专题4　直角三角形 2024-2025学年浙教版数学八年级上册专题培优讲义

浙教版数学八年级上册专题培优讲义 专题4　直角三角形 【知识梳理】 1．逆命题和逆定理 (1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的______，而第一个命题的结论是第二个命题的______，那么这两个命题叫做____________．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的____________． (2)如果一个定理的逆命题能被证明是______，那么就叫它是原定理的______，这两个定理叫做____________． 注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系． 2．直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形． 3．直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个______互余． (2)直角三角形斜边上的______等于斜边的______． (3)直角三角形中，______角所对的直角边等于斜边的______． (4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么____________. 4．直角三角形的判定 (1)__________________是直角三角形． (2)如果三角形中________________________，那么这个三角形是直角三角形． 5．直角三角形全等的判定 (1)SSS，SAS，AAS，ASA. (2)__________________对应相等的两个直角三角形全等(HL)． 6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理 (1)________________________的点在线段的垂直平分线上． (2)角的内部，到角两边距离______的点，在这个角的平分线上． 【例题探究】 【例1】　如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于(　　) A． B． C． D．7 【思路点拨】　根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF＝AB，EF＝BC，由△DEF的周长是7，可求得AB的长，然后在Rt△ABF中，用勾股定理可求得AF的长． 【例2】　说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由． 【思路点拨】　首先写出原命题的逆命题，然后根据题意画出图形，再结合图形写出已知及求证的内容，最后利用已学知识证明结论为真，即逆命题是真命题． 【例3】　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上(不与点A，C重合)，DE⊥AB于点E，连结BD，F为BD的中点，连结EF，CF，CE. (1)求证：FE＝FC. (2)试猜想∠A与∠CEF的关系，并证明． 【思路点拨】　(1)在Rt△DEB和Rt△DCB中，因为 F为BD的中点，所以FE＝BD，FC＝BD，即FE＝FC；(2)根据直角三角形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质计算即可． 【例4】　如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N. 求证：BM＝CN. 【思路点拨】　连结EC，EB.由题意知，DE是BC的垂直平分线，AE是∠BAC的平分线，所以BE＝EC，EM＝EN，即可得出Rt△BME≌Rt△CNE(HL)，即可得出结论． 【例5】　如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM. (1)求证：EF＝AC. (2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系． 【思路点拨】　(1)由CD＝CB，点E为BD的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质，可得△AEC是直角三角形，由点F为AC的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得结论；(2)当∠BAC＝45°时，可得△AEC为等腰直角三角形，由线段垂直平分线的性质，可得AM＝CM，再由CD＝CB，得AM＋DM＝BC. 【例6】　若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°. (1)求证：四边形ABCD是勾股四边形． (2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长． 【思路点拨】　(1)由题意知，△ABC≌△DBE，可得DE＝AC，BC＝BE，证明△CBE为等边三角形，可得EC＝BC，再证∠DCE＝90°，可得DC2＋CE2＝DE2，即DC2＋BC2＝AC2，所以四边形ABCD是勾股四边形；(2)由DC2＋BC2＝AC2，求出AC的长，即可得出DE的长． 【例7】　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数． 【思路点拨】　直接求∠BPC的度数不太容易求出，于是把∠BPC进行适当的转化．因为△ABC是一个特殊的三角形“等腰直角三角形”，如果把△BPC绕着点C顺时针旋转90°到△AP′C，那么BC和AC会重合，△PCP′也是等腰直角三角形，这时再求∠BPC的度数会比较容易． 【例8】　著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2. 图1 (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理． 图2 (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH＝1.2 千米，HB＝0.9 千米，求新路CH比原路CA少多少千米． 图3 (3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值． 【思路点拨】　(1)四边形ABCD的面积可用梯形面积公式来表示，也可以用三个直角三角形面积的和来表示，根据两次表示的面积相等列出关系式，化简即可得证；(2)(3)问都可以设未知数，根据勾股定理列方程求解． 【答案解析】 【知识梳理】 1．逆命题和逆定理 (1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的逆命题． (2)如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理． 注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系． 2．直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形． 3．直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角互余． (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． (4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 4．直角三角形的判定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形． (2)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 5．直角三角形全等的判定 (1)SSS，SAS，AAS，ASA. (2)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)． 6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理 (1)到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． (2)角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 【例题探究】 【例1】　如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于(　　) A． B． C． D．7 【解题过程】　∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点， ∴DE＝DF＝AB. ∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝3. ∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3， ∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝AB＋3＝7， ∴AB＝4， ∴AF＝＝. 故选B. 【方法归纳】　本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键． 【例2】　说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由． 【解题过程】　解：逆命题：一边上的中点到另两边的距离相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．理由如下： 已知：如图，在△ABC中，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别为点D，E，MD＝ME. 求证：AB＝AC. 证明：∵M是BC的中点，∴BM＝CM. ∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠MDB＝∠MEC＝90°. 又∵MD＝ME，∴Rt△MDB≌Rt△MEC(HL)， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC. 【方法归纳】　本题主要考查逆命题的概念、证明的步骤、直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握这些概念和判定是解题的关键． 【例3】　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上(不与点A，C重合)，DE⊥AB于点E，连结BD，F为BD的中点，连结EF，CF，CE. (1)求证：FE＝FC. (2)试猜想∠A与∠CEF的关系，并证明． 【解题过程】　(1)证明：∵DE⊥AB，∠ACB＝90°，F为BD的中点， ∴FE＝BD，FC＝BD，∴FE＝FC. (2)解：∠A＝∠CEF．证明如下： ∵FE＝BD＝FB，FC＝BD＝FB， ∴∠FEB＝∠FBE，∠FCB＝∠FBC， ∴∠EFD＝2∠EBF，∠CFD＝2∠FBC. ∵FE＝FC，∴∠CEF＝∠ECF， ∴∠CEF＝×(180°－2∠EBF－2∠FBC)＝90°－(∠EBF＋∠FBC)． ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°－(∠EBF＋∠FBC)，∴∠A＝∠CEF. 【方法归纳】　本题考查了直角三角形的性质：①直角三角形中的两个锐角互余；②直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．熟练掌握上述性质是解题的关键． 【例4】　如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N. 求证：BM＝CN. 【解题过程】　解：如图，连结CE，BE. ∵BD＝DC，ED⊥BC，∴DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)． ∵AE是∠BAC的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC， ∴EM＝EN(角平分线上的点到角两边的距离相等)． 在Rt△MEB和Rt△NEC中，BE＝EC，EM＝EN， ∴Rt△MEB≌Rt△NEC(HL)，∴BM＝CN． 【方法归纳】　本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的性质以及直角三角形全等的判定方法，通过画辅助线构造Rt△MEB和Rt△NEC全等是解决问题的关键． 【例5】　如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM. (1)求证：EF＝AC. (2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系． 【解题过程】　(1)证明：∵CD＝CB，E为BD的中点， ∴CE⊥BD，∴∠AEC＝90°. 又∵F为AC的中点，∴EF＝AC. (2)解：∵∠BAC＝45°，∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴AE＝CE. 又∵F为AC的中点，∴EF⊥AC. ∴EF为AC的垂直平分线，∴AM＝CM， ∴AM＋DM＝CM＋DM＝CD. 又∵CD＝CB，∴AM＋DM＝BC. 【方法归纳】　本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质． 【例6】　若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°. (1)求证：四边形ABCD是勾股四边形． (2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长． 【解题过程】　(1)证明：如图，连结CE. 根据题意，得△ABC≌△DBE， ∴AC＝DE，BC＝BE. ∵∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，BC＝CE. ∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°， ∴DC2＋CE2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2. ∴四边形ABCD是勾股四边形． (2)解：由(1)，得DC2＋BC2＝AC2，∴AC＝＝10. ∵DE＝AC，∴DE＝10. 【方法归纳】　本题考查勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质．把线段DC，BC，AC集中到一个直角三角形中是解决问题的关键． 【例7】　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数． 【解题过程】　解：如图，把△BPC绕点C顺时针旋转90°到△AP′C，连结PP′，则△AP′C≌△BPC. ∴AP′＝BP＝1，P′C＝PC＝2，∠AP′C＝∠BPC，∠ACP′＝∠BCP. ∵∠BCP＋∠ACP＝∠ACB＝90°， ∴∠PCP′＝∠ACP＋∠ACP′＝∠ACP＋∠BCP＝∠ACB＝90°， ∴△PCP′是等腰直角三角形，∴PP′＝2，∠PP′C＝45°. 在△APP′中，AP′2＋PP′2＝12＋(2)2＝9＝32＝PA2， ∴△APP′是直角三角形，且∠AP′P＝90°， ∴∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝90°＋45°＝135°. 【方法归纳】　当某个点在三角形内部的问题难以处理时，不妨先通过旋转变换把点移到三角形外部，再进行求解． 【例8】　著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2. 图1 (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理． 图2 (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH＝1.2 千米，HB＝0.9 千米，求新路CH比原路CA少多少千米． 图3 (3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值． 【解题过程】　解：(1)梯形ABCD的面积为(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋b2， 也可以表示为ab＋ab＋c2， ∴a2＋ab＋b2＝ab＋ab＋c2，∴a2＋b2＝c2. (2)设CA＝m. ∵AB＝AC，∴AH＝m－0.9. ∵CH⊥AB，CH＝1.2 千米，∴CA2＝CH2＋AH2，即m2＝1.22＋(m－0.9)2， 解得m＝1.25，即CA＝1.25， ∴CA－CH＝1.25－1.2＝0.05(千米)． 答：新路CH比原路CA少0.05 千米． (3)设AH＝x，则BH＝6－x. 在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2. 在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2. ∴CA2－AH2＝CB2－BH2，即42－x2＝52－(6－x)2， 解得x＝. 【方法归纳】　几何图形中线段长度的计算，通常可以设出未知数，然后利用勾股定理列方程求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$