4.8 余弦定理与正弦定理（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§4.8　余弦定理与正弦定理 【课程标准】　1.通过对三角形边长与角度关系的探索，掌握余弦定理、正弦定理．　2.能用余弦定理、正弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 1．余弦定理与正弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C ＝＝＝2R 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝， sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 2．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 微提醒　若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．也可以用余弦定理，先求第三边再求其余角． 3．三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 学生用书↓第102页 【记牢常用结论】 在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3．a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin. 5．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． 1．[多选题]下列说法正确的是(　　) A．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 B．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B C．在△ABC中，＝ D．当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形 答案：BC 2．(链接北师必修二P123A组T1)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于(　　) A．8 B．4 C． D． 答案：A 解析：由S△ABC＝acsin B＝×2c×＝4，得c＝8.故选A． 3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，则cos C＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：由正弦边角关系知a∶b∶c＝4∶5∶6，令a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以cos C＝＝＝.故选A． 4．(用结论)(2024·福建福州质检)已知△ABC的外接圆半径为1，A＝，则AC·cos C＋AB·cos B＝(　　) A． B．1 C． D． 答案：D 解析：三角形中的射影定理AC·cos C＋AB·cos B＝BC＝2Rsin A＝2sin＝.故选D． 考点一　利用余弦、正弦定理解三角形 基础练 (1)(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝(　　) A． B． C． D． (2)[多选题](2024·江苏南京月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan B＝ac，则B的值为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)B　(2)BD 解析：(1)因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2，则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝，又0<C<π，所以C＝.故选B． (2)根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accos B，代入tan B＝ac，可得2accos B·＝ac，即sin B＝，因为0<B<π，所以B＝或B＝.故选BD． 规律方法 利用余弦、正弦定理解三角形策略 对点练1.(1)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) 学生用书↓第103页 A． B． C． D． (2)(原创题)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2＋c2＝2 025a2，则的值为(　　) A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)由题意结合正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，即sin Acos B－sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，整理可得sin Bcos A＝0，由于B∈(0，π)，故sin B>0，据此可得cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C． (2)因为b2＋c2＝2 025a2，则根据正弦定理和余弦定理有＝·cos A＝·＝＝2 024.故选C． 考点二　判断三角形的形状 综合练 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 (2)[多选题](2024·河北石家庄模拟)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有(　　) A．a＝2，b＝3，c＝4 B．·＝－2a C．＝ D．b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C 答案：(1)D　(2)AC 解析：(1)由正弦定理，余弦定理及a2cos Asin B＝b2cos Bsin A得，a2··b＝b2··a，所以a2＝b2(a2＋c2－b2)，即a4－b4＋c2＝0，则(a2＋b2)(a2－b2)＋c2(b2－a2)＝0，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， 所以a＝b或a2＋b2＝c2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D． (2)对于A，因为a＝2，b＝3，c＝4，所以角C最大，由cos C＝＝－<0⇒<C<π，所以△ABC是钝角三角形，故A正确；对于B，由·＝－2a⇒－cacos B＝－2a⇒ccos B＝2⇒B∈(0，)，不能判断△ABC是钝角三角形，故B错误；对于C，根据正弦定理，由＝⇒＝⇒a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理可知cos A＝＝＝－⇒A＝，所以△ABC是钝角三角形，故C正确；对于D，根据正弦定理，由b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C⇒sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccos Bcos C⇒sin Bsin C＝cos Bcos C⇒cos(B＋C)＝0⇒cos(π－A)＝0⇒cos A＝0⇒A＝，所以△ABC是直角三角形，D不符合题意．故选AC． 规律方法 判断三角形形状的常用思路 对点练2.(2024·安徽芜湖模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos A＋bcos(A＋C)＝0，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 答案：D 解析：由acos A＋bcos＝0，得acos A－bcos B＝0，由正弦定理得sin Acos A－sin Bcos B＝0，所以sin 2A＝sin 2B，因为0<2A<2π，0<2B<2π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝，即△ABC是等腰或直角三角形．故选D． 考点三　与三角形面积(周长)有关的计算多维练 角度1　与面积有关的计算 (10分)(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. [思路分析]　(1)法一：利用三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求解作答；法二：利用三角形面积公式求出a，作出BC边上的高，利用直角三角形求解作答． (2)法一：利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答；法二：利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答． 学生用书↓第104页 学生用书↓第105页 角度2　与周长有关的计算 (2024·江西南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝. (1)求A； (2)已知D为边BC上一点，∠DAB＝∠DAC，若AD＝，a＝3，求△ABC的周长． 解：(1)因为＝，所以由正弦定理可得＝， 所以sin Acos B＋sin Acos C ＝cos Asin B＋cos Asin C， 所以sin Acos B－cos Asin B ＝cos Asin C－sin Acos C， 所以sin(A－B)＝sin(C－A)． 因为A－B∈(－π，π)，C－A∈(－π，π)， 所以A－B＝C－A或(A－B)＋(C－A)＝2×或(A－B)＋(C－A)＝2×， 即2A＝B＋C或C＝B＋π(舍去)或B＝C＋π(舍去)， 又A＋B＋C＝π，所以A＝. (2)由题意得S△DAB＋S△DAC＝S△ABC， 即AB·ADsin∠DAB＋AC·ADsin∠DAC＝AB·ACsin∠BAC， 因为∠BAC＝，∠DAB＝∠DAC＝，AD＝， 所以AB＋AC＝AB·AC，所以AB＋AC＝AB·AC，即c＋b＝cb， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc， 所以(b＋c)2－3(b＋c)－18＝0，所以b＋c＝6或b＋c＝－3(舍去)， 所以△ABC的周长为6＋3. 规律方法 三角形面积公式的应用原则 1．对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． 2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 对点练3.(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC 的面积． 解：(1)由余弦定理可得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7， 则BC＝，cos∠ABC＝＝＝， sin∠ABC＝ ＝ ＝. (2)由三角形面积公式可得＝＝4， 则S△ADC＝S△ABC＝×(×2×1×sin 120°)＝. 对点练4.(2024·江西鹰潭模拟)在①3sin A＝8sin C，②ac＝49，③sin A＝这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos C＋ccos A＝7，B＝，________，若三角形唯一，求此时△ABC的周长，若不唯一，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：acos C＋ccos A＝7，则由余弦定理得a·＋c·＝7， 即＝＝7，即b＝7. 若选择①：3sin A＝8sin C，则3a＝8c，即a＝c，又B＝， 所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即49＝a2＋c2－ac，即＋c2－＝c2＝49，得c2＝9，故c＝3，a＝8， 此时三角形唯一，则周长为a＋b＋c＝8＋7＋3＝18； 若选择②：ac＝49，B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即49＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－147，故(a＋c)2＝196， 即a＋c＝14，得a＝c＝7， 此时三角形唯一，则周长为a＋b＋c＝7＋7＋7＝21； 若选择③：sin A＝，b＝7，B＝，由正弦定理得＝，得a＝8， 则b2＝a2＋c2－2accos B，即49＝64＋c2－8c，得c2－8c＋15＝0， 则c＝3或c＝5，此时三角形不唯一． 课时测评33　余弦定理与正弦定理 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9，每小题5分，共45分) 1．(2024·陕西渭南质检)在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC＝(　　) A．2 B．3 C．6 D． 答案：B 解析：在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，得49＝25＋BC2－2×5BC·，即BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍去)．故选B． 2．(2024·广西桂林模拟)在△ABC中，若sin C＝3sin A，b2＝2ac，则cos B＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为sin C＝3sin A，由正弦定理可得c＝3a，且b2＝2ac，由余弦定理可得cos B＝＝＝.故选C． 3．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin C＝2sin Bcos A，且(a＋b－c)(b＋c＋a)＝2ab，那么△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案：D 解析：由(a＋b－c)(b＋c＋a)＝2ab，得(a＋b)2－c2＝2ab，整理得c2＝a2＋b2，故C＝90°，又sin C＝2sin Bcos A，由正弦定理与余弦定理得c＝2b·，化简得a＝b，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D． 4．(2024·河南南阳模拟)在△ABC中，AB＝7，BC＝3，C＝，则△ABC的面积为(　　) A． B． C．4 D．6 答案：A 解析：在△ABC中，因为AB＝7，BC＝3，C＝，由余弦定理可得，AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C，即49＝CA2＋9－6CA×(－)，所以CA2＋3CA－40＝0，解得CA＝5或－8(舍去)，所以S△ABC＝CA·CB·sin C＝×5×3×＝.故选A． 5．[多选题](2024·陕西汉中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∶∶＝5∶6∶7，则下列结论正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4 B．△ABC为钝角三角形 C．若a＝6，则△ABC的面积是6 D．若△ABC外接圆半径是R，内切圆半径为r，则＝ 答案：BD 解析：设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，则a＝3t，b＝2t，c＝4t，对于A，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，故A不正确；对于B，c最大，所以C最大，cos C＝＝－<0，故B正确；对于C，若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8，所以cos C＝－⇒sin C＝，所以△ABC的面积是S＝absin C＝×6×4×＝3，故C不正确；对于D，由正弦定理得R＝＝＝t，△ABC的周长l＝9t，S＝absin C＝t2，所以内切圆半径为r＝＝t，所以＝.故D正确．故选BD． 6．[多选题](2024·河南焦作模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B＝bcos A，则下列结论正确的是(　　) A．A＝ B．若B＝，则b＝a C．若a＝，b＋c＝3，则bc＝2 D．若a＝2，则△ABC的面积的最小值为 答案：BC 解析：对于A选项，由正弦定理有sin Asin B＝sin Bcos A，有sin A＝cos A，有tan A＝，可得A＝，故A选项错误；对于B选项，由正弦定理有＝＝＝，有b＝a，故B选项正确；对于C选项，由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccos，即b2＋c2－bc＝3，有(b＋c)2－3bc＝3，代入b＋c＝3，可得bc＝2，故C选项正确；对于D选项，由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccos，即b2＋c2－bc＝4≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c＝2时取等号)，有S△ABC＝bc≤，故D选项错误．故选BC． 7．(2023·江西九江三模)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin A＝(c－b)sin C＋bsin B，bc＝6，则△ABC的面积为______． 答案： 解析：由asin A＝(c－b)sin C＋bsin B及正弦定理，得a2＝c2－bc＋b2，所以b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理知cos A＝＝＝，因为0<A<π，所以A＝，所以S△ABC＝bcsin A＝×6×＝. 8．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________． 答案：2 解析：如图所示：记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 法一：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋，由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， ×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，故AD＝＝＝2. 法二：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋，由正弦定理可得，＝＝，解得sin B＝，sin C＝，因为1＋>>2，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2. 9．(新设问)(2024·北京朝阳一模)在△ABC中，a＝4，b＝m，sin A－cos A＝0. (1)若m＝8，则c＝________； (2)当m＝________(写出一个可能的值)时，满足条件的△ABC有两个． 答案：4　6(答案不唯一) 解析：(1)因为sin A－cos A＝0，所以tan A＝1，因为0<A<π，A＝，由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，即32＝64＋c2－16×c，解得c＝4. (2)因为A＝，a＝4，所以当bsin<a<b时，方程有两解，即4<m<8，取m＝6即可满足条件(答案不唯一)． 10．(12分)(2024·安徽蚌埠模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝，a<c，且sincos＝. (1)求A的大小； (2)若asin A＋csin C＝4sin B，求△ABC的面积． 解：(1)sincos ＝coscos ＝cos2＝＝， 所以cos＝－， 因为0<A<π，得<＋2A<，所以＋2A＝或＋2A＝， 解得A＝或A＝， 因为a<c，得A<，所以A＝. (2)由(1)知，A＝，asin A＋csin C＝4sin B， 由正弦定理，得a2＋c2＝4b＝12， 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cos A，即12－c2＝3＋c2－2c·， 整理，得2c2－3c－9＝0，由c>0得c＝3， 所以S△ABC＝bcsin A＝××3×＝. 11．(15分)(2024·江西南昌模拟)在①3absin C＝4·；②a＝4c，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答． 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，________． (1)求sin A的值； (2)若△ABC的面积为2，a＝4，求△ABC的周长． 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)若选①，由已知得3absin C＝4bccos A，所以3asin C＝4ccos A， 由正弦定理得3sin Asin C＝4sin Ccos A， 又C∈，所以sin C>0，所以3sin A＝4cos A，又sin2A＋cos2A＝1， 由A∈，sin A>0，解得sin A＝. 若选②，由已知及正弦定理得3sin Asin B＋4sin Acos B＝4sin C， 所以3sin Asin B＋4sin Acos B＝4sin， 所以3sin Asin B＋4sin Acos B＝4sin Acos B＋4cos Asin B， 所以3sin Asin B＝4cos Asin B， 又B∈，所以sin B>0，所以3sin A＝4cos A，又sin2A＋cos2A＝1， 由A∈，sin A>0，解得sin A＝. (2)由△ABC的面积为2，得bcsin A＝bc＝2，所以bc＝5， 由(1)可得cos A＝＝， 由余弦定理得cos A＝＝＝，所以b2＋c2＝22，所以b＋c＝＝＝＝4， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋4. (每小题6分，共12分) 12．[多选题](2024·安徽淮北模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，cos＝，则下列结论错误的是(　　) A．AB边上的中线长为2 B．△ABC为锐角三角形 C．cos B＝ D．△ABC的周长为12 答案：BCD 解析：如图，在边AB上取一点D，使DB＝DC．设DB＝DC＝x，则∠B＝∠DCB，所以∠ACD＝∠ACB－∠B．cos∠ACD＝＝，解得x＝2，所以AD＝BD＝DC＝2. 在△ADC中，cos∠ADC＝＝－，所以cos∠BDC＝＝，解得BC＝，所以BC2＋AC2＝AB2，所以△ABC为直角三角形，故B错误；CD为斜边AB上的中线，所以A正确；cos B＝，C错误；△ABC的周长为7＋，D错误．故选BCD． 13．[多选题](2024·山东东营模拟)已知△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件一定能够使△ABC为等腰三角形的是(　　) A．acos B＝bcos A B．sin＝sin C．cos Bcos C＝ D．＋≤2c 答案：ACD 解析：选项A，由acos B＝bcos A，可得a·＝b·，整理得a2＝b2，则a＝b，则△ABC为等腰三角形，故A正确；选项B，由sin＝sin，可得＝(a2－b2)sin C， 则＝c，整理得＝0，即a2＋b2＝c2或a＝b，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；选项C，由cos Bcos C＝，可得2cos Bcos C＝1＋cos(B＋C)，则2cos Bcos C＝1＋cos Bcos C－sin Bsin C，则cos(B－C)＝1，又－π<B－C<π，则B＝C，则△ABC为等腰三角形，故C正确；选项D，由＋≤2c，可得＋≤2sin C，由＋≥2(当且仅当A＝B时等号成立)，可得2≤2sin C，则sin C＝1，又0<C<π，则C＝，则A＝B＝，故D正确．故选ACD． 14．(16分)(2024·江苏南京模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AB上，∠A＝，BD＝CD，AD＝2. (1)若BD＝b，求c； (2)若a＝2，求△ABC的面积． 解：(1)在△ACD中∠A＝，AD＝2，CD＝BD＝b，由余弦定理得， CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos A＝22＋b2－4bcos＝4＋b2－2b， 所以2＝4＋b2－2b，化简得2b2－9b＋18＝0， 解得b＝3，或b＝. 所以BD＝b＝×3＝，或BD＝b＝×＝. 所以c＝AB＝AD＋BD＝2＋，或c＝AB＝AD＋BD＝2＋， 综上可得c＝2＋，或c＝2＋. (2)在△BCD中BD＝CD，设∠B＝∠BCD＝θ，则∠BDC＝π－2θ， 因为a＝2，由正弦定理得＝，所以CD＝. 在△ACD中，∠ADC＝2θ，∠ACD＝－2θ， 由正弦定理得＝，即＝.化简得cos θ＝sin， sin＝sin，因为0<θ<，所以0<－θ<，－<－2θ<. 所以－θ＝－2θ或－θ＋－2θ＝π，解得θ＝或θ＝. 当θ＝时，∠ACB＝，AC＝BC＝2，所以△ABC为等腰直角三角形， 得到△ABC的面积为S△ABC＝×2×2＝4; 当θ＝时，∠ACB＝π－－＝， 在△ABC中由正弦定理得＝， 所以c＝·sin∠ACB＝×＝2， 所以△ABC的面积为S△ABC＝×2×2×sin＝2×＝3－. 综上可得△ABC的面积为4或3－. 学生用书↓第106页 学科网（北京）股份有限公司 $$