拓展视野7 非对称韦达问题（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

拓展视野(七 )非对称韦达问题 第八章　直线与圆、圆锥曲线 知识链接 技法一　利用和积互化 例1 典题体验 规律方法 直线l的方程为x＝my＋2. (2)记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，求S1＋S2的最大值． 技法二　配凑代换 例2 规律方法 所以m＝－4，即点N在直线x＝－4上， 又MF⊥x轴，F(－1，0)， 谢谢观看 本节到此结束 直曲联立、韦达定理解决圆锥曲线问题时，很多情况会出现如“x＋x，＋，＋，|x1－x2|…”之类的式子，它们的结构特点是将x1与x2互换之后结果不变，即“对称性”，此类问题称为“对称型韦达问题”，这类问题稍作变形，即可直接利用韦达定理的结果整体代入求解，但在某些问题中，我们会遇到两根不对称的结构，如“，λx1＋μx2(λ≠μ)，，…”之类的问题，就难以直接应用韦达定理了，一般称这类问题为“非对称韦达问题”． 下面从“ 利用和积互化、配凑代换”两个角度突破非对称韦达问题． 已知点H，椭圆＋＝1(y≠0)，过C的右焦点F的动直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，过点M作y轴的垂线l′，试判断直线l′与NH的交点是不是恒在一条直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由． 解：显然过点F的直线l不垂直于y轴，设l：x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立化简得(9m2＋25)y2＋72my－81＝0， 易知Δ>0， y1＋y2＝，y1y2＝，显然y1y2＝(y1＋y2)， 由解得x＝＋＝＋＝， 所以交点恒在定直线x＝上． 本题解析中的表达式是典型的非对称问题，破题关键是把韦达定理通过比例进行和积互化，从而使问题得到解决．　　 所以b2＝a2－c2＝9－4＝5. 所以椭圆E的方程为＋＝1. 对点练1.(2023·山东济宁三模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线l交椭圆E于M，N两点，△F1MN的周长为12. (1)记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2.证明：为定值； 解：证明：由椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为4可知：c＝2. 由△F1MN的周长为12可知：4a＝12，a＝3. 联立得y2＋20my－25＝0. 易知Δ>0，所以y1＋y2＝，y1y2＝. 所以＝＝，即my1y2＝(y1＋y2). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则＝＝＝＝＝＝＝. 所以为定值. 所以当t＝1，即m＝0时，S1＋S2取得最大值为＝10. 所以S1＋S2的最大值为10. 解：由题意可知：S1＋S2＝S△MAB＋S△NAB＝×2×3×|y1－y2|＝3|y1－y2| ＝3＝， 令t＝≥1，则S1＋S2＝＝. 又y＝5t＋在[1，＋∞)上单调递增， 已知F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F2作直线l与椭圆交于P，Q两点(不与A，B重合)，记AP与BQ的斜率分别为k1，k2，证明为定值． 法一：由题知A(－2，0)，B(2，0)，当直线PQ斜率不存在时，直线PQ：x＝1.将x＝1代入＋＝1，得y1＝，y2＝－.故k1＝，k2＝或k1＝－，k2＝－，所以＝.当直线PQ斜率存在时，设直线PQ：y＝k(x－1)，P(x1，y1)， Q(x2，y2)，联立化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，易知Δ>0，则x1＋x2＝，x1x2＝，2＝·＝· ＝·＝＝ ＝＝＝，所以＝. 法二：由题知A(－2，0)，B(2，0)，设直线PQ：x＝ty＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立化简得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，易知Δ>0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以k1＝kAP＝，k2＝kBQ＝， 所以＝＝＝＝＝ ＝＝. 本题在解答中将y1y2＝－代换之后＝，依然无法得到定值，因为落单的y1和3y2不一致，所以将分式配凑成＝形式，再用韦达定理代入就水到渠成了．所以此题的化简目标是利用韦达定理代换之后，分子分母仅保留y2(当然也可以仅保留y1)，明白了这个化简的目标，配凑就显得十分自然了．　　 对点练2.(2024·安徽黄山模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F(－1，0)，点P在E上，PF⊥x轴，且直线PA的斜率为. (1)求E的方程； 解：设P(－1，y0)， 因为点P在E上，直线PA的斜率为，椭圆E的左焦点为F(－1，0)， 则由题意得 解得a＝2，b＝，y0＝， 所以E的方程为＋＝1. 则y1＋y2＝，y1y2＝， 因为直线BD与直线AM相交于点N，且AM与E的另一交点为C， 所以kAC＝kAN，kBD＝kBN， (2)M(异于点F)是线段PF上的动点，AM与E的另一交点为C，CF与E的另一交点为D，直线BD与直线AM相交于点N，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由． 解：由(1)知A(－2，0)，B(2，0)， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，N(m，n)，其中y1≠0，y2≠0， 由题意设lCD：x＝my－1，与＋＝1联立消去x得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 即＝，＝， 所以＝＝ ＝＝＝＝＝＝＝3. 所以＝＝2， 即为定值2. $$