第8章 第9节 圆锥曲线中的几个常用二级结论(培优课)（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教版2019）

第九节　圆锥曲线中的几个常用二级结论(培优课12) 第八章　平面解析几何 CONTECT 内 容 索 引 01 结论一　焦点三角形的面积公式 02 结论二　两直线斜率的乘积为e2－1 05 课 时 测 评 03 结论三　椭圆、双曲线共焦点 04 结论四　焦点弦问题 结论一　焦点三角形的面积公式 返回 例1 √ 规律方法 焦点三角形的面积公式 对点练1.已知双曲线 ＝1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2＝120°，则△F1MF2的面积为________． 返回 结论二　两直线斜率的乘积为e2－1 返回 例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆 ＝1的左、下顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k. (1)若直线PA平分线段MN，求k的值； 由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k＝ . (2)对任意k>0，求证：PA⊥PB． 解：证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)． 规律方法 规律方法 √ kOE＋kOH等于 A．－6 B．5 C．6 D．7 返回 结论三　椭圆、双曲线共焦点 返回 例3 √ 已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为F1，F2，记它们其中的一个交点为P，且∠F1PF2＝ ，则该椭圆的离心率e1与双曲线的离心率e2必定满足的关系式为 如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则由椭圆及双曲线的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2. 规律方法 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则 ＝1. √ C．2 D．3 设椭圆C1、双曲线C2的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点M在第一象限，则由椭圆、双曲线的定义可知|MF1|＋|MF2|＝2a1，且|MF1|－|MF2|＝2a2，所以|MF1|＝a1＋a2，|MF2|＝a1－a2.在△F1MF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos∠F1MF2，即4c2＝ 返回 结论四　焦点弦问题 返回 例4 已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过C的右焦点F2的直线l与C的右支分别交于A，B两点，且|AB|＝3|BF2|，2|OB|＝|F1F2|(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为_____． 如图，连接AF1，BF1.因为2|OB|＝|F1F2|，所以BF1⊥BF2.设|BF2|＝t，因为|AB|＝3|BF2|， 规律方法 √ 对点练4.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于 A．4 B． C．5 D．6 返回 课时测评 返回 √ 1.如图，已知△ABC的顶点B，C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点F1在BC边上， 则△ABC的周长是 A．2 B．6 C．4 D．12 由题图可知△ABC的周长＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF1|)＋(|AC|＋|CF1|)＝2a＋2a＝4a＝4 .故选C． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 2．已知F1，F2为椭圆 ＝1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M的个数为 A．2 B．4 C．0 D．不确定 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 3．已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是 C．4 D．2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 因为∠F1AF2＝90°，所以△F1AF2为等腰直角三角形，所以b＝c，所以 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 法一：令P(x，y)，A(m，n)，由A，B关于原点对称得B(－m，－n)，将 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 法二：因为点A，B关于原点对称，且直线PA，PB的斜率的乘积kPAkPB 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 8．过点M(－2,0)的直线m与椭圆 ＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 9．已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的公共点，且∠F1PF2 如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及 2 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 10．已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1，F2，曲线C1和C2在第一象限交于点P，且∠F1PF2＝60°.若椭圆C1的离心率的取值范围是 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 如图．由椭圆的定义可得s＋t＝2a，由双曲线的定义可得s－t＝2a1，联立可得s＝a1＋a，t＝a－a1.在△PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝s2＋t2－ 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 谢谢观看 本节到此结束 已知椭圆＋＝1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2＝60°，则△F1MF2的面积为 A． B．16 C．3 D．9 根据椭圆焦点三角形的面积的二级结论S＝b2tan，得S＝9tan＝3.故选C． 1．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝θ，则其焦点三角形的面积为S△F1PF2＝b2tan. 2．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝θ，则其焦点三角形的面积为S△F1PF2＝. 根据双曲线焦点三角形的面积的二级结论S＝b2，得S＝25×＝. － ＋ 解：由题设知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)， 所以线段MN的中点坐标为. 因为点C在直线AB上，所以k2＝＝＝，从而kk1＝2k1k2＝－×2＝－1，因此PA⊥PB． 因为P，A，B都在椭圆＋＝1上， 所以＋＝1，＋＝1，两式相减得kPB·kAB＝＝－.设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2. 1．椭圆方程中有关e2－1＝－的结论 (1)已知AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝－，即kAB＝－. (2)已知椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB＝－. 2．双曲线方程中有关e2－1＝的结论 (1)已知AB是双曲线－＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝，即kAB＝. (2)已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，P是双曲线上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB＝. 对点练2.已知双曲线x2－＝1，直线l的斜率为－2，与双曲线交于A，B两点，若在双曲线上存在异于A，B的一点C，使得直线AB，BC，AC的斜率满足＋＋＝3，且D，E，H分别为AB，BC，AC的中点，则 由题意得＋＋＝＋＋＝3，所以＋＝.因为kBCkOE＝，所以kBCkOE＝2，即kOE＝.同理得kOH＝，所以kOE＋kOH＝＋＝2＝2×＝7.故选D． A．e1＋e2＝1 B．e1＋e2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，化简可得3a＋a＝4c2，两边同时除以4c2，可得＋＝1.故选C． ＋ 对点练3.已知F1，F2为椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为 A． B． (a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，整理得4c2＝a＋3a，于是得4＝＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即e2＝e1时取等号，从而e1e2≥，所以e1e2的最小值为.故选A． － 所以|AF2|＝2t.因为＋＝，由双曲线定义可得|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF2|＝，|BF1|＝2a＋.由勾股定理可得|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2，化简整理得8a2＝9b2，所以C的离心率为e＝＝. 若焦点弦被焦点分成两部分m，n，则＋＝． 法一：易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1　①，因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1　②，由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.故选B． 法二：因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.故选B． ＋ 由＋＝1得a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝1，c＝1.由椭圆的定义知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2.因为△MF1F2的内切圆的周长等于π，所以△MF1F2内切圆的半径为r＝＝， S△MF1F2＝r·(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)＝.设点M(x0，y0)，则S△MF1F2＝|F1F2|·|y0|＝，所以y0＝±.将点M的坐标代入椭圆方程可得＋＝1，解得x0＝±1，所以点M的坐标为(1，)， (1，－)， (－1，)或(－1，－)，因此，满足条件的点M的个数为4.故选B． 是坐标原点，且满足＝3，S△OAB＝|AB|，则|AB|的值为 A． B． 如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈，因 为＝3，所以F为AB的三等分点，令|BF|＝t， 则|AF|＝2t，由＋＝， 得＋＝⇒t＝p，所以|AB|＝3t＝p，又|AB|＝，所以＝p⇒sin α＝，又S△OAB＝|AB|，所以＝|AB|，即＝·p⇒p＝2，所以|AB|＝.故选A． 4．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分 A． B． C．－1 D．－ a2＝2b2＝2c2，所以＝，且∠AF2O＝45°，所以kMA＝－1，又kMA·kMB＝－＝－，所以kMB＝.故选B． 5．已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－3，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是 A． B． C． D． 由椭圆C：＋＝1知其左顶点A1(－2,0)，右顶点A2(2,0)．设P(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1，所以＝－.记直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，则k1k2＝＝－.因为直线PA2斜率的取值范围是[－3，－1]，所以直线PA1斜率的取值范围是.故选A． 6．已知P，A，B是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B关于原点对称，若直线PA，PB的斜率的乘积kPAkPB＝，则该双曲线的渐近线方程为 A．y＝x或y＝－x B．y＝x或y＝－x C．y＝x或y＝－x D．y＝x或y＝－x P(x，y)，A(m，n)代入曲线方程得两式作差得·＝.由kPAkPB＝，得·＝，整理得＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选A． ＝，得＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选A． 设|AF2|＝t，则|BF2|＝2t，由椭圆焦点弦公式可知，＋＝，所以＝，所以t＝，从而|AB|＝. 7．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点．若＝2，则|AB|＝________. 法一：设直线m的方程为y＝k1(x＋2)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由整理得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0，Δ＝64k－4(8k－2)(1＋2k)>0，则x1＋x2＝， － 所以k1k2＝－. x1x2＝，所以y1＋y2＝k1(x1＋2)＋k1(x2＋2)＝k1(x1＋x2＋4)＝，所以P，则k2＝＝－，则k1k2＝－. 法二：由椭圆的相应结论知kOP·kP1P2＝－， 所以设|F1F2|＝2c， ＝，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为__． 双曲线的定义可知 ∠F1PF2＝，则在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)·cos，化简得a＋3a＝4c2，该式可化成＋＝4，所以＋＝4，所以＝＝2. 设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，双曲线C2：－＝1 (a1>0，b1>0)，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆的离 心率e＝，双曲线的离心率e1＝，设|PF1|＝s，|PF2| ＝t， ，则双曲线C2的离心率的取值范围是________． 2stcos∠F1PF2＝(a＋a1)2＋(a－a1)2－2(a＋a1)·(a－a1)cos 60°＝a2＋3a，即4＝＋，解得e＝.因为e∈，所以≤e2≤，2≤≤3，可得≤e≤3，所以≤e1≤. $$