拓展视野8 解析几何中的运算优化问题(一)（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

拓展视野(八) 解析几何中的运算优化问题(一) 第八章　直线与圆、圆锥曲线 解决圆锥曲线综合问题，需过两关：一是方法关，二是运算关．有很多同学尽管看似方法正确，理论可行，但是由于一些常见的运算技巧和规律没有掌握，直接导致得不到正确结果．我们常听到的一句话就是“我式子列上了，但没有计算出结果”．事实上圆锥曲线的运算并没有想象的那么复杂，你运算不出正确结果在很大程度上，是你的“算法”不正确、不合理造成的． 解析几何中的运算优化问题主要的技法有：1.反设直线，巧妙设点；2.对称运算，同理可得；3.换元技巧，事半功倍；4.特值运算，合理表述；5.齐次化处理，下面分两个拓展视野解决运算优化问题． 知识链接 技法一　反设直线，巧妙设点 例1 解：法一：由题意知直线l斜率一定存在，设直线l：y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(－1，0)， 典题体验 整理得－2(－4k2－9)2－3(3＋4k2)(－4k2－9)＝(3＋4k2)(4k2－12)， 即－2(16k4＋72k2＋81)＝－32k4－180k2－117. 法二：设直线l：my＝x＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 规律方法 在我们设直线过程中，设线方式不同，最后计算量也不同，所以我们要思考分析，如何选择计算量较小的设线方程．常用的设线方式有以下方式：y＝kx＋m和x＝ty＋m，我们将“y＝…”开头的设法称为正设，“x＝…”开头的设法称为反设．例如过点(－1，0)的直线可以设为y＝k(x＋1)，也可以设为my＝x＋1.有时就是这么一个简单的设线方式的不同，可能直接导致运算量相差很大．很多老师也讲过，有时反设直线会减少运算量，但困扰同学们的是不知道在什么情况下选择反设直线．其实，反设直线是有规律可循的．　　 规律方法 对点练1.(2021·浙江卷)如图，已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|＝2. (1)求抛物线的方程； (2)设过点F的直线交抛物线于A，B两点，斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN|2＝|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围． 解：依题意，得F(1，0)，M(－1，0).设A(x1，y1)，B(x2，y2).因为直线AB的斜率不可能为0，所以设直线AB的方程为x＝my＋1.[反设直线] 易知点R，N不重合，所以直线l不经过焦点，故设直线l的方程为y＝2x＋n，n≠－2. 技法二　 对称运算，同理可得 已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为　　　　　　　　　 A．16 B．14 C．12 D．10 例2 √ 由题知F(1，0)，所以可设直线l1：x＝ty＋1. 规律方法 当题目中有直线互相垂直或直线的斜率存在某种关系(如：互为倒数、互为相反数或倍数关系等等)，或者仅仅是经过的点不同(例如一条直线经过F1(－c，0)，另一条直线经过F2(c，0)等等)只需计算一个，另一个同理可得．　　 (2)设A，B是E上异于点P的两点，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，且∠PMN＝∠PNM，求直线AB的斜率． 解：由已知可得直线PA斜率存在且不为0， 设直线PA的方程为y＝k(x－2)＋1 k≠0. 技法三　换元技巧，事半功倍 例3 所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(易忽略C的轨迹不含左右顶点)． (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G. (ⅰ)证明：△PQG是直角三角形； 解：证明：第一步：设直线PQ的方程，与椭圆方程联立，得P，Q，E的坐标． 设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．(已知点P在第一象限，所以k>0) 第二步：利用点斜式表示QG的方程，与椭圆方程联立得点G的坐标． 第三步：由斜率公式得直线PG的斜率，利用斜率关系得三角形形状． (ⅱ)求△PQG面积的最大值． 第三步：利用换元法判断函数的单调性求面积的最值． 规律方法 圆锥曲线的复杂运算一般体现在圆锥曲线综合解答题中最值、取值范围等的运算，而这些运算大都通过换元转化为二次函数，分式函数、“对勾函数”等简单函数进行．本例中的“分子分母同时除以k2，令t＝k＋ ，即可转化为“对勾函数”，这样就使本复杂的运算简单化．　　 对点练3.(2024·河南郑州模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)． 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 解：设P(x，y)为椭圆上一点，则|PF|＋|PE|＝|PA|＋|PE|＝|AE| 谢谢观看 本节到此结束 已知直线l过椭圆＋＝1的左焦点F，与椭圆相交于A，B两点，且满足＝2，求直线l的方程． 联立化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，易知Δ>0， 整理得k2＝，所以k＝±，所以所求直线的方程是l：y＝±(x＋1)． x1＋x2＝，x1x2＝，由＝2，得－1－x1＝2(x2＋1)，即x1＝－2x2－3， 所以x1＋x2＝－x2－3，x2＝－3， x1x2＝－2x－3x2＝－22－3＝. 即－22－3＝， 由①②得＝2×＝＝－，解得m2＝，m＝±，所求直线的方程为±y＝x＋1，即y＝±(x＋1)． 联立方程化简得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，易知Δ>0. y1＋y2＝，y1y2＝，由＝2，得y1＝－2y2， y1＋y2＝－y2＝①， y1y2＝－2y＝②， 本题法二：把正设直线改为反设直线，大大降低了运算量，我们分析此题的条件：首先直线l过的定点(－1，0)在x轴上，其次由＝2，得x1＝－2x2－3，y1＝－2y2显然“y1＝－2y2”要比“x1＝－2x2－3”更为简单一些，这就决定了此题联立方程消去x保留y，要比消去y保留x更为方便，所以此题适合反设直线my＝x＋1，由此得出，在很多情况下直线过x轴上一点，且联立方程后消x保留y更为方便，此时非常适合反设直线．　　 解：因为|MF|＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. 又因为直线AM的方程为y＝(x－x1)＋y1， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋8. 所以|yP·yQ|＝||＝. 所以直线AM与直线l的交点P为. 同理可得Q，直线AB与直线l交点R的纵坐标yR＝. 联立抛物线的方程与直线AB的方程，得方程组 消去x并整理，得y2－4my－4＝0， 所以－∈(－∞，－7－4]∪[4－7，1)∪(1，＋∞)． 所以直线l在x轴上的截距的取值范围为∪(1，＋∞). 又因为|RN|2＝|PN|·|QN|，所以＝，所以＝，即|yP·yQ|＝y， 所以y＝2＝|yP·yQ|＝， 所以＝＝1＋＋＝2＋≥， 解得n∈(－∞，－2)∪(－2，14－8]∪[14＋8，＋∞)． 联立得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，故|AB|＝|y1－y2|＝＝4(1＋t2)． 由题意l2：x＝－y＋1，同理可得|DE|＝4，所以|AB|＋|DE|＝4[(1＋t2)＋]＝4≥4(2＋2)＝16，当且仅当t2＝1时取等号，所以|AB|＋|DE|的最小值为16. 对点练2.(2024·江西九江三模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且三点(1，2)，(2，1)，(－1，－2)中恰有一点在E上，记为点P. (1)求椭圆E的方程； 解：由椭圆E的离心率为，得＝＝＝＝， 所以a＝2b.由E的对称性知，三点中P(2，1)在E上． 所以＋＝1.解得a＝2，b＝，故椭圆E的方程为＋＝1. 联立方程组 消去y整理得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－4＝0. 由Δ＝(16k2－8k)2－4(1＋4k2) (16k2－16k－4)>0，得k≠－. 且2xA＝，即xA＝. 所以kAB＝＝＝， 所以直线AB的斜率为. 代入y＝k1(x－2)＋1得，yA＝， 所以A. 因为∠PMN＝∠PNM，所以直线PB的斜率为－k. 用－k代替点A坐标中的k得到点B的坐标为B， (2019·全国Ⅱ卷)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； 解：由题设得·＝－， 化简得＋＝1(|x|≠2)，(由于两直线的斜率存在，所以|x|≠2) 由得x＝±. 记u＝，(简化书写形式，用u代替) 则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)． 于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)． 由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.① 设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解， 故xG＝，由此得yG＝. 从而直线PG的斜率为＝－， 所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形． S△PQG＝×·＝. 解：第一步：利用弦长公式表示三角形的两直角边的长． 由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝， 第二步：利用三角形的面积公式把面积表示成关于k的函数． 所以△PQG的面积S＝|PQ||PG| 法一：S′＝，因为k>0，所以当0<k<1时，S′>0，函数S(k)单调递增，当k>1时，S′<0，函数S(k)单调递减，因此当k＝1时，函数S(k)有最大值，最大值为S(1)＝. 因此△PQG面积的最大值为. 法二：f(k)＝＝＝， 设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号， 因为S＝＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时， S取得最大值，最大值为. 因此△PQG面积的最大值为. 步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．则这些折痕所围成的图形是一个椭圆． 现取半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．以向量的方向为x轴正方向，线段EF的中点为原点建立平面直角坐标系． (1)求折痕围成的椭圆Γ的标准方程； 所以c＝，a＝2，则b2＝a2－c2＝2， 所以椭圆方程为＋＝1. ＝4>|EF|＝2， 所以P点轨迹是以F，E为焦点，长轴长为2a＝4的椭圆，设椭圆的方程为＋＝1， 从而直线AB的方程是：x＋y＝1， (2)已知点M是圆x2＋y2＝10上任意一点，过点M做椭圆Γ的两条切线，切点分别是A，B，求△MAB面积的最大值，并确定此时点M的坐标． 注：椭圆：＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x0，y0)处的切线方程是：＋＝1. 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x＋y＝10， 切线MA方程＋＝1，切线MB方程＋＝1，两直线都经过点M， 所以得＋＝1, ＋＝1， ＝， 由得x2－16x0x＋64－32y＝0， 由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝， |AB|＝·|x1－x2| ＝· 点M到直线AB的距离d＝ ＝，所以S△MAB＝|AB|·d＝，其中y≤10， 令t＝，则t∈，所以S△MAB＝，令f(t)＝，则f′＝>0，所以f(t)在t∈上单调递增， 所以t＝4，即y＝10时，△MAB的面积取到最大值，此时点. $$