8.7 抛物线（课件PPT）-【金版新学案】2025年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版2019）

§8.7　抛物线 第八章　直线与圆、圆锥曲线 课程标准 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实 际问题中的应用．　 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何 性质．　 3.通过抛物线的学习，进一步体会数形结合思想． CONTECT 内 容 索 引 01 教材梳理　强基固本 02 考点探究　精准突破 03 课 时 测 评 教材梳理　强基固本 返回 返回 微提醒　当定点F∈l时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线． 理清主干知识 1．抛物线的定义 相等 点F 直线l 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 焦点 F______ F_________ F_______ F_________ 准线方程 _______ _____ _______ _____ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴 y轴 向右 向左 向上 向下 记牢常用结论 1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2．抛物线焦点弦的几个常用结论 若A(x1，y1)在第一象限，B(x2，y2)在第四象限，则 练透教材典题 √ √ √ 2．(链接北师选择性必修一P73练习T1)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是___________________． 3．(链接北师选择性必修一P74A组T4)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________． (3，±6) 返回 考点探究　精准突破 返回 返回 考点一 抛物线的定义及其应用 综合练 例1 (1)(2023·北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝　　　　　　　　 A．7 B．6 C．5 D．4 因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D． √ (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，F为焦点，则|PB|＋|PF|的最小值为_____ ． 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4. 4 1．(变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 变式探究 2．(变设问)若本例(2)条件不变，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________． 3．(变设问)若本例(2)条件不变，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是____． 2 规律方法 应用抛物线定义的两个关键点 1．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义，把抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化，获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径． √ (2)(2024·四川成都名校联考二)已知点F(0，4)是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，点P(2，3)，且点M为抛物线C上任意一点，则|MF|＋|MP|的最小值为 A．5 B．6 C．7 D．8 因为点F(0，4)是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点， 所以 ＝4，解得p＝8，所以抛物线C的方程为x2 ＝16y.由抛物线的定义知：点M到点F(0，4)的距 离等于点M到准线y＝－4的距离，结合点P(2，3) 与抛物线C的位置关系可知，|MF|＋|MP|的最小值是点P(2，3)到准线y＝－4的距离，故|MF|＋|MP|的最小值为7.故选C． √ 考点二 抛物线的标准方程 基础练 例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y＋4＝0； 解：准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)． (2)过点(3，－4)； 解：因为点(3，－4)在第四象限，所以抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)， (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 解：令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. 所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)． 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 规律方法 求抛物线标准方程的方法 1．定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可． 2．待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．　　 对点练2.(1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D．若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为 A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x √ (2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为 √ 考点三 抛物线的简单几何性质 综合练 例3 (1)(2024·山东潍坊模拟)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图．若将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y＝ax2(a≠0)的一部分，且点A(2，－2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是 √ √ √ 规律方法 抛物线性质的应用技巧 1．利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． 2．应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 3．记住抛物线中与焦点弦有关的常用结论并会应用．　　 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别 为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝ p.因为直线l的斜率为 ，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴， 所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则 △AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°， √ √ √ (2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________． 返回 课时测评 返回 返回 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5．(2024·福建厦门模拟)已知抛物线E：x2＝8y的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF上靠近点P的三等分点，若|PF|＝10，则点Q的纵坐标为 A．2 B．4 C．6 D．8 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(2023·山东青岛二模)已知O为坐标原点，直线l过抛物线D：y2＝2px(p>0)的焦点F，与D及其准线依次交于A，B，C三点(其中点B在A，C之间)，若|AF|＝4，|BC|＝2|BF|，则△OAB的面积是 过点B作BM垂直于准线，垂足为M，过点A作AN垂直于准线，垂足为N， √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 7．[多选题](2024·湖南郴州高三检测)已知F是抛物线C：y2＝16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，则下列结论正确的是 A．C的准线方程为x＝－4 B．点F的坐标为(0，4) C．|FN|＝12 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．[多选题](2024·海南琼海三模)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，点N(0，3)，若|MF|＝10，且NM⊥NF，则抛物线C的方程可以为 A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝36x D．y2＝18x √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 9．[多选题]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段PF与抛物线交于点M，则下列判断正确的是 A．△OMF不可能是等边三角形 B．△OMF可能是等腰直角三角形 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(数学建模)(2024·江苏徐州期中)如图①所示，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)，热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径．图②是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离，已知口径长为40 cm，防护罩宽为15 cm，则顶点O到防护罩外端CD的距离为______cm. 35 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(新考法)已知P1，P2，…，P2 024是抛物线x 2＝4y上不同的点，且F(0，1).若FP1＋FP2＋…＋FP2 024＝0，则|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP2 024|＝________． 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，…，P2 024(x2 024，y2 024)，因为P1，P2，P3，…，P2 024是抛物线x2＝4y上不同的点，点F(0，1)，准线为y＝－1，则FPi＝(xi，yi－1) (i＝1，2，…，2 024)，所以FP1＋FP2＋…＋FP2 024＝(x1＋x2＋…＋x2 024，(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y2 024－1))＝0，所以(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y2 024－1)＝0，即y1＋y2＋y3＋…＋y2 024＝2 024，所以|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP2 024|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋…＋(y2 024＋1)＝y1＋y2＋…＋y2 024＋2 024＝4 048. 4 048 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(新角度)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝6，⊙M过点A，B且与直线x＋3＝0相切，若存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值，则点P的坐标为________． 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 本节到此结束 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 _____ _____ 开口方向 ______ ______ ______ ______ 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 焦半径(其中P (x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 微提醒　四种不同抛物线方程的共同点 (1)原点都在抛物线上．(2)焦点都在坐标轴上．(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即＝. (1)|AF|＝，|BF|＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)． (2)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 1．[多选题]下列说法错误的是 A．平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 B．方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－ C．抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切 y2＝－x 或x2＝y 设抛物线的方程是y2＝kx 或x2＝my，代入点P (－2，3 )，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x 或x2＝y. 4．(用结论)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则＝________． 因为|AF|＝＝，|BF|＝＝2p，所以＝＝. 2 由题意可知，点(3，4)在抛物线的外部．所以|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，即|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值为2. 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到点F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝. 由抛物线的定义可知，点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2. 2．注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F 的距离|PF|＝|x0|＋ 或|PF|＝|y0|＋.　　 对点练1.(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C 上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝ A．2 B．2 C．3 D．3 由题意得，F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A 到准线x＝－1 的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A 在x 轴上方，代入得A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B． 又＝2，所以2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. 则2p＝，2p1＝. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. 根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cos 60°＝|AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.故选B． A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，所以在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，所以3＋3a＝6，解得a＝1，因为BD∥FG，所以＝，所以p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x. A． B． C． D． 依题意，A(2，－2)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，所以－2＝a×22，故a＝－，所以y＝－x2，即x2＝－2y，故2p＝2，＝，且抛物线开口向下，所以抛物线的焦点坐标为.故选A． (2)[多选题](2023· 新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则 A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 对于A选项，直线y＝－(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)， 所以＝1，p＝2，2p＝4，抛物线C的方程为y2＝4x， 则A选项正确； 对于B选项，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝ 3，x2＝，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，B选项错误； 对于C选项，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的 距离分别为d1，d2，d，因为d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|) ＝|MN|，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以 MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确； 对于D选项，直线y＝－(x－1)，所以y1＝－×(3－1) ＝－2，y2＝－×＝，所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，又|MN|＝，所以△OMN不是等腰三角形，D选项错误．故选AC． 对点练3.(1)[多选题]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D．若|AF|＝8，则以下结论正确的是 A．p＝4 B．＝ C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4 则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则＝，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．故选ABC． x＝－ 法一(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的准线方程为x＝－. 法二(应用射影定理法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－. 1．(2024·辽宁鞍山一模)抛物线y＝x2 的焦点坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C． D． 由题意，抛物线x2＝y 的焦点坐标为.故选C． 2．(2023·天津模拟)已知双曲线C1：－＝1 与抛物线C2：y2＝2px(p>0)的准线交于A，B 两点，若|AB|＝4，则p＝ A．2 B．4 C．4 D．8 因为抛物线C2：y2＝2px，所以准线方程为x＝－，联立 解得y＝± .又|AB|＝4，所以2＝4，又p>0，所以p＝8.故选D． 3．(2024·江西南昌月考)若抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(1，a)到焦点的距离比到直线x＝－4的距离小1，则|a|＝ A． B．2 C．6 D．2 由题可知，抛物线的准线方程为x＝－3，所以＝3，即p＝6，所以y2＝12x，所以a2＝12，|a|＝2.故选D． 4．(2023·四川绵阳二模)涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线x2＝－16y的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为 A．6 B．2 C．8 D． 如图所示：设鸽子所在位置为点P(x，y) (x>0，y<0)，因为它到抛物线焦点的距离为10米，所以|y|＋4＝10，解得y＝－6，则x2＝－16×(－6)＝96，所以鸽子到拱顶的最高点的距离为|OP|＝＝2.故选B． 过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为P1，Q1，如图所示，设准线y＝－2与y轴的交点为F1，因为Q为PF上靠近点P的三等分点，可得＝＝，又因为|PF|＝10，可得|QQ1|＝8，又由抛物线的准线方程为y＝－2，可得点Q的纵坐标为8－2＝6，即点Q的纵坐标为6.故选C． A． B． C．2 D． 设准线与x轴相交于点P，如图，则|BM|＝|BF|，|AN|＝ |AF|＝4，在△MBC中，因为|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝ 2|BM|，所以∠MCB＝30°，在△ANC中，|AC|＝2|AN|＝ 8，所以|AC|＝|AF|＋|CF|＝8，所以|CF|＝8－|AF|＝4.又CN ⊥x轴，∠MCB＝30°，所以|PF|＝|CF|＝2.又抛物线 D：y2＝2px，则P，F，所以|PF|＝＋＝p＝2，所以抛物线D：y2＝4x，点F(1，0).因为∠MCB＝30°，所以直线AB的斜率k＝－， 则直线AB：y＝－(x－1)，与抛物线方程联立 消y并化简得3x2－10x＋3＝0，设点A (x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，则|AB|＝|BF|＋|AF|＝ |BM|＋|AN|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝＋2＝.又直线 AB：y＝－可化为x＋y－＝0，则点O到直线AB的距离d＝＝，所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝.故选B． D．△ONF 的面积为16 (O 为坐标原点) 如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F′，作MB⊥l 于点B，NA⊥l 于点A． 由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，点F 的坐 标为(4，0)，则|AN|＝4.|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′ 中， 中位线|MB|＝＝＝6，由抛物线的定义有 |MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝＝8，S△ONF＝×8×4＝16.故选ACD． 设M(x1，y1)，因为|MF|＝10，所以x1＋＝10，因为NM⊥NF，所以·＝0，即(x1，y1－3)·＝0，所以x1－3(y1－3)＝0，所以－3(y1－3)＝0，解得y1＝6，所以36＝2px1＝2p，解得p＝2或p＝18，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝36x.故选BC． C．＝1＋ D．－|PF|＝1 若△OMF是等边三角形，则边长为1，且点M的横坐标为， 纵坐标为±，此时|OM|＝＝≠1，所以△OMF不可能 是等边三角形，故A正确；若△OMF是等腰直角三角形，则只 可能是∠OMF＝90°，|OM|＝|FM|＝，所以|OM|2＋|FM|2≠|OF|2， 故B不正确；过点M作准线的垂线交准线于点N，则|MF|＝|MN|，＝＝1＋＝1＋＝1＋，所以－1＝＝＝≠|PF|，故C正确，D不正确．故选AC． 以顶点O为坐标原点，射线OF为x轴建立平面直角坐标系，如图，设轴截面边界曲线所在的抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则F，A，而点A在抛物线上，于是得400＝2p，又p>0，解得p＝10，则O到CD的距离d＝＋30＝35，所以顶点O到防护罩外端CD的距离为35 cm. 11．(2024·江苏连云港模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P是抛物线C上的动点，过P向动直线x＝t(t<0)作垂线，垂足为Q.若△PQF是面积为的正三角形，则p＝________． 如图所示，△PQF是面积为的正三角形，所以|PF|＝|PQ|＝|QF|，所以x＝t为准线．由|PQ|2sin 60°＝，解得|PQ|＝2.过点F作FD⊥PQ，交PQ于点D，则|QD|＝|QF|cos 60°＝1.所以|QD|＝p＝1. 13．(2024·广西柳州模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足·＝0.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是___________． 如图，过A点作AC⊥l交l于C，过B作BD⊥l交l于D，设|AF|＝m，|BF|＝n，则由抛物线的定义知|BD|＝|BF|＝n，|AC|＝|AF|＝m， 由题意知|MN|＝(|BD|＋|AC|)＝(m＋n)，由·＝0，得AF⊥BF，|AB|2＝|AF|2＋|BF|2＝m2＋n2，因为m2＋n2≥，当且仅当m＝n，即|AF|＝|BF|时等号成立，所以|AB|2≥2|MN|2，≤，所以≤. 因为AB为圆M的一条弦，O是弦AB的中点，所以圆心M在线段AB的中垂线上，设M(x，y)，因为⊙M与直线x＋3＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|x＋3|，因为|AB|＝6，所以|AO|＝3，因为|OM|2＋|OA|2＝|MA|2，即x2＋y2＋9＝2，化简得M的轨迹方程为y2＝6x.因为曲线C：y2＝6x是以点F为焦点，以直线x＝－为准线的抛物线，若P为焦点F，则|MP|＝x＋.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋3－＝，所以存在满足条件的定点P，其坐标为. 15．(新情境)(2024·江西景德镇三模)首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一 个线段PQ和一段圆弧组成，如图所示．在适当的坐标系下圆弧所在圆的方程为(x＋10)2＋(y－3)2＝128，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45°且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为 A．x2＝－4(y＋4) B．y＝－x2－3 C．x2＝－32(y－1) D．y2＝－(x＋4) 由题意知：kCM＝－1，又C(－10，3)，所以直线CM方程为：y－3＝－(x＋10)，即x＋y＋7＝0.由得或即M(－2，－5)或M(－18，11)， 因为M为靠近y轴的切点，所以M(－2，－5).设飞行轨迹的抛物线方程为：y＝ax2＋c，则y′＝2ax，因为在点M处的切线斜率为1，所以－4a＝1，解得a＝－，所以－5＝－×4＋c，解得c＝－4，所以y＝－x2－4，即抛物线方程为x2＝－4(y＋4).故选A． 16．[多选题](2024·河北秦皇岛模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M，N为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有x＝xF·xN(xM>1).直线MF，NF与准线分别交于A，B两点，则下列说法正确的是 A．当xN＝9时，|MF|＝|AF| B．当xM＝2时，S△MFN∶S△ABF＝4∶5 C．当xM＝2时，|AF|∶|BF|＝9∶5 D．当xM＝3时，延长NM交准线于C，S△CBM∶S△ANF＝5∶6 抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，则xA＝xB＝－1，由x＝xF·xN(xM>1)，得x＝xN(xM>1)，对于A，当xN＝9时，xM＝3，则＝＝1，所以|MF|＝|AF|，故A正确；对于B，当xM＝2时，可得M ，N(4，4)，则|FM|＝＝3，|FN|＝＝5，设直线MF：x＝my＋1，把M 代入，可得m＝，所以x＝y＋1，令x＝－1， 则y＝－4，所以A，同理B，则|FA|＝＝6，|FB|＝＝，因为∠AFB＝∠MFN，所以sin∠AFB＝sin∠MFN，所以＝＝＝，故B错误； 对于C，由B选项知，|AF|∶|BF|＝6∶＝9∶5，故C正确；对于D，当xM＝3时，xN＝9，则N(9，6)，所以|MC|∶|NC|＝(3＋1)∶(9＋1)＝2∶5，所以S△CBM＝S△CBN，所以S△CBM＝S△NBM, 由选项A知|MF|＝|AF|，所以S△MFN＝S△ANF，|NF|∶|FB|＝(9－1)∶[1－(－1)]＝4∶1，所以S△MFN＝S△NBM，所以S△CBM∶S△ANF＝S△NBM∶S△NBM＝5∶6， 故D正确．故选ACD． $$