷相应位置上，答错位置不给分，要求要有必要的文字叙述和推理说明） 15. 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． （1）求及的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 如图，平面ABCD，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． （1）求证：平面CPM； （2）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求的值． 17. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 18. 新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分； （1）学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率： （2）某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率． ②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求“共轭点对”中点所在直线的方程； （3）设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $