精品解析：山东省部分学校2025届新高三上学期开学联合教学质量检测数学试卷

2025届新高三上学期开学联合教学质量检测解析版 高三数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质计算即可. 【详解】由于是等比数列，且，， 所以， 故选：C. 3. 若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果. 【详解】根据题意可得， 所以， 又向量为非零，则， 则在方向上的投影向量为. 故选：C. 4. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. 【详解】连接，则. 又，所以四边形为正方形，， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切， 所以点到直线的距离，解得. 故选：D. 5. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式的每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】从5个含有的括号中，其中1个括号中取，一个括号中取，3个括号中取，乘在一起构成这一项， 这一项为，所以的系数为. 故选：D 7. 设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原问题转化为在区间上至少2个，至多有3个t，使，求取值范围，数形结合判断满足条件区间长度，由此建立关于的不等式，解出即可． 【详解】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少2个，至多有3个t，使得，求得取值范围， 作出与的图象，如图所示， 由图知，满足条件的最短区间长度为，最长区间长度为， ∴，解得． 故选：B． 8. 已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（    ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】转化为方程有4个不同的根，且方程的2个根为，从而方程有2个不同的根，且，进一步转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导函数与切线斜率的关系求解. 【详解】由题意可得方程有4个不同的根. 方程的2个根为， 所以方程有2个不同的根，且， 即函数与函数的图象有两个交点. 当直线与函数的图象相切时，设切点为， 因为，所以解得. 要使函数与函数的图象有两个交点，只需直线的斜率大于， 即. 设（），则， 由，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以的最大值为. 所以. 故的取值范围为, 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，则，逐项计算可判断每个选项的正确性. 【详解】设且，则， ， 所以，所以，故A正确； ，故B正确； 当时，满足，但不能得出，故C错误； 因为， 所以，则或，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图， 已知二面角 的棱 上有 两点， ， ， 若 ， 则（ ） A. 直线 与 所成角的余弦值为 B. 二面角 的大小为 C. 三棱锥 的体积为 D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线所成角、二面角、线面角定义，在图形中作出直线与所成角、二面角的平面角、直线与平面所成角，结合已知条件计算判断各项正误. 【详解】过点 作 ， 且 ， 连接 ， 如图， 则四边形 是平行四边形，即 且 ， 是直线 与 所成角或其补角， 因为 ， 则 ， 而 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ， 所以 ， 则 ， 所以 ， 故 A 正确； 因为 ， 即 ， 又 ， 则 是二面角 的平面角， 又 ， 结合 ， 即 是等边三角形， 所以 ，故 B 正确； 因为 平面 ， 则平面 平面 ， 在平面 内过点 作 于点 ， 于是得 平面 ， 而 ， 故 C 不正确； 连接 ， 因为 平面 ， 则 是直线 与平面 所成角， ， 故 D 正确. 故选：ABD 11. 甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（ ） A. A，B是对立事件 B. 事件B，D相互独立 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由互斥事件及独立事件的概念可判断A，B项，由条件概率公式及全概率公式可判断C，D项． 【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误； 对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响. 若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】若甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2,则甲乙两人中一个人成功一个人失败，故概率为，故， “梦队”在比赛中得分不低于6分，则至少要赢3次，故概率为, 故答案为： 13. 如图，在四面体中，，，则该四面体的外接球体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】可根据四面体的棱长利用线面垂直的判定定理求得平面，再利用正弦定理求得的外接圆半径为，再利用勾股定理确定该四面体的外接球球心的位置计算出该球半径，即可求出该四面体的外接球体积. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示: 又可知， 且； 又，且平面， 所以平面， 取的中点为，连接，又，可得，且; 又平面，所以， 又，平面， 所以平面； 在中，可知； 设的外接圆半径为，可得，解得； 易知的外接圆圆心必在直线上，设， 则，解得，即可得为的中点， 又因为平面，所以该四面体的外接球球心一定在过且平行于的直线上， 设，外接球半径为， 所以，即，解得； 因此该四面体的外接球球心与的外接圆圆心重合，此时 所以该四面体的外接球体积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理求得的外接圆半径并确定圆心位置，以此能确定该四面体的外接球球心的位置进而求得外接球半径，即可得出该四面体的外接球体积. 14. 已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，的内切圆与x轴相切于点N，若，则双曲线C的离心率为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】结合圆的切线的性质利用双曲线的定义，可得，再由可得，进而由列方程可求离心率. 【详解】直线分别与内切圆的切点为，如图所示： 由切线的性质可得， 由双曲线的定义可得，即， 所以，即， 又，因此. 设，则， 又，因此.于是，即， 所以由，可得，即. 故答案为：2. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的首项为，且满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）设数列的前n项和为，求数列的前项和. 【答案】（1）证明：因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由（1）的结果可知，再分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 数列的前项和为， 所以， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2）若中边上中线的长度为3，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理边角互化和三角函数恒等变换可求解； (2)通过向量的运算和基本不等式性质和三角形面积公式可求得面积的最大值. 【小问1详解】 由题意知， 由正弦定理得，， 所以， 又因，则， 所以， 因A为的内角，所以， 由得，则. 【小问2详解】 因是中边上中线， 则， 即，所以， 则， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立. 故，即面积的最大值为. 17. 如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，. （1）证明：平面； （2）若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，与交于Q点， 在底面矩形中，易知， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 易知，所以， 由题意可知, 所以，而相交，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，推导出平面，再利用线面垂直的性质定理结合勾股定理逆定理可证得结论成立； （2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，其中，求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上可知，，， 以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，则，， 则，取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 解得，即. 18. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，过点的直线叫椭圆于、两点，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程． （3）设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值12 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用直线斜率求得的值，再借助于椭圆上的点和的数量关系即可求出，即得椭圆方程； （2）先证明过椭圆上一点的切线方程为，计算原点到切线的距离，由椭圆的第二定义得和，对化简计算即得. 【小问1详解】 设，由的垂心为知, 故，化简得，，解得， 又因点在椭圆上，则， 因，故得，解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图，由（1）知，,若直线的斜率不存在， 由对称性可得，，不合题意； 若直线的斜率为，则的方程为， 由消去得，，① 显然，设，则， 于是， ，解得，， 则直线的方程为. 【小问3详解】 先来证明过椭圆上一点的切线方程为. 由椭圆可得， 当时,,求导可得：, ∴当时, ∴切线方程为, 整理为：, 两边同时除以得：. 同理可证：时,切线方程也为. 当时,切线方程为满足. 综上,过椭圆上一点的切线方程为. 依题意，设椭圆上的点，则过点的切线方程为, 即，原点到切线的距离为. 由椭圆的第二定义，，则，同理， 则， 故为定值. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的切线和第二定义相关的定值问题，属于难题. 解题关键在于，先借助于求导推出过椭圆上一点的切线方程，再利用椭圆的第二定义求得焦半径，最后化简计算即得. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） 函数是上的“双中值函数”．理由如下： 因为，所以. 因为，，所以 令，得，即，解得. 因为，所以是上的“双中值函数”. （2）①； ②不妨设， 则，，即，． 要证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 【解析】 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以，即的取值范围为； ②略 【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届新高三上学期开学联合教学质量检测解析版 高三数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. C. 20 D. 7. 设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（    ） A. B. C. D. 0 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 10. 如图， 已知二面角 的棱 上有 两点， ， ， 若 ， 则（ ） A. 直线 与 所成角的余弦值为 B. 二面角 的大小为 C. 三棱锥 的体积为 D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 11. 甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（ ） A. A，B是对立事件 B. 事件B，D相互独立 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响. 若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为________. 13. 如图，在四面体中，，，则该四面体的外接球体积为______. 14. 已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，的内切圆与x轴相切于点N，若，则双曲线C的离心率为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的首项为，且满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）设数列的前n项和为，求数列的前项和. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2）若中边上中线的长度为3，求面积的最大值. 17. 如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，. （1）证明：平面； （2）若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，过点的直线叫椭圆于、两点，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程． （3）设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由． 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $