4.1 任意角和弧度制及三角函数的概念（教师word）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§4.1　任意角和弧度制及三角函数的概念 【课程标准】　1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．　2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．任意角 (1)角的概念推广 ①定义：角可以看成一条射线OA绕着它的端点O旋转到终止位置OB所形成的图形． ②分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角． (2)象限角及其表示 ①按角的终边的位置对角分类：象限角和轴线角． ②终边相同的角：给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 微提醒　相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍． 2．弧度制 (1)弧度的概念：在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． (2)弧度与角度的换算 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 微提醒　利用扇形的弧长和面积公式解题要注意单位必须是弧度制，同一个问题中度量制度要一致，不可弧度角度混用． 3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义：设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．其中r＝. (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 微提醒　三角函数就是以α为自变量，以比值为函数值的函数，它的函数值不会随着点Q在α终边上的位置的改变而改变． 【记牢常用结论】 1．象限角 2．轴线角 学生用书↓第82页 1．[多选题]下列说法中正确的是(　　) A．锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角 B．若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－ C．若sin α>0，则α是第一或第二象限角 D．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 答案：BD 2．(链接北师必修二P25A组T7)已知角α的终边经过点P，则sin α＝(　　) A． B．－ C．－2 D．－ 答案：B 解析：角α的终边经过点P，则r＝|OP|＝＝，所以sin α＝＝－.故选B． 3．与30°角终边相同的角的集合是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：对于AB，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，故A错误，B错误；对于CD，因为30°换算成弧度制为，所以与30°角终边相同的角的集合为或，故C错误，D正确．故选D． 4．(链接北师必修二P12练习T8)已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 答案：12π 解析：因为α＝30°＝，l＝|α|r，所以r＝＝12，所以扇形面积S＝lr＝×2π×12＝12π. 考点一　角的概念及表示基础练 (1)[多选题]下列命题正确的是(　　) A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z} B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z} C．第三象限角的集合为 D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315° (2)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：(1)AD　(2)A 解析：(1)A项显然正确；对于B项，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故B错误；对于C项，第三象限角的集合为，故C错误；对于D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈Z)，解得－≤k＜－(k∈Z)，从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故D正确．故选AD． (2)当α是第四象限角时，＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，则＋kπ<<π＋kπ，k∈Z，即是第二或第四象限角．当＝为第二象限角时，α＝不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选A． 规律方法 1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角 方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置． 对点练1.[多选题]下列说法正确的是(　　) A．若点P在第三象限，则α是第二象限角 B．角θ的终边与圆心在原点、半径为r的圆的交点为 C．若sin α＝ sin β，则α 与β为终边的相同的角 D．钟表时针走过2小时，则时针转过的角的弧度数为 答案：AB 解析：若点P在第三象限，则tan α<0，cos α<0，则α是第二象限角，故A正确；设角θ的终边与圆心在原点、半径为r的圆的交点坐标为，由三角函数的定义可知，cos θ＝，sin θ＝，则x＝rcos θ，y＝rsin θ，即交点坐标为，故B正确；若sin α＝sin β，则α 与β 的终边相同或α与β的终边关于y轴对称，故C错误；钟表时针走过2小时，则时针转过的角的弧度数为－，故D错误．故选AB． 考点二　弧度制及其应用 综合练 已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r. (1)若α＝60°，r＝3，求扇形的弧长； 学生用书↓第83页 (2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积． (3)若α＝，r＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 解：(1)设扇形的弧长为l.因为α＝60°，即α＝，r＝3，所以l＝|α|r＝×3＝π. (2)由题设条件知，l＋2r＝16，l＝16－2r(0<r<8)， 因此扇形的面积S＝lr＝r＝－r2＋8r＝－2＋16， 所以当r＝4时，S有最大值16，此时l＝16－2r＝8，α＝＝2， 所以当α＝2时，扇形的面积最大，最大面积是16. (3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝ cm， 所以S弓形＝××2－×22×sin＝cm2. 规律方法 应用弧度制解决问题的注意点 1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 2．求扇形面积的最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题． 对点练2.(新情境)(2024·天津模拟)如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形，设弧AD长度是l1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若＝2，则＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：设∠AOD＝θ，则l1＝θ·OA，l2＝θ·OB，所以＝＝2，即OA＝2OB，所以＝＝＝3.故选C． 考点三　三角函数的概念多维练 角度1　三角函数的定义 (1)(2024·河南开封模拟)设α是第二象限角，P(x，1)为其终边上一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)[多选题]已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，sin α)在第一象限 答案：(1)B　(2)ACD 解析：(1)由三角函数定义可知：cos α＝＝x⇒x＝±2，又α是第二象限角，故x＝－2，所以tan α＝＝－.故选B． (2)角θ的终边经过点(－2，－)，sin θ＝－，故A正确；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，故B错误，C正确；因为tan θ＝>0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，故D正确．故选ACD． 角度2　三角函数值的符号 (1)[多选题]已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边上的一点为P(2m，－m)(m≠0)，则下列各式一定为负值的是(　　) A．sin αcos α B．tan α C．cos α－sin α D．cos 2α (2)若sin αtan α<0，且>0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：(1)AB　(2)B 解析：(1)由题意知：当m>0时，有sin α＝－，cos α＝，tan α＝－， 所以sin αcos α＝－，cos α－sin α＝，cos 2α＝；当m<0时，有sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，所以sin αcos α＝－，cos α－sin α＝－，cos 2α＝. 综上，一定为负值的有tan α，sin αcos α.故答案为AB． (2)由sin αtan α<0，知α是第二象限或第三象限角，由>0，知α是第一象限或第二象限角，所以角α是第二象限角．故选B． 规律方法 1．三角函数定义的应用 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值． (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值． 学生用书↓第84页 2．判定三角函数值的符号的方法 关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解． 对点练3.(1)(2024·四川宜宾三模)已知角α的终边上一点的坐标，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是(　　) A．cos αtan α B．sin αcos α C．sin αtan α D．tan α (2)[多选题](2024·广西钦州模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A，B且sin α＝，则(　　) A．a＝－ B．b＝－2 C．cos α＝－ D．tan α＝－ 答案：(1)A　(2)BCD 解析：(1)因为角α的终边上一点的坐标且a是非零实数，所以根据三角函数的定义知，sin α＝，cos α＝，tan α＝，选项A，cos αtan α＝>0，故选项A正确；选项B，sin αcos α＝，因为a的正负不知，故选项B错误；选项C，sin αtan α＝，因为a的正负不知，故选项C错误；选项D，tan α＝，因为a的正负不知，故选项D错误．故选A． (2)因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A，B且sin α＝，所以＝＝， 所以a2＝，b2＝8，由＝，可知a>0，所以角α为第二象限的角，所以b<0，所以a＝，b＝－2，所以A错误，B正确，所以cos α＝＝－，tan α＝＝－＝－，所以C，D正确．故选BCD． 课时测评26　任意角和弧度制及三角函数的概念 (时间：40分钟，满分100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共60分) 1．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ＋45° B．k·360°＋ C．k·360°－315° D．kπ＋ 答案：C 解析：对于AB，2kπ＋45°，k·360°＋中角度和弧度混用，故A，B都错误；对于C，因为＝2π＋与－315°是终边相同的角，故与角的终边相同的角可表示为k·360°－315°，故C正确；对于D，kπ＋，不妨取k＝0，则表示的角与终边不相同，故D错误．故选C． 2．(2024·北京丰台模拟)在平面直角坐标系xOy中，若角α以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则α的一个可能取值为(　　) A．－60° B．－30° C．45° D．60° 答案：B 解析：依题意可得cos α＝，则α＝30°＋k·360°，k∈Z或α＝－30°＋k·360°，k∈Z，所以α的一个可能取值为－30°.故选B． 3．在平面直角坐标系中，角α的终边过点(－1，0)，将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合，则cos β＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：由题意知α＝π＋2k1π，k1∈Z，所以β＝＋2k2π，k2∈Z，故cos β＝cos＝.故选A． 4．(数学建模)(2024·江苏扬州模拟)在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　) A． B． C．2 D． 答案：D 解析：展开过程中：BM＝＝φ·R＝2，BO＝1，MO＝＝.故选D． 5．设角α属于第二象限，且＝－cos，则角属于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：因为α为第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，所以45°＋k·180°<<90°＋k·180°；当k＝2n时，为第一象限角；当k＝2n＋1时，为第三象限角；所以为第一或第三象限角；因为＝－cos，所以cos<0，所以为第二或第三象限角，故为第三象限角．故选C． 6．(数学文化)(2023·陕西西安二模)折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角)，则l，d和θ所满足的恒等关系为(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 答案：A 解析：连接AB，过点O作OD⊥AB于D，则∠AOB＝θ，∠DOB＝，则d＝2|BD|＝2|OB|sin，l＝|OB|·θ，则＝＝.故选A． 7．[多选题]在直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(x，－2)，且tan α＝2，则下列结论正确的是(　　) A．x＝－1 B．sin α＝－ C．cos α＝ D．tan<0 答案：ABD 解析：由题意可得tan α＝＝2，则x＝－1，故A正确；sin α＝＝－，故B正确；cos α＝＝－，故C错误；由P(－1，－2)，知角α的终边在第三象限，即α∈，则∈(kπ＋，kπ＋)，即角的终边在二、四象限，所以tan<0，故D正确．故选ABD． 8．(新定义)[多选题]在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P(x，y)，它与原点的距离是r.我们规定：比值、、分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作sec α、csc α、cot α，把y＝sec x、y＝csc x、y＝cot x分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是(　　) A．cos α＋sec α≥2 B．y＝sec x的定义域为 C．cot 2α＝ D．(sec α＋cos α)2＋(csc α＋sin α)2≥9 答案：CD 解析：因为cos α＋sec α＝cos α＋，所以当cos α<0时，cos α＋sec α<0，故A错误；y＝sec x＝，故其定义域为，故B错误；cot 2α＝＝＝＝，故C正确；(sec α＋cos α)2＋(csc α＋sin α)2＝2＋2＝＋2＋cos2α＋＋sin2α＋2＝5＋＝5＋，因为cos α≠0，sin α≠0，所以sin22α∈，所以5＋∈，故D正确．故选CD． 9．(数学建模)[多选题](2024·吉林长春模拟)如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点．初始时刻，质点A在(1，0)处，质点B在第一象限，且∠AOB＝.质点A以rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以rad/s的角速度按逆时针方向运动，则下列结论正确的是(　　) A．经过1 s后，扇形AOB的面积为 B．经过2 s后，劣弧的长为 C．经过6 s后，质点B的坐标为 D．经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇 答案：BD 解析：对于A，由题意可知：经过1 s后，∠AOB＝－(－)＋＝，所以此时扇形AOB的面积为α·r2＝××12＝，故选项A错误；对于B，经过2 s后，∠AOB＝－2×(－)＋2×＝，所以此时劣弧的长为αr＝，故选项B正确；对于C，经过6 s后，质点B转过的角度为6×＝，结合题意，此时质点B为角＋＝的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为(－，)，故选项C错误；对于D，经过 s后，质点B转过的角度为×＝，质点A转过的角度为×(－)＝－，因为－(－)＋＝2π，所以经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇，故选项D正确．故选BD． 10．(2024·山东青岛一模)在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则sin α＝________． 答案：－ 解析：依题意，因为sin＝，cos＝－，所以终边经过的点为，所以终边在第四象限，所以sin α＝＝－. 11．已知θ为第二象限角，则sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号为________． 答案：负 解析：因为θ为第二象限角，所以0<sin θ<1，sin θ为第一象限角，－1<cos θ<0，cos θ为第四象限角；故sin<0，cos>0，sin·cos<0，符号为负． 12．(新角度)圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若∠CAB＝α，|AC|＝m，则扇形OAC的面积为_________． 答案： 解析：如图，过点C作CD⊥AB于D，设所在圆的半径为R，则|AO|＝|OC|＝R，在Rt△ADC中，∠CAD＝α，|AC|＝m，所以|AD|＝mcos α，|CD|＝msin α，所以|OD|＝R－mcos α.在Rt△ODC中，有|CD|2＋|OD|2＝|OC|2，即2＋2＝R2，整理可得，R＝.因为|AO|＝|OC|＝R，所以∠COA＝π－2α，所以扇形OAC的面积为S＝R2＝. (每小题8分，共16分) 13．(2024·安徽淮北模拟)如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若sin α<cos α<tan α，则P所在的圆弧是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：设点P的坐标为(x，y)，所以由三角函数的定义可得sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，因为sin α<cos α<tan α，即y<x<，由图知对于A，在第一象限，且0<x<y，不满足题意，故A错误；对于B，在第三象限，且x<y<0，不满足题意，故B错误；对于C，在第三象限，且y<x<，满足题意，故C正确；对于D，在第四象限，且y<0，x>0，<0，不满足题意，故D错误．故选C． 14．(数学文化)(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意知，△OAB是等边三角形，所以AB＝OA＝2.连接OC(图略)，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，OC＝＝.又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，所以CD＝OD－OC＝2－，所以s＝AB＋＝2＋＝.故选B． (每小题12分，共24分) 15．(新考法)如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l(l<r)．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0<x<时，sin x≈x－，扇形OAB的面积记为S，则的值约为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：B 解析：设扇形OAB的圆心角为α，则α＝，在△OAB中，AB＝2rsin＝2rsin，又S＝lr，所以＝＝sin，又0<<，所以＝sin≈＝－.故选B． 16．(新考法)[多选题](2024·湖南长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A.已知点B在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是(　　) A．若∠AOB＝α，则＝α B．若y1＝sin x0，则x1＝x0 C．y1＝sin x0，则＝x0 D．若＝x0，则y1＝sin x0 答案：AD 解析：由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确；由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1＝sin x0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝cos x0，所以B错误；当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确．故选AD． 学科网（北京）股份有限公司 $$