19.6 反比例函数的图象、性质和应用（第2课时 几何意义、实际应用）（教学课件）数学北京版九年级上册

19.6 反比例函数的图象、性质和应用 （第2课时） 主讲： 京改版九年级上册 第19章 二次函数与反比例函数 章节导入 当k＞0时，图象分布在一、三象限；在各自象限内，y的值随x值的增大而减小． 当k＜0时，图象分布在二、四象限；在各自象限内，y的值随x值的增大而增大． 反比例函数y = (k≠0）的图象和性质 学习目标 目标 1 目标 2 1.掌握反比例函数的图象、性质的应用； 2.能够运用反比例函数解决生活中的实际问题。 自学指导 仔细阅读教材P66---P67。用3分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.你知道如何利用反比例函数解决生活中的实际问题吗？ 实践 探究新知 已知反比例函数y = 的图象在其所在的每个象限内，y随x的增大而减小，那么直线 y=kx 经过 　 象限，y随x增大而 　 ． 一、三 增大 例 若A（x1，y1 ），B(x2，y2 )，C（x3 ，y3 ）都是反比例函数y = 图象上的点，且x1 ＜0＜x2＜ x3 ，则y1 ， y2 ，y3由小到大的顺序是 ． y2＜y3＜ y1 方法1： ∵ x1 ＜0＜x2＜ x3， ∴设x1=−1，x2=1，x3=3． ∵A、B、C都是反比例函数y = 图象上的点， ∴y2＜y3＜ y1． ∴y1=15，y2= −15，y3= −5． 典型例题 x1 x2 x3 y1 y2 y3 方法2： y x O 例 若A（x1，y1 ），B(x2，y2 )，C（x3 ，y3 ）都是反比例函数y = 图象上的点，且x1 ＜0＜x2＜ x3 ，则y1 ， y2 ，y3由小到大的顺序是 ． y2＜y3＜ y1 典型例题 例 如图，已知点P（x，y）是反比例函数y = 的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，得到矩形OMPN； （1）若P(3，2)，则矩形OMPN的面积为 ； 6 6 （2）若P(3，2) ，则矩形OMPN的面积为 ； x y P O M N （1） P O M N y x （2） （3）当点P(x，y)在函数图象上运动时，矩形OMPN的面积为一个定值吗？ ∵点P是反比例函数y = 上的点， 分析： ∵点P(x，y)， ∴OM= |x|，ON= |y|． ∵ SOMPN =OM·ON， ∴SOMPN =|x|·|y|． ∴xy = 6， ∴SOMPN =|x|·|y|=|xy|=|6|= 6． P O M N P O M N y x 答：当点P(x，y)在函数图象上运动时，矩形OMPN的面积为一个定值，值为6． 变式1 如图，已知点P（x，y）是反比例函数y =− 的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，得到矩形OMPN； （1）若P(3，2)，则矩形OMPN的面积为 ； 6 （2）若P(3，2)，则矩形OMPN的面积为 ； 6 P O M N y x x P O M N y （1） （2） （3）当点P(x，y)在函数图象上运动时，矩形OMPN的面积为一个定值吗？ 分析： ∵点P(x，y)， ∴OM= |x|，ON= |y|． ∵ SOMPN =OM·ON， ∴SOMPN =|x|·|y|． ∵点P是反比例函数y = −上的点． ∴xy=−． ∴SOMPN =|x|·|y|=−xy=6． P O M N P O M N y x 答：当点P(x,y)在函数图象上运动时，矩形OMPN的面积为一个定值，值为6． 变式2　若点P（x，y）是反比例函数y = （k≠0）的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，那么矩形OMPN的面积为一个定值吗？ 分析： ∵点P(x，y)， ∴OM=|x|，ON=|y|． ∵ SOMPN =OM·ON， ∴SOMPN =|x|·|y|． ∵点P是反比例函数y = 上的点， ∴xy =k． P O M N P O M N P O M N P O M N y y x x 分析： ∴SOMPN =|x|·|y|=|xy|=|k|． SOMPN =|x|·|y|=xy= k． 当k＞0时，x、y同号， SOMPN =|x|·|y|=xy=k． 当k＜0时，x、y异号， P O M N P O M N P O M N P O M N y y x x 反比例函数y = （k≠0）中反比例系数k的几何意义： 过双曲线y = （k≠0）上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为M、N，则所得矩形OMPN的面积为|k|． P O M N P O M N P M N P M N y y x x 知识要点 例 压强的大小是由单位面积所受的压力决定的，那么，当物体受到100N的压力时，压强是受力面积的函数.试判断它是哪一类函数，并求当物体的受力面积是5m2时，物体所受的压强. 设压力为N 、压强为p 、受力面积为S. 分析：根据压强的意义，压力N等于压强p（Pa）与受力面积S (m2) 的乘积 即： N =pS p = 把N = 100代入：100 = pS 典型例题 由于它是形如y = (是常数， 0)形式的函数，所以是反比例函数. 当S = 5时， = = 20 （Pa）. 解：设压强为p（Pa），受力面积为S(m2)，根据压强的意义，列出表达式为： p = （S > 0）. 例 压强的大小是由单位面积所受的压力决定的，那么，当物体受到100N的压力时，压强是受力面积的函数.试判断它是哪一类函数，并求当物体的受力面积是5m2时，物体所受的压强. 与函数有关的实际问题的解决思路 实际问题 审题分析 提取信息 列函数表达式 判断函数类型 典型例题 例 某长途汽车全线长50km，规定车的平均速度不得高于70km/h. (1)运行全程所需的时间t(h)是平均车速v(km/h)的什么函数？画出这个函数的图象. (2)结合图象，求出采用平均速度为40km/h或60km/h时，运行全程所需时间相差多少分钟. 分析： 路程=运行全程所需时间平均速度 用平均车速表示出时间： t = 即：50 = vt (2)结合图象，当平均速度40km/h或60km/h时，运行全程时间分别为： t2 = . t1-t2 - = - = (h)= (min). 答：运行全程所需时间相差25分钟. t1 = ， 解：(1)据题意，函数是表达式 为t = 的反比例函数， 自变量的取值范围是 0<v≤70. 实际问题 实际问题的解 反比例函数 方法总结 反比例函数的解 实际问题 实际问题的解 数学 问题 数学问题的解 基础检测 1．如图所示，点P是反比例函数图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（　）  A． B． C． D． 2．如图，两个反比例函数y1和y2在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D．6 C　 C　 一展身手 1.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了（　　） A．10mL B．15mL C．20mL D．25mL 解：设这个反比例函数的解析式为V， ∵V＝100ml时，p＝60kpa， ∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000， ∴V，当p＝75kPa时，V80， 当p＝100kPa时，V60， ∴80﹣60＝20（mL）， ∴气体体积压缩了20mL. C　 4．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　　． 解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴点D的坐标为（﹣3，2）， 把（﹣3，2）代入双曲线，可得k＝﹣6， 即双曲线解析式为y， ∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y，y＝1， 即点C坐标为（﹣6，1），∴AC＝3， 又∵OB＝6， ∴S△AOCAC×OB＝9． 9 挑战自我 为了预防流感，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，解决以下问题： （1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 挑战自我 解：（1）设正比例函数解析式是y＝kt， 反比例函数解析式是y， 把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：，解得：m， ∴反比例函数的解析式是y．当y＝1时，代入上式得t， 把t时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k， ∴正比例函数解析式是yt； 综上所述，y， （2）由题意得0.25，解得t＞6， 答：至少需要经过6小时后，学生才能进入教室． 课堂小结 反比例函数的应用 1.反比例函数的几何意义； 2.反比例函数的应用； 3.数学解题方法的类比总结。 主讲： 感谢聆听 京改版九年级上册 $$